山东济宁市微山县第一中学2025-2026学年高一下学期阶段性测试（期末模拟）数学试题

2025级高一年级下学期阶段性测试 数学试题答案 1.【考点定位】考查复数的计算及几何意义. 【考核目标】掌握复数的计算及几何意义， 【解题思路】由1一23+D=551=1-i,得复数之在复平面内对应的点为(1，一1)，位于第四象限.故 5 选D. 【答案】D 2.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量垂直的条件， 【考核目标】掌握向量的坐标运算及向量垂直的条件 【解题思路】因为a1b6,所以a·b=+(便-1(2-)=皮+（一+3一2）=3认-2=0，解得k=号故 选A. 【答案】A 3.【考点定位】考查立体图形的直观图 【考核目标】掌握斜二测画法中有关量的计算， 【解题思路】由图知△OAB中，0ALOB.OA=2,0B=4,所以△OAB的面积为合X2×4=4.故选C 【答案】C 4.【考点定位】考查简单几何体的体积. 【考核目标】掌握圆锥的体积计算及其侧面展开图， 【解题思路】设圆锥的高为h,则兮h=号解得h=厅，母线长为√下+6了=2，所以圆锥的侧面展开图 所对应的扇形的圆心角为受=元故选D。 【答案】D 5.【答案】B 【解析】 D 【分析】取CC的中点F,连接BF,DF,设正方体ABCD-A,BCD,棱长 A 为a,则∠DBF为异面直线AE与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解. E 【详解】 取CC的中点F,连接BF,DF,设正方体ABCD-ABCD1棱长为a, 因为AB=EF,AB∥EF,所以四边形ABFE为平行四边形， 所以BF∥AE,则∠DBF为异面直线AE与BD所成角或其补角， 由=VBa,DF=iF=+a= a 4 2 所以cos∠DBr=DB+BF-DFP3a2+5g-5g 4 2DB·BF 2v3a. 5 2 故选：B 数学答案 第1页共6页 6.【考点定位】考查解三角形. 【考核目标】掌握解三角形的方法 【解题思路】由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=2+c2+bc=4bc,所以(b+c)2一bc=4bc,所以(b+c)2= 欢=5X号-，放6叶(-号由正孩定理A白B品C得n牛nCA故smB叶血C b+c =牛sinA=5x5= 21 、24 2.故选B. 【答案】B 7.【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系 【考核目标】掌握线面垂直的判定和性质， 【解题思路】如图，过点N作NH⊥AB,垂足为H,连接MH.因为MN⊥AB,HN⊥AB, MN∩HN=N,MN,HNC平面MNH,所以AB⊥平面MNH.因为MHC平面MNH,D 所以AB⊥MH.因为HN=HB,MH=MH,MH⊥HN,MH⊥HB,所以△BHM≌ △NHM,所以MN=MB=2,所以点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆弧，所以DM 的最小值为DB-2=2√2一2.故选B. 【答案】B 8. 【答案】D【详解】因为B绕点4沿顺时计方向底转写即B绕点4沿道时针方向淡转警。因为点42，)。 3 B(3,1+V5),所以AB=1,5): 根据题干定义AP=(xcos0-ysin,xsin0+ycos0)= 3 3 =(2,0), 3 3 得点P的坐标为(2,0)+(2,1)=（4,1)，故选：D 9.【考点定位】考查众数、中位数、极差、百分位数， 【考核目标】掌握众数、中位数、极差、百分位数的概念及计算方法. 【解题思路】将这组数据按从小到大的顺序排列为1,1,2,3,5,5,5,6,8，所以众数为5；中位数为5；极差为8 -1=7;9×70%=6.3,所以70%分位数为5，A、C、D正确，B错误.故选ACD. 【答案】ACD 10.【考点定位】考查解三角形 【考核目标】掌握解三角形的方法. 【解题思路】由2=a2+2c2,得2(a2+c2-b)=a2,由余弦定理得2×2 accos B=a2,即a=4 ccos B,A正 确；由a=4 ccos B及正弦定理，得sinA=4 cos Bsin C,即sin(B+C)=4 cos Bsin C,所以sin Bcos C+ cos Bsin C=4 cos Bsin C,即sin Bcos Ca=3 cos Bsin C,所以tanB=3tanC,B错误；由上知tanB=3tanC,所 以B.C均不为直角，进而A=受则amB=C代入amB=3anC,得amrB=&因为B为锐角，所以B =号，C=若，所以b=3c,C正确：过B作BD⊥AC,则AD=cosA又P在AD之间运 动时，PA与PB的夹角为钝角， 因此要求PA·PB的最小值，P应在AD之间运动，即|AP1∈(0，ccosA),又PA.PB =(-AP)(AB-AP)=-1API.ABI.cos A+AP2=AP2-APIccos A,AP=ScOsA 2 时.Pi.P它取最小值为-子ccos2A,D错误.故选AC 【答案】AC 数学答案 第2页共6页 11.【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系. 【考核目标】掌握球的表面积计算、求二面角的方法、截面积的计算. 【解题思路】由AB=2,得正方体ABCD-A1BCD,的外接球的半径R= A √2+2+2-3，所以正方体ABCD-A1B,CD,的外接球的表面积为4πX(W3)P 2 =12π，A错误；如图1，在平面ABCD内过点A作BD的平行线，由BP=DQ,BP∥ DQ,知四边形BDQP是平行四边形，所以BD∥PQ.又因为BD∥L,所以PQ∥BD∥L, 所以l是平面APQ与平面ABCD的交线.B下确：如图1，分别取PQ.BD的中点M, N,连接AN,MN,AM,则AP=AQ,AB=AD,PM=QM,BN=DN,所以AM⊥PQ,AN⊥BD.又PQ∥L∥ BD.所以AMLk.ANL.所以∠MAN是平面APQ和平面ABCD所成的二面角的平面角，则Icos1- ANX2PQ2X号X22E 2 AMX7PQ S ，C正确； 如图2，延长CC使得CT=B,P,连接PT交B1C于点E,连接QT交CD,于点F, 则GT=B,P-号，BP=DQ=号，且AQ∥PT,AP∥QT,所以平面APQ截正方体 A Q- B ABCD-A1B,CD,所得截面为五边形APEFQ.又AT⊥PQ,PQ=2√2，AT= √22+(2+号)-2，所以△APQ的面积为号×22×=2 3 3 3,五 边形APEFQ的面积为2匠+2，亚X3=-7厘，D错误故选BC (图2) 3 3 4 6 【答案】BC 12.【考点定位】考查随机抽样。 【考核目标】掌握抽样比、各层总数的计算. 【解题思路】女生应抽取的人数为28×00=12人 【答案】12 13.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量平行的条件. 【考核目标】掌握向量的坐标运算及向量平行的条件。 【解题思路】由a·b=mm+1)-2<0.得-2<m<1.当a/b时，有m+1=一2m,解得m=-子，此时向 量a,b的夹角为π，所以实数m的取值范围为(-2，一号)U(-号，1) 【答案】(-2，-号)U(-3,1) 14.【答案】 35#35 4 【详解】 如图所示，设△ABC的外接圆圆心为O,三棱锥的外接球球心为O,由 AB=AC=V5,∠BAC=120°， 则BC=AB+4C-2 AB-AC.co∠BAC=3+3-2x5x5X 9,即BC=3, 数学答案 第3页共6页 且Sc-)4B4C-sin∠B4C=35,所以△ABC外接圆半径为OB= BC 2 4 2sin∠BAC =V3, 则OO=√OB2-OB2=1,所以当点P在O,O的延长线上时，三棱锥的体积最大， =x35x3=3 此时三楼锥的高为0=P0+00-3,即=楼锥体积V-兮.cP0=兮×平 4 故答案为：33 4 15.【考点定位】考查复数的相关概念及计算， 【考核目标】掌握复数范围内方程的根、纯虚数的概念，复数的除法运算、模的计算 【解题思路】(I)将=1+i代人方程中，结合复数相等求出a,b的值，从而求得刘的模；(2)根据复数为纯虚 数求得m的值，再进行复数的除法运算. 【参考答案】解：(1)由题知(1十i)2十a(1十i)十b=0,…1分 整理得(a十b)十(a十2)i=0,… 3分 则a十二0解得a二。-2， a+2=0, …5分 b=2, 所以名=一2十2i,… 6分 |x1|=√/（-2)2+22=22.… 7分 (2)由(1)知，x2=x1+(n-1)+(m-2)i=(m-3)+ni, 因为复数为纯虚数，所以{m一3=0， 解得m=3, 9分 m≠0， 所以2=3i,…… 10分 所以是-=a2D-3-+ 2 13分 16.【考点定位】考查用样本估计总体 【考核目标】掌握由频率分布直方图计算频率、频数、样本平均数、方差， 【解题思路】(1)根据直方图各区间的频率和为1求参数α；(2)由平均数的计算公式及直方图求解即可； (3)根据平均数、方差的计算公式求解。 【参考答案】解：(1)由题知：10×0.01+10×0.015+10×0.025+10×2a+10×0.01=1,…2分 解得a=0.020.. …4分 (2)平均数为：(0.01×45+0.015×55+0.025×65+0.02×75+0.02×85+0.01×95)×10=70.5分 …8分 (3)设男生成绩的平均数元=70.5，方差=214.75，女生成绩的平均数)=73，方差=255.75，总体成绩 的平均数为之，方差为S,… 10分 则=+8=71.5…12分 $=0[+G-]+0[$+-]-0[21475+(71.5-70.502]+0[25.75+(71.5- 73)2]=232.65, 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65. …15分 数学答案 第4页共6页 17.【详解】(1)由余弦定理，得cosB=+c2- -,cosC=q2+62-c2 2ac 2ac 将上式代入(2a+c)cosB+bcosC=0,整理得a2+c2-b2=-aC, 8co9B-a2+c2-b=-c=-,“角B为△ABC的内角，Bs2 2ac 2ac 2 2)在△MBC中，Sc0SmB3Y=9,在AABC中，由余弦定理 2 24 =a2+c2-2 B,将b=iE,ac=3,B=号，代入得分=a+c-2ac-2 paccos, 2 13=a+-2a1-》 a+c=4,△ABC的周长为a+c+b=4+13. 18.【考点定位】考查平面向量的线性运算及数量积. 【考核目标】掌握平面向量的基本定理及数量积运算. 【解题思路】(1)利用向量的平行四边形法则求解；(2)利用向量共线定理及基本不等式求解；(3)将相关向量 表示出来，求出数量积，再利用基本不等式求最值. 【参考答案】解：(1)因为D是BC中点，所以Ai=2A+2A花， 1分 因为0是AD中点，所以A0-AD=AB+}AC,…. 2分 又A0=xA店+yAC,所以x=1,y 4，… 3分 所以2x-y== …4分 (2)由1知A0-A+A心-市+Aà… …5分 又O,P.Q三点共线所以+=1， …7分 所以4m+n=(4m+n(+动)=兴+十号≥2√只×孤+号=号（当且仅当兴=升时取等号，可 得m=景=子时取等号.… …9分 (3)O=A2-Aò=mA-(Ai+AC)=(m-)A店-A花， O=A-A0=mA心-(AB+AC)=-A+(m-十)AC, …10分 因为1A=AC=1,∠BAC=60,所以A成.AC=1X1X2=2: …11分 所以1o:-[(m-)店-4aò]=(m-十)）尸-(m-子)+6=m-驷+器， o-[-}+(m-子)c]=品-子(m-)+(m-)》=-梁+器 …12分 数学答案 第5页共6页 则O+10=m2+-是(m+0+是=(m+n-2m-是(m++是，…13分 由(2)知动+品=1.即m十n=mm 又m十n≥2mm,所以4mm≥2Vmm,解得mm≥寻（当且仅当m=n=号时取等号），…14分 所以1O+10=（4mP-2m-是×m+号=16(m)r-5mr+号-=16(m-最）》广- 因为>最所以当m=子时.O+0à：的最小值为16（冬-是》°-品= .…17分 19.【答案】(1)见解析 (2)(i)见解析；(ii)30°. 【小问1详解】直线AE和直线BF相交，故A,B,F,E四点共面，四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,ABC 平面ABFE,CD丈平面ABFE,故CD/I平面ABFE,因为平面PCD∩平面ABFE=EF,CDC平 面PCD,故EF∥CD. 【小问2详解】(i)AB⊥AD,AB/1CD,故CD⊥AD,故AC=√AD+CD2=√2， 所以AB2=AC2+BC2,故BC⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 故BC⊥PA,且PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,故BC⊥平面PAC. (i)因为EF∥CD,E为PD的中点，故F为PC的中点，且AC=PA=√2， 故AF⊥PC, 因为BC⊥平面PAC,AFC平面PAC,故AF L BC,且PCOBC=C,PC,BCC平面PBC, 故AF⊥平面PBC,故∠ABF是直线AB与平面PBC所成的角， 因为PA=AC=V2,PA⊥4C,所以PC=2,AF=L所以sin∠ABF=g=),即∠ABF=30, AB 2' 故直线AB与平面PBC所成的角为30°. 数学答案 第6页共6页2025级高一年级下学期阶段性测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.复数=1一213+卫在复平面内对应的点位于 5 ∧.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(k,k一1).b=(k,2一k),若a⊥b,则实数k= A号 B.1 c台 D号 3.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中O'A'=O'B=2,则 △OMB的面积是 Λ.1 B B.2 C.4 A'r D.8 4.某圆锥的体积为号，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为 A.号 B受 c D.x 5.在正方体ABCD-ABC,D1中，E为DD的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为() A.⑤ B.5 D.0 5 5 6.在△MBC中，内角A,B.C所对的边分别为ab,c,若A=受a2=4c,则sinB+sinC- A B⑤ 4 c D. 数学试题 第1页共4页 7.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点N在线 段BF上运动，点M在正方形ABCD内运动，MN=2,且始终保持MN⊥AB,则DM的最小 值为 D Λ.√2-1 B.22-2 c号 8.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向量 AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos0),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.已知平面内点 42,),B(1+),无点B绕点4沿顺时针方向旋转智后得到点P的坐标为《 A(（1,1+5 B.(1,2) c.(2,0) D.(4,) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.现有一组样本数据1,3,1,5,5,6,8,2,5，则这组数据的 A.众数为5 B.中位数为3 C.极差为7 D.70%分位数为5 10.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,2b2=a2+2c2,则下列说法正确的是 A.a=Accos B B.tan B=4tan C C.若△ABC是直角三角形，则b=√3c D.若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则Pi·P的最小值为-三c2cog2A 11.如图，正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，P,Q分别是楼BB1,DD1上 D 的点（不包括端点），且BP=DQ,则下列说法正确的是 A.正方体ABCD-A,B1CD,的外接球的表面积为8π B.若平面APQ与平面ABCD的交线为l,则PQ∥L C若平面APQ与平面ABCD所成的二面角为0，△APQ的面积为S,则1cs01=号 D.若BP=2PB1,则平面APQ截正方体ABCD-A1B,CD,所得截面的面积为V√17 数学试题 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容 量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取 人 13.已知向量a=(m,1),b=(m+1,一2)，若向量a,b的夹角为钝角，则实数m的取值范围 为 14.已知点P,A,B,C在半径为2的同一球面上，且AB=AC=√3，∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC 体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（本小题满分13分) 已知复数z=1十i是关于x的方程x2十ax十b=0(a,b∈R)的一个根，复数z1=a十bi. (1)求x1; (2)若复数2=之十(m一1)十(m一2)i(m∈R)为纯虚数，求丝 16.(本小题满分15分) 为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情 怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四'薪火竞答青春华章”校史知识竞赛.共有100 名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在[40,100]内，将60名男生 的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100],并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成 频率 组距 绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；0.025 (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75,40名女生成绩0.015 0.010 的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生 成绩的平均数和方差， 0405060708090100成续/分 数学试题 第3页共4页 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(2a+c)cosB+bcosC=0. (1)求角B的大小； (2)若b=√13，aC=3,求△ABC的面积和周长. 18.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，O是AD的中点，过O点的直线与边AB,AC分别相交 于点P,Q.设AP=mAB(m>0),AQ=nAC(n>0). (1)若AO=xAB+yAC,求2x-y的值； (2)求4m+n的最小值； (3)若△ABC是边长为1的等边三角形，求OP2+OQ的最小值. 19.(本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E为PD的中点，点F在棱 PC上，直线AE和直线BF相交 A (1)求证：EF∥CD: (2)若AD=DC=1,AB=2,PA=BC=√2. (i)证明：BC⊥平面PAC; (i)求直线AB与平面PBC所成的角， 数学试题 第4页共4页