专题03 导数 7大高频考点（期末真题汇编，山东专用）高二数学下学期

**基本信息** 导数专题试题汇编，覆盖7大高频考点，精选山东各地期末/期中及高考真题，注重基础巩固与综合应用，适配高二期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20|导数概念、运算、单调性等|结合图像（如切线方程）、物理情境（弹簧振子运动）| |多选|8|极值判断、导函数性质|融入牛顿法等数学史内容，考查逻辑推理| |填空|7|切线方程、瞬时速度|包含2022新高考真题，对接高考命题| |解答|15|参数求解、不等式恒成立、实际应用（电缆铺设费用）|分层设计，从基础切线求解到综合证明，强调数学建模|

专题03 导数 7大高频考点概览 考点01导数的概念及几何意义 考点02导数的运算 考点03导数的应用——求单调性 考点04 导数的应用——求极值 考点05 导数的应用——求最值 考点06 导数的应用——求参数 考点07 导数的应用——不等式成立问题 ( 考点01 导数的概念及几何意义 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东东营·期末）如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由导数的定义，结合图像即可求解； 【详解】因为， 根据图像， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】求出曲线在点处的切线后结合判别式可求的值. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为， 故对应的切线方程为， 因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根， 即有两个等根，故，故， 故选：C. 3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】由， 则. 故选：B. 4．（24-25高二下·山东日照·期中）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】, 故选：C 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】D 【分析】利用导数的概念可求出物体在秒末的瞬时速度. 【详解】由导数的概念可得， 因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒. 故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二下·山东淄博·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 【答案】ABD 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入得到切点，进而求出切线方程判断A，结合给定定义求出的切线方程，再利用赋值法求解判断B，举反例判断C，利用给定定义得到，再结合得到，进而将表示为，再利用导数结合给定定义得到的范围，最后证明结论正确判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得，故A正确， 对于B，在中，令，解得， 而，， 则的方程为，令，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 不满足，故C错误， 对于D，由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到， 而， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 随着操作次数的增加，与越来越接近，故， 则，得到， 即成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 8．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在处可导，若，则__________. 【答案】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 【答案】(1)切线方程：. (2)单调递增区间：，单调递减区间：. 【分析】（1）根据已知条件确定，求出和导数，根据求出切线斜率，从而得到切线方程; （2）求函数的导数，结合是的极值点但不是零点判断出值，再根据函数单调递增，函数单调递减，解不等式求出相应单调区间. 【详解】（1）当时，，则. 求导：. 切线斜率. 则切线过点，斜率为1，方程为：. （2）已知，导数为： . 已知是极值点，则： 或. 又不是零点： 若，则，矛盾，舍去; 若，则，符合条件. 所以. 当，即时，函数递增： 解得：； 当，即时，函数递减： 解得： 故函数的单调递增区间：，单调递减区间：. ( 考点0 2 导数的运算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为： . 故选：A. 3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】D 【分析】求出导函数，代入数值即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数求导，然后求出函数在处的导数值和函数值，然后求出切线方程. 【详解】因为，所以. 所以切线的斜率为.又， 所以切线方程为，即. 故选：C. 5．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可. 【详解】， 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高二下·山东东营·期末）下列函数求导数错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由导数的四则运算及简单复合函数的求导，逐个判断即可 【详解】A：，故A错误，符合题意； B：，故B错误，符合题意； C：，故C错误，符合题意； D：，故C正确，不符合题意； 故选：ABC. 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则. 由已知可得，即在上单调递减． 所以， 故，，即C、D选项正确． 选项B，因为，所以， 若为负，则， 所以不等式不成立. 选项A，由， 可得， 无法推出，因此选项A错误. 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 三、填空题 9．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数，则函数的导数为______. 【答案】 【分析】根据导数的计算法则即可求解. 【详解】因为，所以的导数为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 11．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知满足，则在处的导数为__________. 【答案】 【分析】根据导数的运算法则，结合复合函数求导法则、赋值法进行求解即可. 【详解】，所以有， 故答案为： ( 考点0 3 导数的应用——求单调性 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用其单调性即可比较得，再根据幂函数的单调性即可比较出. 【详解】设，，则在上恒成立， 则在上单调递增，则在上恒成立， 设，， 故在上单调递增， 有， 故. ，，则. 综上. 故选：A. 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 3．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数形式构造函数，利用对数的性质性质，结合导数的性质、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】设函数， 设，， 当时，，函数单调递增， 显然，于是有， 即， 即, 故选：D 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数在上的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出函数的奇函数，再利用导数判断出函数在上的单调性，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数为上的奇函数； 当时， ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 故只有A选项才满足. 故选：A. 5．（24-25高二下·山东泰安·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，因为，所以，得，求导，得到单调性，再由函数在上单调递减，得存在，使得， 进行判断． 【详解】由，得恒成立，故， 令，则， 得， 则， 由，得，由，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因为，所以， 则函数在上单调递减， 当时，得，且得，得， 得当时，得， 当时，得， 由函数在上单调递增，在上单调递减，及， 得存在，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 结合四个选项的函数单调性，只有B项满足． 故选：B 6．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【详解】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D 二、填空题 7．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把点代入构建关于的方程，求解得到的值，对求导，将代入导函数得切线斜率，再把点和代入切线方程求，即可得的值； （2）对求导并因式分解，令导函数为0，得到两根和，分、、三种情况，根据导函数正负判断的单调区间． 【详解】（1）因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，， 所以. （2）因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 9．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)单减区间为，的单增区间为 (2) 【分析】（1）先求出定义域，方法一：利用导数求解函数的单调性即可；方法二：利用复合函数的单调性法则：同增异减来进行求解； （2）将恒成立问题，转化为最值问题来求解即可． 【详解】（1）令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． （2）由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 10．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）分类讨论计算导数正负得出函数单调性； （2）先求出导函数，计算得出函数的切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （3）法一：设及零点再化简计算证明等式；法二：设零点得出，再化简证明；法三：设零点得出，再化简证明； 【详解】（1）， ①当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）当，时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为 又因为经过点， 所以， 即，整理得， 解得或， 所以过点的切线方程为或. （3）法一：若存在三个不同的零点， 则可设， 整理得， 所以. 因为，所以， 所以，可得. 法二：若存在三个不同的零点， 因为，可设，，， 则，，， 化简可得，， 两式相减可得， 所以， 所以，可得. 法三：若存在三个不同的零点， 则，，， 两两相减可得，， 因为，所以，， 两式相减可得， 所以， 因为，所以. 所以，可得. ( 考点0 4 导数的应用——求极值 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据极值点定义或举例判断“”和“是函数的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 2．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 【答案】ACD 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·山东日照·期末）已知，则（    ） A．是的极大值点 B．在上单调递增 C．的所有零点之和为0 D．直线是的切线 【答案】BCD 【分析】对函数求导，令导函数等于零，解出方程的根，然后结合单调性判断A，B选项，利用因式分解以及二次方程求根公式求解函数的零点即可判断C选项，设切点坐标，利用函数导数的几何意义求出函数在该点出的切线方程，结合已知切线方程为，求出切点即可判断D选项. 【详解】因为， 所以， 令，则， 由函数定义域为，则 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以是的极小值点，故A选项不正确； 由且函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故B选项正确； 由 ， 令即， 所以或，所以， 由知， 所以方程有两不等实根， 所以有， 所以的所有零点之和为， 故C正确； 设直线与的切点为， 则， 此时在点处的切线方程为： ， 即， 又此时在点处的切线方程为：， 所以，解得，所以， 所以存在切点使得函数切线方程为：， 故D正确， 故选：BCD. 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处取得极大值，则（   ） A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 【答案】ACD 【分析】根据极值点处导数值为0求解，可判断AB，利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意． 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极大值，符合题意． 综上，，故A正确，B错误； 由上可知，，为的一个增区间， 的极小值为，故CD正确， 故选：ACD. 5．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 6．（24-25高二下·山东枣庄·期末）设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据导数的运算法则，结合极值点、零点、导数的性质逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极值点，因此B正确； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：ABD 三、解答题 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导数，确定单调性后得极值； （2）求出，得出是方程的两个相异正根，且，由确定，求出，并把参数都用表示，然后利用导数求得新函数的最小值，从而证出. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 8．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. ( 考点0 5 导数的应用——求最值 ) 一、填空题 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】12 【分析】整理等式构造函数，利用导数求得函数的单调性，从而化简等式，根据所得等量关系，整理代数式的函数解析式，利用导数求得最值. 【详解】由，则， 令，求导可得，令， 求导可得，由得，由得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故函数在上单调递增， 由，则，即， 令， 求导可得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为：. 二、解答题 2．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值，最小值 【分析】（1）由题意，解得并检验即可得解； （2）求导得函数在上的单调性，进一步比较极值与端点值即可得解. 【详解】（1）， ∵在处有极值， ∴， 即，解得，     经检验，符合题意，∴，. （2）由（1）可知，， 令，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x -1 1 3 + 0 - 单增 单减 2 ∴当时，有最大值，当时，有最小值. 3．（24-25高二下·山东烟台·期末）如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且．现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米（m为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，CP的长度为x千米． (1)求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式； (2)当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 【答案】(1)，其中 (2)当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元 【分析】（1）分别用表示出，的长度，结合电缆价格可得关于的函数关系式. （2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值及函数取最小值时所对应的值. 【详解】（1）由已知，， 所以，其中． （2）， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，y取最小值．此时． 答：当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元． 4．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数确定单调性后得最大值； （2）分离参数得，引入函数，然后由导数求得新函数的最大值后可得. 【详解】（1），定义域是， ， 当时，，递增，时，，递减， 所以时，取得极大值也是最大值； （2），，则， 设， 则， 时，，递增，时，，递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 5．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断原函数的单调性，进而求解最值即可. （2）对参数范围分类讨论，求解不同情况下的单调性即可. （3）法一构造函数，对函数多次求导，判断其单调性，再结合端点值证明不等式即可，法二先对目标不等式合理变形，构造函数，对其求导并结合判断其导数的正负，再得到其单调性，最后结合端点值证明不等式即可，法三对目标不等式合理变形，构造，对其求导后，再构造函数证明，结合余弦函数性质证明，进而判断其导函数的正负，最后结合端点证明不等式即可，法四对目标不等式右侧进行放缩，得到，再构造函数，利用导数结合端点值证明，最后证明原不等式即可. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为， 当时，，则， 由，解得，由，解得；由，解得， 则单调递减区间为，单调递增区间为， 故函数的最小值为. （2）由题意得， 则 令，解得或， 当时，， 由，解得或，由，解得， 则在上单调递减，上单调递增，上单调递减. 当时，，得到，在上单调递减， 当时，，由，解得或， 由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. （3）当时，要证，， 即证，， 法一：令，， 而，令， 则，因为，所以，，， 则，故在上单调递减， 而，得到在上单调递减， 故， 即不等式，在上成立. 法二：要证不等式，， 即，， 令，，， 由（1）知，所以， 则在上单调递增，且， 故，不等式成立， 法三：欲证不等式，在上成立， 即证不等式，在上成立， 构造函数，， 而， 令， 当时，此时由余弦函数性质得， 令，而， 则在上单调递增，故，即， 得到，即， 则在上单调递增，且，即， 所以不等式，成立. 法四：由（1）证得，当时，，即，故， 则，令，， 得到，由（1）知， 则在上单调递减，， 得到，，故，，原不等式成立. 6．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知. (1)求的单调区间和最值； (2)求出方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为12，最小值为-4 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数正负判断函数单调性，即可求得答案； （2）结合（1），讨论a的取值范围，即可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以. 令，得（舍）或， 当变化时，，的变化情况如表所示. 0 2 3 0 12 单调递减 单调递减 3 的单调递增区间为，单调递减区间为 所以， （2）方程解的个数等价于于的交点个数. 由（1）可知 当或时，方程的解为0个； 当或时，方程的解为1个； 当时，方程的解为2个； ( 考点0 6 导数的应用——求参数 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数的极大值为1，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用导数求出单调性进而可求极大值，进而求a 【详解】， 当时，恒成立，此时单调递减，无极大值； 故， 令得或，令得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 解得， 故选：C 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数的极大值为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，求，验证即可. 【详解】∵， ∴ 令，得或 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 4．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，对进行分类讨论发现当时，不存在极值点，当时，恰好存在一个极值点，由此可得答案. 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知是函数的一个极值点，则（   ） A． B．当时， C．是偶函数 D．当且时， 【答案】ACD 【分析】由极值点的导数为零，即可求，根据函数的单调性可判断选项B，再根据凸凹性，可判断选项D，根据偶函数关于轴对称，可判断选项C. 【详解】对于A，，由题意，是的解， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， 函数的定义域为，， 令，解得，令，解得或， 故在上单调递减，又，则，故B错误； 对于C，由，所以关于对称， 则关于对称，即是偶函数，故C正确； 对于D，，可得， 又，则得， 因在上单调递增，则 故有， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 6．（24-25高二下·山东东营·期末）对任意，函数不存在极值点的充要条件是________. 【答案】 【分析】求出导数，可得出，从而可求解出实数a的取值范围. 【详解】，, 由于函数不存在极值点， 无实根或有两个相等的实根. ①时，原方程化为，不成立，原方程无解，符合题意； ②时，为一元二次方程， 故,解得： 综上所述， 故答案为： 四、解答题 7．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，即可根据求解， （2）根据单调性即可求解极值， （3）根据函数的单调性，以及极值即可求解. 【详解】（1）， 由于在处取极值，故，解得， 当时，， 当和时，当，， 故满足在处取极值，因此 （2）由（1）知：在单调递减，在和单调递增， 故 （3）由于当时，,，时，， 时，，当时，， 结合（1）（2）可知：有3个实数根时， 故， 因此恰有3个零点时，则. 8．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断； （2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可. 【详解】（1）当时，，． 令，则， 令，解得． 当时，，单减；当时，，单增． 所以，当时，取得极小值也是最小值， 所以，曲线切线斜率的最小值为． （2）（i），则， 若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点． 令． 当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去． 当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值． 令，则，所以时，，单减， 当时，单增，所以存在极小值也是最小值． 所以，对，恒有的极大值． 当时，，的图象在连续不断， 由零点存在定理，存在，使得．当时，， 同理，存在，使得． 所以，对，在上存在两个不同的变号零点． 综上，a的取值范围为． （ii）不妨设，是的两个零点，且， 则，， 两式相减得：，两式相加得：， 于是要证，只需证，只需证， 即证，即证（*）． 事实上，令，，， 所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立． 9．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）只需求得即可得解； （2）分析得知的最大值为，其中，说明即可求解； （3）利用导数说明，结合已知得，结合是正实数即可得证. 【详解】（1）当时，，求导得， 所以， 故所求为； （2），求导得， 若，则恒成立， 这意味着此时在上单调递增，但这与的最大值为0矛盾， 故， 当时，， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 记，则 所以的最大值为， 设， 因为都是增函数， 所以是增函数， 注意到， 所以，解得， 综上所述，当的最大值为0时， ； （3）当时，正实数满足， 即， 进一步变形得， 令，求导得， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 解得或， 但由于都是正实数， 所以. 10．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； （3）若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 11．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求的值； (3)当时，求的对称中心． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）求出导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据求函数的单调递增区间； （2）利用函数单调性求出最值，即可求出的值； （3）设函数的对称中心为，则有，代入函数解析式计算的值，即可得到对称中心. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增， 当时，由得或，则函数在，上单调递增， 当时，由得或，即函数在，上单调递增， 所以当时，函数的递增区间是，； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，． （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， ，解得， 所以的值为. （3）当时，，设函数的对称中心为，则， 即， 整理可得， 所以，解得. 所以函数的对称中心为. ( 考点0 7 导数的应用—— 不等式成立问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，在上单调递增可以转化为在上恒成立，构造函数利用导数求得最大值即可得出结果. 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 二、填空题 2．（24-25高二下·山东威海·期末）若对任意，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】依题意分和两种情况讨论．当时，构造，，求导，根据其单调性分析即可；当时，构造，根据其单调性分析可将题意中的恒成立问题转化为在上恒成立问题，进而分析即可得出答案． 【详解】依题意可得在上恒成立，（*） 当时，令， 则， 则在上单调递增， 所以，故（*）成立； 当时，即， 令，， 因函数与在上单调递增，故在上单调递增， 又，且， 则（*）成立，等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，（**） 令，，则， 若时，，此时在上单调递增， 所以，故（**）成立，即（*）成立； 若时，令，解得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以， 又，此时在上单调递减， 所以，所以，故（**）不成立，即（*）不成立． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】变形得到对任意恒成立，设，则，根据单调性得到，参变分离得到，构造函数，求导得到单调性，求出最大值，从而得到，解得. 【详解】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为： 三、解答题 4．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 5．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图像关于点对称； (2)设. （i）当时，求的极值； （ii）当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)极大值为0，无极小值；. 【分析】（1）根据题意，验证，即可得到答案； （2）（i）求导，利用导数求解导数求出单调性，进而得到答案；（ii）求导，分类讨论，结合最值求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为奇数，， 故， 所以的图像关于点对称. （2）（i）当时，，定义域为 求导得 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，有极大值，极大值为0，无极小值. （ii），， 则， 令，得，即， ①当时，显然有，符合题意； ②当时，当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以为最小值点，不合题意； ③当时，当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以为最大值点，，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 6．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数，. (1)若，求t的取值范围； (2)若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题设恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得范围； （2）（i）应用导数几何意义求切线方程；（ii）利用导数研究函数的根得、，且，，即可证. 【详解】（1）由题设恒成立， 设，则， 设，，则，则在上单调递增， ∴，故， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴，则； （2）（ⅰ）当时，， ∴，又，， ∴在处的切线方程为，即； （ⅱ）由（ⅰ）知，，则时，时， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵有两个不同实根，，且， ∴， 设，，则， 令，解得，令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增，， ∴在上恒成立， 设与直线的交点横坐标为，则，即， ∵，， ∴在处的切线方程为， 设与直线的交点的横坐标为，同理可证： ∵， ∴ ∴. 7．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若函数存在两个不同的极值点，且，若，求实数取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接求导代入得切线斜率和切点坐标，从而得到切线方程； （2）转化为在区间恒成立，分离参数后求出右边最值即可； （3）转化为有两个不相等的正根，且，分离得，再变形得，最后设新函数，利用导数求出其最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，. 所以，函数在点处的切线方程为，即. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以在区间恒成立， 所以在区间恒成立．令， . 所以的最大值为， 所以的取值范围为． （3）因为存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，且， 所以，． 因为，所以当函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取极大值， 当时，函数取极小值， 因为，所以由对称性可得． 因为，所以． 又， 令， 则， 因为． 所以， 所以在上垣成立，函数在上单调递增， 所以， 所以． 所以实数取值范围为． 8．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调性. （2）利用导数讨论单调性，分和两者情况分别讨论求解. （3）由（2）的信息可得，取并代入不等式变形，利用裂项相消法求和推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）函数，求导得，, 令，求导得，， ①当，即时，由，则存在，使得当时，， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增，因此与矛盾； ②当，即时，此时，， 下面证明恒成立即可，即证， 令，求导得， 函数在上单调递减，因此恒成立， 则，即，因此，即恒成立， 所以a的取值范围为. （3）由（2）知，当时，， 取，则， 因此，即， 则 ， 所以. 9．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点求出并验证即可. （2）求出函数的单调区间，进而求出在上的最大值即可. 【详解】（1）函数，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 此时，当时，，当或时，， 即函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，因此，， 不等式在上恒成立，则在上恒成立，， 所以k的取值范围是. 10．（24-25高二下·山东枣庄·期末）函数的最大值为， (1)求的值． (2)，P为上的动点，到P的最小距离，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分类讨论可求得函数的单调性，进而可求得最值； （2）函数是上凸的，当P点的法线过A时AP最小．据此计算可求得的取值范围． 【详解】（1）法一：， 当时，恒成立，所以函数无最值，舍去， 当时，令， 当单调递减；当单调递增， 故的最大值为． （2）， 因为此函数是上凸的，当P点的法线过A时AP最小． 如图 设，则有，即， ， 所以，， 因为单调递增，所以. 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数 7大高频考点概览 考点01导数的概念及几何意义 考点02导数的运算 考点03导数的应用——求单调性 考点04 导数的应用——求极值 考点05 导数的应用——求最值 考点06 导数的应用——求参数 考点07 导数的应用——不等式成立问题 ( 考点01 导数的概念及几何意义 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东东营·期末）如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（24-25高二下·山东日照·期中）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 二、多选题 6．（24-25高二下·山东淄博·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 三、填空题 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 8．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在处可导，若，则__________. 四、解答题 9．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极值点但不是零点，求的单调区间. ( 考点0 2 导数的运算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（    ） A． B．10 C． D．11 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·山东东营·期末）下列函数求导数错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数，则函数的导数为______. 10．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 11．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知满足，则在处的导数为__________. ( 考点0 3 导数的应用——求单调性 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数在上的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东泰安·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 三、解答题 8．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 9．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 10．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. ( 考点0 4 导数的应用——求极值 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 2．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 3．（24-25高二下·山东日照·期末）已知，则（    ） A．是的极大值点 B．在上单调递增 C．的所有零点之和为0 D．直线是的切线 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处取得极大值，则（   ） A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 5．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 6．（24-25高二下·山东枣庄·期末）设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 三、解答题 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 8．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. ( 考点0 5 导数的应用——求最值 ) 一、填空题 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 二、解答题 2．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 3．（24-25高二下·山东烟台·期末）如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且．现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米（m为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，CP的长度为x千米． (1)求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式； (2)当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 4．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若，，求实数a的取值范围． 5．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 6．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知. (1)求的单调区间和最值； (2)求出方程的解的个数. ( 考点0 6 导数的应用——求参数 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 2．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数的极大值为1，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数的极大值为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知是函数的一个极值点，则（   ） A． B．当时， C．是偶函数 D．当且时， 三、填空题 6．（24-25高二下·山东东营·期末）对任意，函数不存在极值点的充要条件是________. 四、解答题 7．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 8．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 9．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 10．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 11．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求的值； (3)当时，求的对称中心． ( 考点0 7 导数的应用—— 不等式成立问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高二下·山东威海·期末）若对任意，，则的取值范围是_____． 3．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 三、解答题 4．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 5．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图像关于点对称； (2)设. （i）当时，求的极值； （ii）当时，，求实数的取值范围. 6．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数，. (1)若，求t的取值范围； (2)若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 7．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若函数存在两个不同的极值点，且，若，求实数取值范围． 8．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 9．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若在上恒成立，求k的取值范围． 10．（24-25高二下·山东枣庄·期末）函数的最大值为， (1)求的值． (2)，P为上的动点，到P的最小距离，求的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $