浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

高一数学 考生须知：（与答题卷上的要求一致） 1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交 2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟， 3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.若复数z=1-i,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(1,2),b=(3,),若a18,则1= A.-3 B.1 2 C. 3-2 D.6 3.已知直线a,b和平面a,若alb,b∥a,则 A.alla B.aca C.a与a相交 D.alla或aCa 4.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为2或3”，事件B为“向上的点 数为偶数”，则事件A与事件B A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等 5.“2*<2y”是“gx<gy”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 6.有一组样本数据1,2,2,2,3,5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是 A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差 7.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x的图象向左平移p(p>0)个单位长度后关于y轴对称， 则”的最小值为 A. 5π B. C. D. 2 4 lnx,x≤e, 8.己知函数∫(x)={ x>6若函数8()=[/(x门'+a()-2a2恰有3个不同的零点， 则实数a的取值范围 B.(0,1) c. (2ouo)D.（ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数了（个=2如m2x-君 ,下列关于函数y=∫(x)的说法正确的是 A.最小正周期是π B 是对称中心 C.x=匹是对称轴方程 12 D.在0写 上单调递增 10.若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是 A.0<a<1 B。b有最大值子 +兮有最大值5 C. +后有最小值3 D. 11.定义在R上的函数f(x),满足当x>0时，f(x)>0,且x,y∈R,都有 r)=生2)“() 下列说法正确的是 A.f(0)=0 B.∫(x)是偶函数 C.f(x+y)=f(x)+f(y) D.若∫(x)+2f(x-3)≥0，则x≥2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某校有400名男生和200名女生，现采用按比例分配的分层随机抽样方法进行抽取， 已知女生抽取20人，则男生抽取△人 13,已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°，AB=2,则△ABC 周长的取值范围是▲· 14.矩形ABCD中，AB=1,AD=√2，将△ABD沿直线BD翻折至△'BD,使得二面 角A'-BD-C的大小为60°，点M是线段BC的中点，则三棱锥'-MBD外接球半径 为▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛.某校为了解周末某款AI应用软件在学 生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100 份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 (1)求图中a的值与该样本数据的第80百分位数：0.46 0.38 (2)根据该频率分布直方图，估计1800名学生 0.32 中有多少学生使用时长在1小时及以上 a 0.20 0.06 00.511.522.533.54时长 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足2 bcos 4+√3a=2c. (1)求角B: (2)若D在线段AB上，满足AD=CD=2BD,且c=3,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：A,B两个箱子中均有若干个 小球（除颜色外均相同），其中A箱中有2个白球和m个黑球，B箱中有1个白球和n 个黑球顾客每轮抽奖，需从A,B两个箱子中分别取一个球，按先A后B的顺序进行， 取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立.若A箱中取出白球，则送面值2 元的代金券，否则无奖励：若B箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励： (每位顾客每日至多参与两轮抽奖：代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可 叠加使用) (1)顾客甲参与一轮取球，求甲在A箱中取出白球的概率：（用m表示） (②)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为名，只获得一张代金券且为2元代金 券的概率为二 3 (i)求m,n: ()若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费， 求乙可足额支付停车费的概率. 18.(本小题满分17分) 如图，三棱柱ABC-AB,C,中，BB⊥B,C,BB,⊥AB. (1)求证：平面ABC⊥平面BB,CC: (2)若AB=2,AC=5,BC=√万，BB=1: )当t=1,求直线AB与平面BBCC所成角的正弦值： ()当t为何值时，三棱柱ABC-ABC体积最大，并求此最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)和向量ā，，定义：F=f(a列+f(a+列-f(f(), 当F≥0时，称函数f(x)为向量a,的相关函数. (1)若a=(0,1),=(1,0),函数f(x)=x,求F的值： (2)当a=1b(1>0)时， ()证明：∫(x)=e为向量a,b的相关函数： ()若f(x)=me+n(m>0,n>0)为向量a,b的相关函数，求所有满足条件的 有序数对(m,n)组成的集合A. 高一数学试卷 第4页（共4页) 高一数学答案 一、单项选择愿 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D A D B B c D C 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 三、填空题 12.40 13.(3+5.6+2 4. 2 四、解答愿 15.解：(1)(0.06×2+02+2a+0.38+046+0.32)×0.5=1 0=026…3分 [0,25)的须岸为(0.06+02+026+038+046)x0.5=0.68 [0,3)的频辜为(0.06+02+026+038+0.46÷032)×0.5=0.84 第80百分位数在[25,3)内，为25+08-0.68 ×0.5=2875…8分 084-0.68 (2)根据频半分布直方图，使用时长在1小时及以上的频岸为1-(0.06+02)x0.5=0.87 而1800×0.87=1566 估计1800名学生中有1566名学生使用时长在1小时及以上.…13分 16.解：(1)由己知可得2 sin Be0sA+5sinA=2sinC,…3分 (正余弦代入就得3分) 因为sinC=sin(A+B)化简得V3sinA=2 sinAcosB. 因为血A:0,所以casB=5 …6分 即B=不 …7分 6 (2)由已知可得c=3,易得BD=1CD=2.在△BCD中，4=1+a2-2×1xax5 得a2-V-3=0.因为a>0,解得a=5+压 2 所面数为3，间 …15分 (其他方法的情给分) 高一数学答米第1页共4页 17.解：(1)甲在A箱中取一个球的试验的样木空间包含m+2个样本点，事件“A箱取出 白球”包合2个样木点，故甲在A箱中取出白球的概率为 -3分 m+2 (2)()一轮取球的试验的样本空间包含(m+2n+)个样本点， -5分 事件“获得5元代金券的”包含2个样本点，事件“只获得一张代金券且为2元代金券”包 含2n个样本点，所以， 2 12n 1 m+20n+1)6’(m+2Xn+I)3 -8分 易得2n=22一n=2,代入可得m=2,所以m=n=2- --10分 ()甲可以利用代金券足额支付停车费用的极岸，即求甲两轮后获得代金券面值叠加后大 于等于8的概岸。甲两轮抽奖试验结果的样本空间共有144个样本点，获得代金券面值大于 等于8包含三个随机事件：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白） 均包合4个样本点，故发生概率均为4=名，（写出给3分） 946 36 所以甲两轮后获得代金券面值大于等于8的概宰为，即甲可以利用代金券足额支付停车 12 费用的概苹为 15分 12 18.解：(1)因为BB⊥B,C,BB⊥AB,B,G∩AB=B,BG,ABc平面ABC 所以BB⊥平面ABC,…3分 (没有“BC∩AB=B”扣2分) 又因为BBc平面BB.C,C,所以平面AB,C⊥平面BBCC:…5分 (没有经过线面垂直直接得到面面垂直得0分) (2)()由AB=2,4C=5,B服=1，得，A8=5,4G,=2, 过A作AM⊥BC,于M,设RM=m,由3-m=2-（万-m, 得m5,且4M.压 7 …9分 7 洼接BAM,由(I)易知，BAI为AB在平面BB,C,C上的射影， 故∠AB为直线AB与平面BB,C,C所成角 所以，sin∠ABM= AM5 …10分 14 高一数学答案第2页共4项 (i)48=V4-F,4C,=5-F, 过A作AM18C于M,设BM=m,由4-广-m=3-r-（万-m. 阁m9,且仙-得-示 由广c-4G=r4-s+-M,='4-G+'-s+-ca且 4-w,=ya6=ca=5B,-Sa65 3 得.cs=8服-Sas=G-B照 专-7版-网列若。 当且仅当，= 7取等号 所以当1=厘时，三棱柱BC-4BG,体积最大为 7 7 …17分 (看到单变量化或基本不等式就给2分) 19.解：(1)()油a=(0,)5=,0):a-6=0,+=5,-1-1. 散a-列=0.+列=5.f=.∫=1.所以F=反-1 ，…5分 (20若a=2>0).a-=5+-(1+-l 不防令x=J=同.则a石=+=x+=xl=y 故F≥0等价于(g)+x+)≥(x/U), 当(x)=c时，e”+e≥e成立，所以∫()=c为向量a,的相关函数：…10分 (间由知当x≥0y≥0时，有()+(x+y)2x)/U),则y=(x)为向量a,6的相 关函数故(x)=e+n为向量a,b的相关函数。 由x≥0，y≥0时，me+n+mey+n2(me*+n)(ame'+n）恒成立. 化简得：me7+(m-m)e”-me+e+2n-n20.① 先寻找m,n满足的必要条件， 令y=0,对任意的x≥0都有m-m-mm≥0， 高一数学答案第3页共4页 由于m>0,得0<m+n≤】. 所以，0<m+n≤1.②… …4…】分 下面证明对满足②的任意正实数对(m,)及任意非负实敷x,y,总有①成立 由n≤1-m,得-m≥m2-m,所以-mn(c2+c）≥(m-m)）e'+c),所以 me+(m-m)e"-mn(eite)+2n-ni ≥m”+(m-me”+(m2-m)ee'+2n-n =腕”÷(m-me”-(（ee）+l(m-m+2n-n =m"÷(m-m)e-1(e-1)+m2-m+2n- 由x≥0，y≥0，得e7≥1， 所以”≥m,且(m-m)(e-(e'-)>0,m>0,n(2-n)>0,故②成立 综上，={《m,n)l门<m÷n≤1，m>0,n>0}.…17分 (其他方法刮情给分) 高一数学答案第4页共4页