精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期高一数学期末统测模拟1

杭州学军中学2025学年第二学期高一数学期末统测模拟1 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列命题中，错误的是（    ） A. 函数 的最大值为 B. “ ”是“ ”的充分不必要条件 C. “ 是方程 的一个实数根”的充要条件是“ ” D. 设，，，，，都不为0，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则“”是“ ”的充要条件 5. 若平面向量，，满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. ，当时， C. D. ，当时， 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则 的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二、多选题 9. 已知在一次随机试验 中，定义两个随机事件 和 ，若，，则（   ） A. B. 若 、 相互独立，则 和 至少有一个发生的概率为 C. D. 10. 在平面直角坐标系中，角 以坐标原点 为顶点，以 轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数是周期为 的函数 C. D. 若 ，则 11. 已知正四面体 的棱长为3，其外接球的球心为 ．点 满足，过点 作平面平行于 和 ，设分别与该正四面体的棱 ， ， 相交于点 ， ，，则（ ） A. 四边形 的周长为定值 B. 当时，四边形 为正方形 C. 当时，截球 所得截面的周长为 D. 四棱锥的体积的最大值为 三、填空题 12. 已知是方程的两个实根,，则______． 13. 已知函数，若不等式对任意实数 恒成立，则 的取值范围为_______． 14. 若、、 、均为正实数，则的最小值为______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 16. 高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示． （1）试估计这次竞赛成绩的众数和平均数； （2）已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差； （3）已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率． 17. 如图，点分别是矩形 的边 上的点，． （1）若，求的取值范围； （2）若是 的中点，依次为边 的2025等分点．求的值． 18. 如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 沿DE翻折到， 沿EF翻折到， （1）求证：平面平面SFD； （2）当F是边BC的中点时，二面角的大小； （3）若，将 沿DE翻折到， 沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 ，求的最大值. 19. 已知函数. （1）直接写出的解集； （2）若，其中，求的取值范围； （3）已知 为正整数，求的最小值（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期高一数学期末统测模拟1 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合 ，再根据补集和交集运算即可. 【详解】或， ， ， . 故选：C. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】由，解得， 所以． 所以的虚部为1． 故选：C． 3. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例判断A；根据面面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质判断C；根据面面的位置的关系判断D. 【详解】对于A，如下图， 不一定平行，故A错误； 对于B，根据面面平行的性质，由，则，故B正确； 对于C，由，则或 相交，故C错误； 对于D，由，则或 相交，故D错误. 故选：B. 4. 下列命题中，错误的是（    ） A. 函数 的最大值为 B. “ ”是“ ”的充分不必要条件 C. “ 是方程 的一个实数根”的充要条件是“ ” D. 设，，，，，都不为0，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则“”是“ ”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】A选项：配凑出 项，再结合基本不等式求出函数最值，B选项：解不等式并结合充分不必要条件的定义即可判定，C选项：由方程根的定义即 即可判定，D选项： 通过反例即可证伪. 【详解】对于A，由题意得 ， 因为，所以 ，则 ， 因为 ，所以 ， 因此 ，所以 ， 当且仅当，即 ， 时等号成立，故A正确， 对于B，解 得 或 ， 原命题等于判断条件 和条件 或 的关系， 显然成立但不成立，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，B正确， 对于C，必要性验证:代入 得 ，即 ，必要性成立， 充分性验证:令 ，则 ， 由 得 ，说明当 时 恒成立，充分性成立， 故C正确， 对于D，不妨令 ，不等式① ，解集为 ， 不等式② ，解集 ，此时 ，故D错误. 5. 若平面向量，，满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 7. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. ，当时， C. D. ，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】观察到分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可. 【详解】由题，假设当时，，作出示意图如图所示： 则时，， 当时，，则A选项错误； 因为，，，故C选项错误， 且， 则结合图像可知，当时，恒成立，故B选项错误； 对于D选项，时，由图可知，则D选项正确. 故选：D. 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则 的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 二、多选题 9. 已知在一次随机试验 中，定义两个随机事件 和 ，若，，则（   ） A. B. 若 、 相互独立，则 和 至少有一个发生的概率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由概率的性质与公式并结合独立事件的乘法公式依次验证选项即可. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，， ，故B正确， 对于C，， 即，故C错误， 对于D， ， 由C知，则 ，即，故D正确. 10. 在平面直角坐标系中，角 以坐标原点 为顶点，以 轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数是周期为 的函数 C. D. 若 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意分别求出，，则，代入法判断A；由可判断B；利用换元法令可对C判断；化简，可判断D. 【详解】由题意得在角 的终边上，且， 所以，， 则， ，所以不是函数的一条对称轴，A错误； ， 因为为周期为 的函数，故B正确； ， 令， 所以， 当时，取到最大值为，所以，故C正确； 因为 ，则， 则 ，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：根据题意求出，，则. 11. 已知正四面体 的棱长为3，其外接球的球心为 ．点 满足，过点 作平面平行于 和 ，设分别与该正四面体的棱 ， ， 相交于点 ， ，，则（ ） A. 四边形 的周长为定值 B. 当时，四边形 为正方形 C. 当时，截球 所得截面的周长为 D. 四棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得四边形 的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面截球 所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥的体积的最大值判断选项D. 【详解】平面，平面平面，平面平面 则 ，，则 又平面，平面平面，平面平面 则 ，，则 则四边形 为平行四边形. 由，可得，则， 又正四面体 的棱长为3， 则， 选项A：四边形 的周长为.判断正确； 选项B：当时，，，则平行四边形 为菱形 又正四面体 中，对棱 ，则， 则菱形 为正方形. 判断正确； 分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ ， 设DN、CM交于K ，连接AK，则AK为正四面体的高 正四面体 的棱长为3，其外接球的球心为 ,则 在AK上，连接CO ，， 设球 半径为R，则， 即，解之得 由，可得 同理有，则 为异面直线之间的距离 ，则点 到 的距离为，球心 到 的距离为 选项C：当时，设与 交于T，则，T到 的距离为 球心 到平面 的距离为 则平面截球 所得截面半径为 则平面截球 所得截面的周长为.判断错误； 选项D：由， 可得点A到平面 的距离为，又平行四边形 为矩形， 则四棱锥的体积 令，则 由 得，由 ，得 则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为 故四棱锥的体积的最大值为.判断正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知是方程的两个实根,，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先由韦达定理得：，之后将代入方程，两式相加并利用已知的根的和即可求解. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式 ②式得：， 即， 也即，所以，得. 13. 已知函数，若不等式对任意实数 恒成立，则 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将对任意实数 恒成立，化为对任意实数 恒成立，即对任意实数 恒成立，再结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于，即恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 故为R上的奇函数； 而在R上单调递增， 故在R上单调递增， 又不等式对任意实数 恒成立， 即对任意实数 恒成立， 即对任意实数 恒成立， 即对任意实数 恒成立， 而，当且仅当即时取等号， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断函数的奇偶性以及单调性，从而脱去不等式中的函数符号，转化为关于自变量的不等式，继而分离参数，即可求解. 14. 若、、 、均为正实数，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值. 【详解】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为 ， 故答案为： . 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 16. 高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示． （1）试估计这次竞赛成绩的众数和平均数； （2）已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差； （3）已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率． 【答案】（1）众数：70；平均数：65 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和平均数的计算方法计算即可 （2）分别计算两组的人数，再根据平均数与方差的公式求解即可； （3）分别计算两组的人数，再根据古典概型的方法计算即可 【小问1详解】 由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为 ，，，，，故平均数为 【小问2详解】 由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故. 设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故 【小问3详解】 由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为 ，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为 ，则 17. 如图，点分别是矩形 的边 上的点，． （1）若，求的取值范围； （2）若 是 的中点，依次为边 的2025等分点．求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得. （2）取 的中点 ，利用中点向量公式求和即可得解. 【小问1详解】 在矩形 中，， ，即， 所以. 【小问2详解】 取 的中点 ，连接 ，由依次为边 的2025等分点， ， 得， 所以. 18. 如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 沿DE翻折到， 沿EF翻折到， （1）求证：平面平面SFD； （2）当F是边BC的中点时，二面角的大小； （3）若，将 沿DE翻折到， 沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 ，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）90° （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，，可得平面，由面面垂直的判定定理可得证； （2）由已知可得，，可证平面平面，可求二面角的大小； （3）设在面 上的射影为 ，连接 ，则为直线与平面 所成角 ．设 （），利用等体积法，由求得，从而得到的表达式，结合换元法及函数的单调性求出最大值． 【小问1详解】 因为四边形 是正方形， 为 的中点， 所以，，又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 当 是边 的中点时，由（1）可知，， 又∵，， 由勾股定理得，故， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， 故二面角的大小为90°； 【小问3详解】 设在平面 上的射影为 ，连接 ，则为直线与平面 所成角 ，    设 （），则，， 在中，，，， 可得， ， 其中平面，，故， ， 因为，即， 又，所以， 令，，， 令，， ， 当，，且时，，，， 则， 可得在上单调递减， 当，即 时，最大为. 19. 已知函数. （1）直接写出的解集； （2）若，其中，求的取值范围； （3）已知 为正整数，求的最小值（用表示）. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）转化为求解，分 与 讨论即可求解； （2）根据韦达定理得，再根据对勾函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴即为, 当 时，，故，显然不成立； 当 时，，故，即,解得 . 综上所述，的解集为. 【小问2详解】 设，则， 令，整理得：， 故，且，得. ∴在 上单调递增， 所以， 即. 【小问3详解】 ① 时，； ② 时，； ③ 时，； ④时，， ∴. 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $