第11讲 代数式的概念与代数式的值（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲代数式的概念与代数式的值 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1代数式的概念 题型2代数式书写格式 题型3列代数式 题型4代数式表示的实际意义 题型5已知字母的值，求代数式的值 题型6已知式子的值，求代数式的值 题型7程序流程图与代数式求值 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 叫代数式。 代数式、列代数式、 2.掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列 代数式的值、数量关 出代数式表示数量关系。 系、书写规范、一般 3.理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结 性。 果。 4.体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学 思想，感受字母表示数的一般性。 学习重点：理解代数式的概慨念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解 同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识|框引架 用运算符号连接数和字母的式子 定义 单独一个数或字母也是代数式 数前字后省略号 书写口诀 代数式的概念 数字与字母相乘省略乘号 除法变分数带分数化假 解题方法与口诀 数字写在字母前面 代入数值细计算 书写规范 求值口诀 除法写成分数形式 运算顺序要记清 带分数化为假分数 书写格式错误 定义 数或字母的积 系数次数混淆 高频易错点 单项式 系数 单项式中的数字因数 代入计算符号错误 代数式的概念与 次数 所有字母指数和 代数式判断 代数式的值 定义 几个单项式和 书写规范检查 高频考点 多项式 每个单项式 系数次数确定 常数项 不含字母的项 代数式求值 次数 最高次项次数 单项式和多项式统称整式 定义 整式 代入数值 单项式 求值步骤 分类 代数式的值 按运算顺序计算 多项式 把整体看作一个数 整体代入法 简化运算过程 知I识I精讲 知识点01代数式 1定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数 式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号： ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一 般都是代数式： ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【易错提醒】 代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母 也是代数式；含““<>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。 即时即线1.下列式子中：2,2x+y儿6， m’x+3>x,1+y=0,代数式有() 2/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ab 2有下列式子：①2026：②2a:③3x-1=2:④2⑤s=2:©x+y>4:@r,其中代数式有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 知识点02代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如t: ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a: 3 1 ×a a ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如3应写作3： ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略： 4 ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4(：4)应写作a-4；注意：分数线具有 “:”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面， 如㎡-b2平方米。 【易错提醒】 代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3）；带分数要化假分数；除法写成分数；单 位要加括号（如(+b)元）。乘号可省略或泻“.”，但数字与数字间不可省略。 即时即练1.以下代数式书写规范的是() 6 A.-la+b B. c D.(a+b)÷3厘米 2.有下列五个式子：①20m:②”g:@10a〈a不于0)：@1：回m:其不符合代数式 的书写格式的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点03代数式的值 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目 的、有意识的整体处理。 2根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体 代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化 【易错提醒】 代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如=-2代入x得(-2）)。负数代入时特别注意平方及乘方 符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。 即时即练1.当a=-山，b=2时，求下列代数式的值： )(a+b}-(a-b)2: (2)a2+2ab+b2 2.【阅读理解】 已知代数式x2+x+3的值为9，求代数式2x2+2x-3的值. 小明采用的方法如下： 解：由题意得，x2+x+3=9」 则有，x2+x=6. 所以2x2+2x-3 =2(x2+x)-3 =2×6-3 =9, 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若x2+x=-2,则代数式x2+x+3的值为 (2)若代数式x2+x+1的值为12，求代数式-2x2-2x+2025的值： 【拓展应用】 (3)若x2+3y=-3,y-y2=-5,求代数式3x2+8y+y2的值. 03 题型突破 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型1代数式的概念 7 【例1】在x’1-2x=0:b,y>2,51,a2-1a≠b中，代数式有（) A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 【例2】下列各式中，代数式的个数是() 07:@26+38@ :加@+，：@2a-1:@4@时-6)：@5n+2 1 A.5 B.6 C.7 D.8 【技巧归纳】 代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含 关系符号（二、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。 【变式1-1】下列式子：①1：②24，®3-4=5：@：⑤=2：⑧x+y>3,其中代数式有《) 1 ab A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式12】下列武子：①1，@24：回3x-4=5,@片：⑤+y>3,其中代数式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2代数式书写格式 【例3】下列各式中，书写格式正确的是() A3. B mn c.2 D.abx5 【例4】下列代数式书写正确的是() 1 A. 2xy B ab÷c mn2 D.2axb 【技巧归纳】 数字与字母相乘时数字在前（如3，字母间乘号可省略或记“.”，除号用分数形式。带分数须化为假 分数。相同字母相乘写幂，如2。单位括号加在式子后，如（叶）米。注意运算顺序。 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3b 3 【变式21】有下列各式：①ax2:②1a:@m-2米；④2：回a-b÷c:⑧号x. 5 其中，不符合代 数式书写规范要求的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【查式2】有下列四个式千：①a2025,②@10+aa≠0)，@1a⑤-，其中不行合代数式的5 6 格式的为() A.①③⑤ B.②③④ C.①③④ D.②④⑤ 题型3列代数式 【例5】一种商品的标价为a元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是 【例6】列代数式表示“a的相反数与b的平方的差”是 【技巧归纳】 先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列 式。注意“的”字结构：如”a与b的平方和”为a2+b2,"a与b的和的平方”为(+)2。区分。 【变式3-1】呼和浩特市某景点的成人票价是每张30元，儿童票价是每张18元.某旅行团有x名成人和y 名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为. 元 【变式32】填空： (1)已知操场环形跑道一圈长400m,甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为am/s, 乙的速度为bm/s(a>b),甲跑步超过乙一圈需」 S; (2)巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将mkg巧克力糖和kg奶糖混合，这样得 到的混合糖的平均单价是每千克 元. 题型4代数式表示的实际意义 【例】已知一个足球的价格是a元，则代数式“3a”表示的实际意义为 【例8】x+y的意义是x的平方与y的平方的和，那么x-y的意义是 【技巧归纳】 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x表示单价5元买x个的总价：2（叶）表示长方形周 长。注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。 【变式41】李老师买了3个篮球，每个篮球x元，付给售货员258元，且付的钱足够，258-3x表示 【变式42】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x元的商品以0.8(x-15)元的价格出售，请用恰当 的文字语言表达这次促销方法： 题型5已知字母的值，求代数式的值 【例9】当x=之，y=-2时，求多项式0W+8x-2025的值。 【例10】当a=2,b=-1,c=-3时求下列代数式的值： (1)2ab-c; (2)b2-4ac. 【技巧归纳】 直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x-2时x2=(2)2=4。分数值代入 时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。 【变式51】已知(x+2}与2少-3引互为相反数，求x-(x+y)的值. 【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据 (单位：米)，解答下列问题： 《一4←y 卧室 厨房 客厅 (1)用x、y的代数式表示地面总面积： (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当x=6,y=2时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少 元？ 7/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型6已知式子的值，求代数式的值 【例11】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要.例如：己知a2+2a=2,则代数式 2a2+4a+3=2(a2+2a)+3=2×2+3=7,-a2-2a=-(a2+2a）=-2.请根据以上思想方法解答以下问题： (1)若整式3x2-6x的值是9，求整式x2-2x的值： (2)若x2-3x=-4,求1-x2+3x的值： )当x=1时，多项式px+9-3的值是5，求当x=-1时，多项式px+qr+6的值， 【例12】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用 极为广泛.例如：已知代数式x2+x+1的值为7，求代数式2x2+2x-3的值. 小明采用的方法如下： 解：由题意得x2+x+1=7,则有x2+x=6, 所以2x2+2x-3=2(x2+x)3=2×6-3=9, 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若代数式x2+2x+2的值为5，求代数式x2+2x-5的值. (2)若代数式x2+x+3的值为13，求代数式4x2-4x+5的值， 【拓展应用】(3)若a2+3ab=-4,ab-b2=2,求代数式2a2+7ab-b2的值. 【技巧归纳】 利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知什=3，求 2叶2-1=2（叶）-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。 【变式61】【阅读材料】己知a2+2a=1,求代数式3a2+6a+2的值. 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意3a2+6a+2=3(a2+2a)+2=3×1+2=5,所以代数式3a2+6a+2的值为5. 【学以致用】 (1)当x2-2x=2,求代数式3x2-6x-1的值是 (2)当-x2+3x=-1时，求代数式2x2-6x+2的值是； 3)当x2-2y+y2=20,y-y2=6时，求代数式x2-5y+4y2的值. 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式62】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛 如图所示是老师安排的作业题 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x-3的值. 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3=7,所以x2+x=4,所以 2x2+2x-3=2(x2+x)3=2×4-3=5,所以代数式2x2+2x-3的值为5. 【方法运用】 (1)若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3-2x2-2x的值： (2)当x=8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当X=-8时，代数式ax+bx+4的值： 【拓展应用】 (3)当x=m时，代数式axr3+bx+4的值为10，求当x=-m时，代数式axr3+bx+4的值. 题型7程序流程图与代数式求值 【例13】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是-2，则输出'的值为一 x≥2 /输入x☑， 输入y x<2 =x-6 【例14】按图所示的程序计算，若开始输入的值为x=5,则最后输出的结果是 输入xA 计算3x+2的值 是 >100 输出结果/ 否 按下面的程序计算： 输入m 计算3m+1 是 >5 输出结果 否 【技巧归纳】 按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计 算，可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。 【变式7-1】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，将第1次输出的结 果1，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是-2，…则第2026次输出的结果是 9/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x为偶数 2 输入x 输出 x为奇数 x-3 【变式7-2】按下面的程序计算： 输入x 计算4x-2的值 >149 Yes 输出结果 No 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 04 过关检测 一、单选题 1.代数式3x的意义可以是() A.-3与x的和B.-3与x的差 C.-3与x的积 D.-3与x的商 2.下列各式中：①3号0：@a-b)c:③n-3人：①2,5：回2506：其中符合代数式书写要求的个数 有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.若a2-3b=1,则-3a2+9b+2的值是() A.5 B.1 C.-5 D.-1 4.某校开展知识竞赛活动.答对1题加a分，答错1题扣1分.小明答对3道题，答错2道题，则小明的 得分可以表示为() A.3a B.-2 C.3a-2 D.3a+2 5.数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号f(x)表示，并把当x=m时的多项式f(x)的值用f(m)表示. 对于多项式f()=ar+br+1,若f()=8,则f(l)的值等于() A.6 B.-6 C.7 D.-9 二、填空题 6.若la+3+(仍-2}=0，则(a+b)的值是 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.某精品手办打八折销售，已知原价为300元/件，则小明购买m件该商品需要 元 8.若a,b互为相反数，则(-2025)+a+2024+b=,a-10+b= 9.如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为 x≠ 输入x 输出 x÷4 10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密 还原为明文，已知某种加密规则为明文a,b对应的密文为a-2b,2a+b.例如：明文1,2对应的密文 是-3,4，当明文是2,5时，密文应是 三、解答题 11.请用代数式表示： (1)a减去b的差与c的积. (2)x,y两数和的平方减去它们差的平方. (3)a的3倍与b的和 12.如图，长方形的长为4，宽为b.现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画 出四分之一圆. a (I)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积： (2)当a=10cm,b=4cm时，求图中阴影部分的面积.（π取3） 13.已知若a、b互为相反数，m的绝对值为4. (I)直接写出a+b,m的值： (2)求a+b+a m的值。 14.如图，整数m,t,n在数轴上分别对应点M,T,N,数轴上每个格代表一个单位长度. M m (1)若m与n互为相反数，则t= 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若t=-2,求2m-n的值： (3)当原点在点T的左侧时，试说明：整数m,t,n的和除以3所得的余数一定是2 15.在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“了”表示数据输入、输出框；用“ 表示数 据处理和运算框：用 >”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）· 输入x 输入 输入x 输入x [x2] 2 香 -5 是了 2香 输出y 是Y /输出y=5x-3y 输出y入 输出y ① ② @ ④ 1)①如图①，当输入x=-2时，输出y=；②如图②，第一个运算框☐” 内应填；第二个运算 框“☐内应填 2)①如图③，当输入x=-1时，输出y=一：②如图④，当输出y=37时，输入的值x=· 3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15t(含15t)时，以2元/t的 价格收费：当每月用水量超过15t时，超过部分以3元t的价格收费，请设计出一个“计算程序”，使得输 入数为每月用水量x,输出数为水费y, 16.有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为-4，那么代数式2(a+b)+4(2a+b)的值是多少？”爱动脑 筋的小伟的解题过程如下： 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)=2×(-4)=-8 小伟把5a+3b作为一个整体求解.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方 法，完成下面问题： (1)已知a2+a=3,求代数式2a2+2a+2023的值： 2)已知a-2b=-3,求代数式3(a-b)-7a+11b+2的值； 3)已知a2+2ab=-5,ab-2b2=-3,求代数式3a2+4ab+4b2的值. 12112 第11讲 代数式的概念与代数式的值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 代数式的概念 题型2 代数式书写格式 题型3 列代数式 题型4 代数式表示的实际意义 题型5 已知字母的值，求代数式的值 题型6 已知式子的值，求代数式的值 题型7 程序流程图与代数式求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 代数式、列代数式、代数式的值、数量关系、书写规范、一般性。 1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。 2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列出代数式表示数量关系。 3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结果。 4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学思想，感受字母表示数的一般性。 学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【易错提醒】 代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。 即时即练1．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 2．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 【易错提醒】 代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。 即时即练1．以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可． 【详解】解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 2．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为时可简化为“-字母”的形式． 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式； 对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个． 故选：C． 知识点03 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【易错提醒】 代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2得 (-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。 即时即练1．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 2．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 题型1 代数式的概念 【例1】在，，，，，，中，代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或不等号”是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确答案． 【详解】解：∵π是常数，属于代数式， ∵是方程，不是代数式， ∵是分式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∵是单项式，属于代数式， ∵是多项式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∴代数式有π、、、，共4个， 故选：D． 【例2】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的概念，能区分代数式与等式是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐一判断每个式子是否符合定义，统计符合条件的式子数量，从而得出答案． 【详解】解：∵代数式的定义为：用运算符号把数字与字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，等式不是代数式， ∴①是代数式， ②是代数式， ③是等式，不是代数式， ④是代数式， ⑤是代数式， ⑥是代数式， ⑦是代数式， ⑧是代数式， ∴符合代数式定义的共7个， 故选：C． 【技巧归纳】 代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。 【变式1-1】下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 【变式1-2】下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，正确理解代数式的概念是关键．根据代数式的定义（由数字、字母和运算符号组成，不包含等号或不等号），判断每个式子是否为代数式即可． 【详解】解：① 1是数字，是代数式； ②是数字与字母的乘积，是代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④是除法运算，是代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； 代数式有①②④，共3个． 故选：B． 题型2 代数式书写格式 【例3】下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 【例4】下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A的书写符合代数式书写规范，选项A正确； 选项B中，除法运算应写成分数形式，正确书写为，故B不符合要求； 选项C中，数字因数应写在字母前面，正确书写为，故C不符合要求； 选项D中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为，故D不符合要求. 【技巧归纳】 数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假分数。相同字母相乘写幂，如a²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。 【变式2-1】有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解： ① 中使用了“”号，不符合规范； ② 中数字1未省略，不符合规范； ③米，代数式中含有单位，不符合规范； ④书写正确； ⑤中使用了除号，不符合规范； ⑥ 中使用了带分数，不符合规范， ∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：D． 【变式2-2】有下列四个式子：；其中不符合代数式的书写格式的为（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查代数式的表示，熟练掌握代数式的书写要求是解题关键． 根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，判断各项． 【详解】解：①，数字因数写在前面，乘号可以省略不写，应写为，不符合书写格式； ③应写为，不符合书写格式； ④应写为，不符合书写格式； 而②和⑤符合书写格式； 不符合的是①③④，有3个． 故选：C． 题型3 列代数式 【例5】一种商品的标价为元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元． 【答案】 【分析】明确打折的含义，七折出售即按标价的倍出售，据此列出代数式即可. 【详解】解：已知商品标价为元，按标价的七折出售， 因此售价为元. 【例6】列代数式表示“a的相反数与b的平方的差”是______． 【答案】 【分析】先得到的相反数，再得到的平方，最后计算两者的差即可. 【详解】解：的相反数与的平方的差为. 【技巧归纳】 先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列式。注意“的”字结构：如“a与b的平方和”为a²+b²，“a与b的和的平方”为(a+b)²。区分。 【变式3-1】呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 【答案】 【分析】利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用． 【详解】解：成人票单价30元，一共名成人， 成人门票费用：元； 儿童票单价18元，一共名儿童， 儿童门票费用：元； 总费用成人费用儿童费用， 应付门票费用总和为：元． 【变式3-2】填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 【答案】 【分析】（1）本题是同向追及行程问题，甲超过乙一圈时，两人的路程差为环形跑道一圈的长度，根据时间等于路程差除以速度差可求解； （2）本题考查混合糖平均单价的计算，先求出混合糖的总价和总质量，再根据平均单价等于总价除以总质量可求解． 【详解】解：（1）设甲跑步超过乙一圈需要，根据题意，得： ， 解得； （2）根据题意，巧克力糖的总价为元，奶糖的总价为元，因此混合糖的总总价为元，混合糖的总质量为， 因此平均单价为元每千克． 题型4 代数式表示的实际意义 【例7】已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 【例8】的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【答案】x与y的差的平方 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义， 表示先计算与 的差，再对该差进行平方运算． 【详解】解：的意义是x与y的差的平方 故答案为：x与y的差的平方． 【技巧归纳】 将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x表示单价5元买x个的总价；2(a+b)表示长方形周长。注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。 【变式4-1】李老师买了3个篮球，每个篮球元，付给售货员258元，且付的钱足够，表示______． 【答案】售货员找回李老师的钱数 【分析】本题考查代数式表示的意义，掌握知识点是解题的关键． 付给售货员的钱减去购买篮球的总价，即为找回的钱数 【详解】解：付给售货员258元，购买3个篮球每个x元，总价为元，因此表示售货员找回李老师的钱数． 故答案为：售货员找回李老师的钱数． 【变式4-2】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x元的商品以元的价格出售，请用恰当的文字语言表达这次促销方法：_______________________ 【答案】先降价15元，再打8折 【分析】本题主要考查了代数式的意义，根据表达式，可知先执行减法运算，再执行乘法运算（乘以），即先降价15元，然后打8折． 【详解】解：表达式表示原价x元先减去15元，再乘以（即打8折）， 因此用文字语言描述为“先降价15元，再打8折”． 故答案为：先降价15元，再打8折． 题型5 已知字母的值，求代数式的值 【例9】当，时，求多项式的值． 【答案】 【分析】直接把，分别代入 计算，即可作答． 【详解】解：∵， 则 ． 【例10】当，，时求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】把，，直接代入计算． 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）当，，时， ． 【技巧归纳】 直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2时x²=(-2)²=4。分数值代入时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。 【变式5-1】已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21600元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可； （2）将x、y的值代入所得代数式计算即可． 本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：客厅面积为，卧室面积为，厨房面积为，卫生间面积为． 故总面积． （2）解：当时， 总费用为（元）． 所以总费用为21600（元）． 题型6 已知式子的值，求代数式的值 【例11】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，．请根据以上思想方法解答以下问题： (1)若整式的值是9，求整式的值； (2)若，求的值； (3)当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值． 【答案】(1)3 (2)5 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）由题意可以得到，即可得解； （2）将的值代入代数式即可求解； （3）由题意可以得到的值，然后把原式变形为包含的形式即可得解； 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：∵当时，多项式的值是5， ∴， ， 当时，． 【例12】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （3）将所求代数式变形为，然后整体代入求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ． 【技巧归纳】 利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。 【变式6-1】【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 【变式6-2】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解； （3）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时，代数式； （3）当时，， ∴， ∴当时，代数式． 题型7 程序流程图与代数式求值 【例13】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）． 【详解】解：输入的值是， 将代入中， ． 【例14】按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是_____． 【答案】 【分析】从开始，依次计算并判断是否大于，不满足则重复代入，直到结果大于时输出． 【详解】解：输入，则，，返回输入； 输入，则，，返回输入； 输入，则，，输出结果． 按下面的程序计算： 【技巧归纳】 按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计算，可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。 【变式7-1】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，将第1次输出的结果1，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是，…则第2026次输出的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查流程图与数字类规律，理解题意并写出前几次结果寻找规律是解题关键． 先按题干所给的流程图计算出前几次结果，归纳总结出规律． 【详解】解：根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果如下： 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 发现规律：从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第2026次输出的结果是． 故答案为：． 【变式7-2】按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 一、单选题 1．代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【详解】解：代数式的意义可以是与的积. 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 3．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 4．某校开展知识竞赛活动．答对1题加分，答错1题扣1分．小明答对3道题，答错2道题，则小明的得分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的计分规则，分别计算答对题的总得分和答错题扣除的分数，再作差即可得到小明的总得分． 【详解】解：∵答对1题加分，小明答对3道题， ∴答对题的总得分是分， 又∵答错1题扣1分，小明答错2道题， ∴答错题一共扣除分， ∴小明的总得分为分． 5．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 二、填空题 6．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 7．某精品手办打八折销售，已知原价为300元/件，则小明购买件该商品需要__________元． 【答案】 【详解】解：每件手办现价为（元），购买件，总价为（元）． 8．若a，b互为相反数，则______，_______． 【答案】 10 【分析】先根据相反数的定义求出，再整体代入计算，并根据绝对值解答． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， 所以； ． 9．如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 三、解答题 11．请用代数式表示： (1)a减去b的差与c的积． (2)x，y两数和的平方减去它们差的平方． (3)a的3倍与b的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）a和b的差表示为，然后与c的积表示为； （2）x和y的和表示为，其平方为；x和y的差表示为，其平方为，然后相减； （3）a的3倍表示为，与b的和表示为． 【详解】（1）解：a减去b的差与c的积可表示为：． （2）解：x，y两数和的平方减去它们差的平方可表示为：； （3）解：a的3倍与b的和可表示为：． 12．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）长方形的面积减去四个圆的面积即可求解，四个圆的面积的和是一个整圆的面积； （2）把，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 13．已知若a、b互为相反数，m的绝对值为4． (1)直接写出，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相反数的性质和绝对值的意义即可求出对应值； （2）将（1）中求出的值代入所求代数式，分类计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵m的绝对值为4， ∴； （2）解：当时，； 当时，， 综上，原式的值为0． 14．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）解：设计如框图如图： 16．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $