专题08整式的加减与表达规律 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版数学六升七暑假预习讲义

专题08整式的加减与表达规律暑假预习讲义 · 掌握同类项定义，能准确判断同类项，熟记去括号、合并同类项法则，理解其依据；熟练整式加减运算，会化简整式、求整式和差以及化简求值，标注符号易错点。 · 掌握找规律步骤：观察、猜想、列代数式、运算验证；会分析日历、数列、图形规律，用含 n 的代数式表示规律，并借助整式加减化简、验证式子；能用字母表示数，解释数字游戏原理。 · 通读课本，勾画重点、疑点，完成课后基础习题；明白整式加减是探索、验证规律的计算基础。 预习必备 知识梳理 1.同类项 2.两大运算法则 3.整式加减标准运算步骤 4.常考题型 5.探索与表达规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同类项的判断 2.由同类项求指数参数 3.合并同类项 4.去括号 5.添括号 6.整式的加减运输 7.整式加减中的化简求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的应用 10.带有字母的绝对值化简问题 11.数字类规律探索 12.图形类规律探索 强化题型 解答题9题 知识点 01 同类项 分类 详细完整内容 标准定义 所含字母完全相同，并且相同字母对应的指数也分别相等的项；所有常数项（不含字母的数字）都互为同类项。 四条判定细则 1.只看字母种类与对应指数，和项前面的系数正负、大小无关； 2.和字母书写先后顺序无关，如3xy与-2yx是同类项； 3.只要有一组相同字母指数不相等，就不是同类项； 4.单独数字之间，无论正负都是同类项。 正确举例（同类项） 1.7a2b 和 -5a2b； 2.-12 和 8； 3.xy3和 xy3 反例（非同类项） 1. x 和 x2（字母相同，指数不同）； 2. 2ab 和 3ac（所含字母不一样）； 3. m2n和 mn2相同字母指数不对应） 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算 ax+bx=(a+b)x 完整步骤： 1 标记式子中所有同类项； 2 同类项系数相加； 3 字母部分原样抄写； 4 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+(-5+1)x=5x2-4x 2.去括号法则（分 3 类详细） （1）括号前是 “+” 号 去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(m-n+p)=a+m-n+p （2）括号前是 “-” 号 去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-n+p)=a-m+n-p （2）括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8；-3(x+2)=-3x-6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1.有括号先去括号； 2.准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 4.最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2.求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号； 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3.化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 一.通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1.列举前 3 组特殊数字 / 图形数量； 2.观察、对比，寻找数量变化关系； 3.猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示； 4.利用整式加减化简代数式； 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二．三大必考规律题型 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 数列数字规律 等差、等比、平方型数列 列出前 3 组数字，找相邻数字差值 / 倍数关系，写出第n项 1,3,5,7… 第n项：2n-1 日历数字规律 横向相邻数差 1，纵向上下数差 7 设中间数字为x，其余数字用含x代数式表示，整式求和 十字框 5 数和 = 中间数 ×5；3×3 九宫格 9 数和 = 中间数 ×9 图形排列规律 第 1、2、3 个图形对应数量依次变化 数出每组图形数量，转化为数列规律，用n表示第n个图形总数 摆小棒、点阵、正方形拼接类题目通用 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b； 三位数表示：百位a、十位b、个位c，写作100a+10b+c； 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算结果的数学原理 知识点06：易错点汇总 易错板块 详细细分易错点 错误示范 标准正确做法 同类项判断 1. 相同字母指数不一致，误判为同类项2. 误以为系数不同就不是同类项 把x和x2判定为同类项 只对比字母和对应指数，与系数大小、正负无关 运算法则运用（合并、去括号） 1. 不同类项强行合并，随意相加字母2. 括号前负号，只改变第一项符号3. 括号外数字因数漏乘括号内某一项 2a+3b=5ab；x-(2x-1)=x-2x-1 1. 只有同类项可以合并，字母、指数不变；2. 负号去括号，括号内所有项全部变号；3. 数字分配律乘遍括号内每一项 整式和差列式 两个多项式求差，后一个多项式不加括号 2x-1与x+3的差写成2x-1-x+3 做减法时，后整个多项式外加括号：(2x-1)-(x+3) 化简求值 不化简原式，直接把数字代入复杂长式子 直接将数值代入未化简多项式 先化简整式得到最简形式，再代入数值计算 数列、图形规律 1. 仅两组数据就写出规律，式子出错2. 写出代数式不化简、不代入验证3. 令n=0代表第一个图形 数列2,4,6直接写2n+2 1. 至少观察 3 组数据；2. 用整式加减化简式子，代入n=1、2、3验证；3.n取正整数，n=1对应第一个图形 日历计算 记错竖列数字差值，合并同类项计算失误 中间数x，下方数字写成x+1 横向相邻差 1，纵向相邻差 7；全部代数式相加后合并同类项推导总和关系 数字游戏列式 直接将十位、个位字母相加表示两位数 十位a个位b，写成a+b 两位数标准写法10a+b，三位数100a+10b+c 题型1.同类项的判断 【典例】写出一个与同类项为__________． 【跟踪专练1】大家都知道同类项吧！请你判断下面选项中（   ）是同类项 A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，则_____． 【跟踪专练3】下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 题型2.由同类项求指数参数 【典例】若与是同类项，则的值为______． 【跟踪专练1】若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练2】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则___________． 【跟踪专练3】若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型3.合并同类项 【典例】计算：___________． 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【跟踪专练3】若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 题型4.去括号 【典例】去括号：___________． 【跟踪专练1】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，，且a，b，c，d均不为0，则______ 【跟踪专练3】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5.添括号 【典例】已知，则代数式的值为_____： 【跟踪专练1】下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若代数式的值为，则的值是______． 【跟踪专练3】在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型6.整式的加减运算 【典例】已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【跟踪专练1】晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【跟踪专练2】已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【跟踪专练3】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7.整式加减中的化简求值 【典例】已知，则_________． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【跟踪专练2】已知，，则_____． 【跟踪专练3】已知，，则多项式的值为(    ) A．1 B． C．2024 D． 题型8.整式加减中的无关型问题 【典例】已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【跟踪专练1】多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【跟踪专练2】已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【跟踪专练3】定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 题型9.整式加减的应用 【典例】一批水泥，用汽车运走了a吨，剩下的水泥比运走的少b吨，用含a、b的代数式表示这批水泥共有_________吨．（结果化为最简） 【跟踪专练1】某长方形窗框的周长为，长为，则窗框的宽是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 【跟踪专练3】已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 题型10.带有字母的绝对值化简问题 【典例】若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 【跟踪专练1】如果，那么的值为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的所有可能值为______． 【跟踪专练3】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 题型11.数字类规律探索 【典例】有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【跟踪专练1】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【跟踪专练2】观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【跟踪专练3】下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 题型12.图形类规律探索 【典例】下列图中的每个小三角形均相同，图①中有1个小三角形，图②中有5个小三角形，图③中有11个小三角形，图④中有19个小三角形…，按此规律，则第10个图形中小三角形的个数是_______． 【跟踪专练1】如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【跟踪专练2】如图，用棋子摆成反写的“”字．摆成第10个反写的“”字需要______个棋子． 【跟踪专练3】下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 解答题 1．指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 2．已知，． (1)求B（用含a、b的代数式表示）： (2)若与为同类项，求的值． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．化简： (1)； (2)． 5．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 7．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 8．如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 9．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08整式的加减与表达规律暑假预习讲义 · 掌握同类项定义，能准确判断同类项，熟记去括号、合并同类项法则，理解其依据；熟练整式加减运算，会化简整式、求整式和差以及化简求值，标注符号易错点。 · 掌握找规律步骤：观察、猜想、列代数式、运算验证；会分析日历、数列、图形规律，用含 n 的代数式表示规律，并借助整式加减化简、验证式子；能用字母表示数，解释数字游戏原理。 · 通读课本，勾画重点、疑点，完成课后基础习题；明白整式加减是探索、验证规律的计算基础。 预习必备 知识梳理 1.同类项 2.两大运算法则 3.整式加减标准运算步骤 4.常考题型 5.探索与表达规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同类项的判断 2.由同类项求指数参数 3.合并同类项 4.去括号 5.添括号 6.整式的加减运输 7.整式加减中的化简求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的应用 10.带有字母的绝对值化简问题 11.数字类规律探索 12.图形类规律探索 强化题型 解答题9题 知识点 01 同类项 分类 详细完整内容 标准定义 所含字母完全相同，并且相同字母对应的指数也分别相等的项；所有常数项（不含字母的数字）都互为同类项。 四条判定细则 1.只看字母种类与对应指数，和项前面的系数正负、大小无关； 2.和字母书写先后顺序无关，如3xy与-2yx是同类项； 3.只要有一组相同字母指数不相等，就不是同类项； 4.单独数字之间，无论正负都是同类项。 正确举例（同类项） 1.7a2b 和 -5a2b； 2.-12 和 8； 3.xy3和 xy3 反例（非同类项） 1. x 和 x2（字母相同，指数不同）； 2. 2ab 和 3ac（所含字母不一样）； 3. m2n和 mn2相同字母指数不对应） 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算 ax+bx=(a+b)x 完整步骤： 1 标记式子中所有同类项； 2 同类项系数相加； 3 字母部分原样抄写； 4 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+(-5+1)x=5x2-4x 2.去括号法则（分 3 类详细） （1）括号前是 “+” 号 去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(m-n+p)=a+m-n+p （2）括号前是 “-” 号 去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-n+p)=a-m+n-p （2）括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8；-3(x+2)=-3x-6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1.有括号先去括号； 2.准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 4.最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2.求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号； 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3.化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 一.通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1.列举前 3 组特殊数字 / 图形数量； 2.观察、对比，寻找数量变化关系； 3.猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示； 4.利用整式加减化简代数式； 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二．三大必考规律题型 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 数列数字规律 等差、等比、平方型数列 列出前 3 组数字，找相邻数字差值 / 倍数关系，写出第n项 1,3,5,7… 第n项：2n-1 日历数字规律 横向相邻数差 1，纵向上下数差 7 设中间数字为x，其余数字用含x代数式表示，整式求和 十字框 5 数和 = 中间数 ×5；3×3 九宫格 9 数和 = 中间数 ×9 图形排列规律 第 1、2、3 个图形对应数量依次变化 数出每组图形数量，转化为数列规律，用n表示第n个图形总数 摆小棒、点阵、正方形拼接类题目通用 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b； 三位数表示：百位a、十位b、个位c，写作100a+10b+c； 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算结果的数学原理 知识点06：易错点汇总 易错板块 详细细分易错点 错误示范 标准正确做法 同类项判断 1. 相同字母指数不一致，误判为同类项2. 误以为系数不同就不是同类项 把x和x2判定为同类项 只对比字母和对应指数，与系数大小、正负无关 运算法则运用（合并、去括号） 1. 不同类项强行合并，随意相加字母2. 括号前负号，只改变第一项符号3. 括号外数字因数漏乘括号内某一项 2a+3b=5ab；x-(2x-1)=x-2x-1 1. 只有同类项可以合并，字母、指数不变；2. 负号去括号，括号内所有项全部变号；3. 数字分配律乘遍括号内每一项 整式和差列式 两个多项式求差，后一个多项式不加括号 2x-1与x+3的差写成2x-1-x+3 做减法时，后整个多项式外加括号：(2x-1)-(x+3) 化简求值 不化简原式，直接把数字代入复杂长式子 直接将数值代入未化简多项式 先化简整式得到最简形式，再代入数值计算 数列、图形规律 1. 仅两组数据就写出规律，式子出错2. 写出代数式不化简、不代入验证3. 令n=0代表第一个图形 数列2,4,6直接写2n+2 1. 至少观察 3 组数据；2. 用整式加减化简式子，代入n=1、2、3验证；3.n取正整数，n=1对应第一个图形 日历计算 记错竖列数字差值，合并同类项计算失误 中间数x，下方数字写成x+1 横向相邻差 1，纵向相邻差 7；全部代数式相加后合并同类项推导总和关系 数字游戏列式 直接将十位、个位字母相加表示两位数 十位a个位b，写成a+b 两位数标准写法10a+b，三位数100a+10b+c 题型1.同类项的判断 【典例】写出一个与同类项为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义写出符合条件的项即可． 【详解】解：与是同类项的式子可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】大家都知道同类项吧！请你判断下面选项中（   ）是同类项 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据定义判断各选项即可，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相同，与字母的排列顺序无关． 【详解】解：同类项的定义为：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，与顺序无关， A选项中，相同字母的指数不相同，不是同类项， B选项中，所含字母都是和，相同字母的指数都是1，符合同类项定义， C选项中，相同字母的指数不相同，不是同类项， D选项中，所含字母不相同，不是同类项， 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可求出 和的值，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，， ∴ 故答案为：5． 【跟踪专练3】下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是依据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的同类项概念判断选项． 根据同类项的定义，逐一分析各组项的字母及对应指数是否一致，找出不满足条件的选项． 【详解】解：A中和14均为常数项，是同类项； B中含字母，为常数项，无相同字母，不是同类项； C中和，字母均为和且指数均为1，是同类项； D中和，字母均为和且指数相同，是同类项； 故选B． 题型2.由同类项求指数参数 【典例】若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ． 【跟踪专练1】若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得 ，， 解得 ，， ∴ ． 【跟踪专练2】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项，两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，由此可列出关于m、n的方程，求解后计算的值． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍然是单项式， ∴与是同类项， ∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得， ，， 解得，， 则． 【跟踪专练3】若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过方程求解和，再计算表达式的值． 【详解】解：两个单项式是同类项， 的指数相等：， ． 的指数相等：， 代入，得， ． ． 故选：A． 题型3.合并同类项 【典例】计算：___________． 【答案】/ 【分析】利用合并同类项法则求解即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【跟踪专练2】如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的差仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：由题意可知，单项式与是同类项. 故， 解得，. 将，代入得： . 【跟踪专练3】若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 题型4.去括号 【典例】去括号：___________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 【跟踪专练2】已知，，，且a，b，c，d均不为0，则______ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，先将拆开，然后进行合并同类项计算即可求得结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ， ， ， 代入到， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号的法则，解题的关键是掌握去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变，同时括号前的系数需乘以括号内的每一项，解答即可． 【详解】解：A、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； B、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； C、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； D、，与选项一致，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 题型5.添括号 【典例】已知，则代数式的值为_____： 【答案】6 【分析】本题主要考查了代数式求值，把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练1】下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故 B变形错误； ，故 C变形错误； ，故D变形正确. 【跟踪专练2】若代数式的值为，则的值是______． 【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值，将原式化成，再整体代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 题型6.整式的加减运算 【典例】已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 【跟踪专练1】晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∴结果比原来大． 【跟踪专练2】已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查整式的加减运算，设被污染的数字为k，化简，根据结果是单项式，分2种情况讨论求解即可． 【详解】解：设被污染的数字为k，则：， ∵化简的结果是单项式， ∴或， ∴或； 故被污染的数字是2或3； 故答案为：2或3． 【跟踪专练3】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号与添括号的法则，解题关键是掌握“括号前是正号，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去（添）括号后括号内各项符号改变”的规则，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵去括号与添括号法则：括号前是正号，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去（添）括号后括号内各项符号改变 ∴对各选项分析如下： A选项：，故A错误 B选项：，去括号符合法则，故B正确 C选项：，故C错误 D选项：，故D错误 故选：B． 题型7.整式加减中的化简求值 【典例】已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题利用整体代入法求值，先将所求代数式提取公因式变形，再将已知等式整体代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用．通过将两个已知等式相加，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，则多项式的值为(    ) A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先计算整式的加减，再将的值代入计算即可得． 【详解】解： ， 将，代入得：原式， 故选：A． 题型8.整式加减中的无关型问题 【典例】已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先对原多项式进行整式的加减运算并合并同类项，再根据多项式的值为定值的条件，确定含与的项的系数为0，求出、的值后计算． 【详解】解： ∵无论，取什么值，多项式的值都等于定值6， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2 【跟踪专练1】多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【跟踪专练2】已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【跟踪专练3】定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 题型9.整式加减的应用 【典例】一批水泥，用汽车运走了a吨，剩下的水泥比运走的少b吨，用含a、b的代数式表示这批水泥共有_________吨．（结果化为最简） 【答案】 【分析】先根据已知条件求出剩余水泥的吨数，再将运走的水泥吨数与剩余的相加，最后化简代数式得到总吨数． 【详解】解：由题意可知，运走水泥a吨，剩下的水泥比运走的少b吨， 剩下的水泥为吨． 这批水泥的总吨数为． 【跟踪专练1】某长方形窗框的周长为，长为，则窗框的宽是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方形周长公式与整式加减计算，根据长方形周长公式推导出宽的计算方法，代入已知条件化简即可得到结果． 【详解】解：∵长方形窗框的周长为，长为， ∴窗框的宽是 ． 【跟踪专练2】如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 【答案】80 【分析】设小长方形的长为，分别表示出A，B的长和宽，然后表示出其周长之和后代入数值计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为， 则A的长为，宽为，B的长为，宽为， ， 即长方形A，B的周长之和为． 【跟踪专练3】已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】根据题意列式为，将其计算并整理后把已知数值整体代入并计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即长方形A与长方形B的面积差为6． 题型10.带有字母的绝对值化简问题 【典例】若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的化简与数轴的综合应用，关键是根据数轴判断数的正负性，再利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如果，那么的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的化简问题，能够熟练根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 先根据，推出，根据取值范围化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 【跟踪专练3】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 题型11.数字类规律探索 【典例】有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【答案】 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】先观察得出3的幂次的末位数字的循环规律，再通过计算余数确定的末位数字． 【详解】解：观察已知算式可得，3的幂次的末位数字按3、9、7、1的顺序循环，每4个数为一个循环周期， ，余数为1， 则的末位数字与第一个循环项的末位数字相同，是3． 【跟踪专练2】观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律．分别从符号、分子、分母三个方向找出数字的排列规律．利用规律求解即可． 【详解】解：观察数列可得排列规律： 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正， 分子规律：第个数的分子为， 分母规律：第个数的分母为， 第个数位于偶数位置． 符号为正．分子为．分母为． 第个数为． 【跟踪专练3】下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 题型12.图形类规律探索 【典例】下列图中的每个小三角形均相同，图①中有1个小三角形，图②中有5个小三角形，图③中有11个小三角形，图④中有19个小三角形…，按此规律，则第10个图形中小三角形的个数是_______． 【答案】109 【分析】通过观察图中三角形的个数与图形的序号的关系可得结论． 【详解】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律： 第一个图形有个三角形， 第二个图形有个三角形， 第三个图形有个三角形， 第四个图形有个三角形， 第n个图形有个三角形． ∴第10个图形有个三角形． 【跟踪专练1】如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【答案】D 【分析】找出图形的变化规律，进行解答即可． 【详解】解：第1个图形需要12根火柴； 第2个图形需要20根火柴； 第3个图形需要28根火柴； 即每次增加8根火柴，则第m个图形需要根火柴． 【跟踪专练2】如图，用棋子摆成反写的“”字．摆成第10个反写的“”字需要______个棋子． 【答案】 【详解】解：比较前后图形数量发现规律：后一个图形比前一个图形多3个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字比第1个反写的“”字多个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字需要个棋子． 【跟踪专练3】下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 【答案】C 【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有个桃心，当代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有个桃心； 第②个图形一共有个桃心； 第③个图形一共有个桃心 …… ∴可知第n个图形一共有个桃心， ∴第⑩个图形一共有个桃心． 解答题 1．指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】与，与是同类项，理由见解析． 【分析】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键． 依据同类项的定义，对每一组单项式进行验证． 【详解】解：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，几个常数项也属于同类项． （1）与：所含字母相同，但相同字母的指数不相同，它们不是同类项； （2）与：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，它们是同类项； （3）与：所含字母不相同，它们不是同类项； （4）与：所有常数项都是同类项，它们是同类项． 2．已知，． (1)求B（用含a、b的代数式表示）： (2)若与为同类项，求的值． 【答案】(1) (2)54 【分析】本题主要考查整式的加减运算，同类项定义，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把A代入进行求解即可； （2）由题意可计算，再根据同类项定义求出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）可得： ， ∵与为同类项， ∴，， ∴，， 把，代入得： 原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 6．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 7．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 8．如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 【答案】32（平方厘米） 【分析】解：设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米，根据三个阴影长方形的周长相等，得，进而得出（厘米），再求出、，即可求解． 【详解】设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米， 则厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 所以厘米， 厘米， 又因为三个阴影长方形的周长相等， 所以， 即， 化简得（厘米）， 则（厘米）， （厘米）， 所以长方形的面积（平方厘米）． 9．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $