精品解析：广东省清远市清城区三中集团四校联考2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题

2025年清城区三中集团高二6月联考数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C. ，有假命题 D. ，有真命题 5. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A. 36 B. 72 C. 216 D. 256 6. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 10. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在直四棱柱中，底面是菱形，为中点，点满足，下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积是定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长为 D. 若，则存在点，使得的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则________. 13. 若，则________． 14. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值. 16. 已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列前n项和为，求. 17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. （1）混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ （2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 18. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人） 性别 购车种类 合计 新能源汽车 燃油汽车 男 20 40 60 女 20 10 30 合计 40 50 90 （1）试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； （2）以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”. ①计算； ②从该市近期购车男性中随机抽取2人､女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 函数. （1）求函数的单调区间； （2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围； （3）设，若是函数在上极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年清城区三中集团高二6月联考数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】根据题意， ，则， 故选：B. 2. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以. 故选：B. 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 4. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C. ，有假命题 D. ，有真命题 【答案】B 【解析】 【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可. 【详解】命题“，使得”的否定是，均有， 对，又，故该命题为真命题. 故选：B 5. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A. 36 B. 72 C. 216 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求总的方法数. 【详解】第一步：将3名心理健康专家分到3个不同的接待点服务每个接待点至少有1名心理健康专家有种方法， 第二步：先将4名志愿者分成三个组有种分法，再将三个组分到三个不同的接待点服务有， 故将4名愿者分到三个不同的接待点服务，每个服务点至少1名志愿者有 故总的分法数有. 故选：C. 6. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 7. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积. 【详解】 如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接， 依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且, 又，则. 设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则, 在中，, 于是该几何体外接球的表面积为. 故选：A. 8. 函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性. 【详解】因为 ，函数在上单调递减． 故选：B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，可判定A正确；求得函数的单调区间，可得判定B错误；作出的大致图象，可判定C正确；由和，结合有两个零点，求得的取值范围，可得判定D错误． 【详解】由函数，可得，则.所以A正确； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减.所以B错误； 作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确； 又由，， 所以函数有两个零点，则或，所以D错误． 故选：AC. 10. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先计算q的值，然后考虑、的值，最后再计算,的值,从而可得答案. 【详解】由题意有，得 所以 故选：AC 【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，,属于基础题. 11. 在直四棱柱中，底面是菱形，为的中点，点满足，下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积是定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长为 D. 若，则存在点，使得的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线线平行及锥体体积求法即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由扇形弧长公式即可判断C；由余弦定理即可判断D． 【详解】对于A，连接，由得点在线段上， 由为直四棱柱得，，又， 所以的面积为定值，又点平面的距离为定值， 所以四面体的体积是定值，故A正确； 对于B，如图，若的外心为，过点作于点，则是的中点， 因为， 所以，故B错误； 对于C，如图，在平面中作，垂足为， 由已知得，平面，且平面， 所以，又平面，且， 所以平面， 因为底面是菱形，，所以， 在中，因为，所以， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 设此圆与交于点，因为，且， 所以，则点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，若，则点与点重合， 把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值， 在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，， 由对称性可知：，可知为平行四边形， 且，可知为矩形，可得， 由题意可得：，即， 因为，可得， 整理可得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令求出，令求出，即可得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以. 故答案为： 14. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值，极大值 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义得到结果； （2）先确定的单调区间，再相应确定极值. 【小问1详解】 由，得. 从而，. 故曲线在处的切线经过点，且斜率为，从而方程为，即. 【小问2详解】 由于对有，对有， 故在和上递减，在上递增. 所以的所有极值为：极小值，极大值. 16. 已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案. 【小问1详解】 由题意知，， 所以等比数列的首项为，公比为3， 故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得 ， 故 . 17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. （1）混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ （2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则，，，解得，即. 【小问2详解】 解：由（1）知所以， 随机变量的可能取值为，且， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 18. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人） 性别 购车种类 合计 新能源汽车 燃油汽车 男 20 40 60 女 20 10 30 合计 40 50 90 （1）试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； （2）以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”. ①计算； ②从该市近期购车男性中随机抽取2人､女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：参考公式：. 参考数据： 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）①，；②分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据给定表中数据，计算再与临界值表比对即可； （2）①由条件概率公式结合表中数据计算即可； ②设事件C：在购车群体中，男性购买新能源汽车，设事件：在购车群体中，女性购买新能源汽车，分别求出，，且随机变量的可能取值为：，再求随机变量每个可能取值的概率，并写出分布列及期望即可. 【小问1详解】 依题意可得，. 零假设为：购车种类与性别无关联. 依据列联表中数据，经计算得到： . 所以，根据小概率得独立性检验，我们判断购物种类与性别有关， 此判断犯错误概率不大于0.005. 小问2详解】 ①由条件概率公式结合表中数据得， ②设事件C：在购车群体中，男性购买新能源汽车. 则. 设事件：在购车群体中，女性购买新能源汽车. 则. 依题意，的可能取值为：. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，随机变量的数学期望. 19 函数. （1）求函数的单调区间； （2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围； （3）设，若是函数在上的极值点，求证：. 【答案】（1）在单调递增，在和单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解函数的单调性， （2）利用点斜式求解切线方程，即可，得，根据斜率为负可得或，即可利用对勾函数的性质求解， （3）求导，判断函数的单调性，即可确定时取极大值，代入即可求证. 【小问1详解】 定义域为 令得. 令，可得或, 所以在单调递增，在和单调递减. 【小问2详解】 因为，所以 设切点坐标为，则切线方程为 因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或. 在切线方程中，令，得， 解得 令，则或， 由对勾函数的性质可知：当时，，当且仅当时取等号， 当时，单调递增，此时 可得. 即在轴上的截距的取值范围为. 【小问3详解】 因为.则 当时，.故在上单调递减. 当时，令 则 由于，，则，故 所以在上单调递减，因为， 所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点 当时，，即， 当时，，即，所以时取极大值. 所以， 即得证. 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$