2026年安徽省中考数学试卷

**基本信息** 融合天文AI、《九章算术》等科技与文化情境，梯度设计覆盖基础运算（如科学记数法）、几何推理（如三角板综合）及项目式探究（如勾股数规律），凸显抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、三视图、中位数|第2题以“星衍”AI模型考科学记数法，体现科技视野| |填空题|4/20|因式分解、概率、函数图像|第13题结合《九章算术》考概率，渗透文化传承| |解答题|8/90|解直角三角形、圆证明、项目式学习|第21题勾股数探究（项目式）、23题抛物线综合，考查创新思维与模型意识|

2026年安徽省中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列比0小的数是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．6 2．（4分）《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星系，其中130亿用科学记数法表示为（　　） A．0.13×1010 B．1.3×1010 C．1.3×109 D．13×109 3．（4分）一个几何体如图水平放置，其主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列各式中，计算结果等于a2的是（　　） A．a+a B．a3﹣a C．（﹣a）•（﹣a） D．（﹣a）6÷（﹣a）3 5．（4分）已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（　　） A． B． C． D． 7．（4分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则（　　） A．﹣2 B． C． D．2 8．（4分）如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD的各边与所在的圆分别相切于点E，M，H，N．，所在圆的圆心分别是E，F．则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．1 C．7 D．7 9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y（m≠0）在第一象限内的图象交于点P．若OP＝OB，，则m＝（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（　　） A．DF＝CE B．CMDN C．CH＝CN D．ANCD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）因式分解：x2﹣25＝　 　 ． 12．（5分）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝　 　 °． 13．（5分）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为　 　 ． 14．（5分）图1是轨道示意图，其中A，B，C，D是矩形的四个顶点，E为AC，BD的交点，AB＝AE＝1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B，C，D，E处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A． （1）若机器人到点A的距离y（单位：m）关于运动时间x（单位：min）的函数图象如图2所示，则y取最大值时，x＝　 　 ； （2）将机器人在运动过程中经过点B，C，D，E的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有　 　 种． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：|﹣3|+（﹣1）0﹣2﹣1． 16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），点A，B，C的坐标分别为（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣3，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将线段AB向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）以点B为旋转中心，将线段BC按顺时针方向旋转90°，得到线段BC2，直接写出点C2的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2．设A的面积为xm2，B的面积为ym2． （1）C的面积为　 　 m2（用含x的代数式表示）； D的面积为　 　 m2（用含y的代数式表示）； （2）若A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，求x和y． 18．（8分）某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取n位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示． 已知抽取的样本中，E等级的人数为2． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）扇形统计图中a＝　 　 ； （2）n＝　 　 ； （3）每位学生的测试结果按如表进行评分： 等级 A B C D E 分值 5 4 3 2 1 若七年级学生本次测试结果的平均分不低于3.5，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）． 参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80． 20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点A，B分别在▱CDEF的边CD，CF上，DE，EF分别与⊙O相切于点M，N． （1）求证：四边形OMEN为正方形； （2）若CD＝9，AB＝10，求CF的长． 六、（本题满分12分） 21．（12分）项目式学习 【项目主题】一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c是勾股数，记为（a，b，c）． 设m，n为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数． 【规律探究】分别对m，n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： m n 勾股数（m2﹣n2，2mn，m2+n2） 序号 2 1 （3，4，5） 1 3 1 （8，6，10） 2 2 （5，12，13） 3 4 1 （15，8，17） 4 2 （12，16，20） 5 3 （7，24，25） 6 … … … … 【规律应用】 根据如表规律，请完成下列问题： （1）m＝5，n＝1对应的勾股数是（　 　 ，　 　 ，　 　 ），序号为　 　 ； （2）勾股数（35，12，37）对应的m＝　 　 ，n＝　 　 ； （3）序号为15的勾股数是（　 　 ，　 　 ，　 　 ）． 【项目拓展】 （4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 七、（本题满分12分） 22．（12分）如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM． （1）求证：∠C＝2∠AMD； （2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F． （i）求证：PF﹣PE＝MN； （ii）若PF＝4PE，求的值． 八、（本题满分14分） 23．（14分）已知抛物线yx（2a﹣x）（a＞0）． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，（x1＜x2）都在抛物线上． （i）求的值； （ii）设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m与2a﹣2的大小，并说明理由． 2026年安徽省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．【解析】解：A．2＞0，故不符合题意； B．0＝0，故不符合题意； C．﹣2＜0，故符合题意； D．6＞0，故不符合题意； 故选：C． 2．【解析】解：130亿＝13000000000＝1.3×1010． 故选：B． 3．【解析】解：这个组合体的主视图为． 故选：D． 4．【解析】解：A、a+a＝2a，故此选项不符合题意； B、a3与﹣a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、（﹣a）•（﹣a）＝（﹣a）2＝a2，故此选项符合题意； D、（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）3＝﹣a3，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．【解析】解：已知一组数据1，2，9，5，2，3，6， 将数据从小到大重新排列为：1，2，2，3，5，6，9这组数据共有7个，个数为奇数， 根据中位数的定义，中位数为排序后第4个数，第4个数为3，因此此组数据的中位数是3． 故选：B． 6．【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AE⊥BC于点M，BC＝12， ∴AM＝BM＝CMBC＝6，∠AMN＝90°， 在△AEF中，∠AEF＝90°，∠AFE＝60°， ∴∠EAF＝30°， ∴∠MAN＝∠EAF＝30°， 在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝30°， ∴AN＝2MN， 由勾股定理得：AMMN， ∴MN＝6， ∴MN． 故选：A． 7．【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根． 所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0， 整理得，b2﹣4ab+4a2＝0， 则（b﹣2a）2＝0， 所以b＝2a， 所以． 故选：D． 8．【解析】解：设EH交MH于点O， ∵矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1， ∴ON＝OM＝FM＝1，EB＝2，∠HON＝∠NOE＝∠EOM＝∠BEH＝90°， ∵S阴影＝S扇形HON+S扇形NOE+S扇形EOM+S扇形BEH﹣S正方形MOEF﹣S扇形BFM， ∴S阴影3121， 故选：A． 9．【解析】解：过P作PC⊥y轴于C， ∴PE∥OA， ∴． 由题意，∵一次函数为y＝kx﹣1（k≠0）， ∴当x＝0时，y＝﹣1，则B（0，﹣1）． ∴OB＝1． ∴OP＝OB＝1． ∴BE，则OE＝BE﹣OB． ∴P的纵坐标为． ∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y（m≠0）在第一象限内的图象交于点P， ∴P的横坐标为：，则PE，m＞0． ∴OP1． ∴m（负值不合题意，舍去）． 故选：C． 10．【解析】解：对于选项A， 连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点， ∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC， ∴AB是△ABC外接圆的直径， ∵点M是AB的中点， ∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M， ∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点， ∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°， ∴∠CAB＝∠EDB＝45°， ∴点D在⊙M上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°， ∵AF⊥DE，垂足为F， ∴∠F＝90°， ∴△FAD是等腰直角三角形， ∴DF＝AF， 在△BCE中，∠E＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， 又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠FCA＝∠EBC， 在△AFC和△CBE中， ， ∴△AFC≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴DF＝CE， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵AD＝DC， ∴， ∴∠1＝∠2∠CBA＝22.5°， 由垂径定理得：MD⊥AC， ∴∠MQC＝∠AQD＝90°， 在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点， ∴CM⊥AB，CM＝AM＝BMAB， ∴△AMC是等腰直角三角形， ∴∠MCA＝45°， 又∵MD⊥AC， ∴MQ＝AQ＝CQAC，∠CMB＝∠CMA＝90°， 在△MQC中，由勾股定理得：CMMQAQ， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝DN， 在△AQD中，∠AQD＝90°， ∴AQ＜AD， ∴CMAD， 故选项B错误，符合题意； 对于选项C， 在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°， ∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°， ∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°， 在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°， ∴CH＝CN， 故选项C正确，不符题意； 对于选项D， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝ND， 由勾股定理得：ANAD， ∵AD＝CD， ∴ANCD， 故选项D正确，不符合题意， 综上所述：选项B错误，符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．【解析】解：原式＝（x+5）（x﹣5）． 故答案为：（x+5）（x﹣5）． 12．【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CDE108°， ∵正五边形的外角和是360°， ∴∠CBF＝360°÷5＝72°． ∴∠CDE﹣∠CBF＝108°﹣72°＝36°． 故答案为：36． 13．【解析】解：所有可能出现的结果共4种，且每种结果发生的可能性相等， 其中抽取到“开平方”问题的结果有2种． 根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为， 故答案为：． 14．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝BE＝AE＝1m，∠ABC＝90°， 由图象可得，当x＝1时，y＝1， ∴当x＝1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E， ∵从x＝1到y取最大值时，y随x的增大而增大， ∴机器人从点B运动到点C，或从点E运动到点C， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意， ∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值， ∵AC＝AE+EC＝2m，AB＝1m，∠ABC＝90°， ∴， ∴y取最大值时，， 故答案为：； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝ED＝1m，CD＝AB＝1m，， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴机器人的运动方式有： ①A→B→C→E→D→A， ∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD）÷1＝（11+1）÷13（min）； ②A→B→C→D→E→A， ∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA）÷1＝（11+1+1）÷14（min）； ③A→B→E→C→D→A， ∴运动时间为（AB+BE+EC+CD+DA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ④A→E→B→C→D→A， ∴运动时间为（AE+EB+BC+CD+DA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑤A→E→D→C→B→A， ∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA）÷1＝（1+1+11）÷14（min）； ⑥A→D→C→E→B→A， ∴运动时间为（AD+DC+CE+EB+BA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ⑦A→D→E→C→B→A， ∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+BA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑧A→D→C→B→E→A， ∴运动时间为； ∵ ， ∴， ∴为最短用时，共4种， 故答案为：4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．【解析】解：|﹣3|+（﹣1）0﹣2﹣1 ＝3+1 ． 16．【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，线段A2B2即为所求； （3）如图，画出线段BC2， ∴点C2的坐标为（3，1）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．【解析】解：（1）∵C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2， C的面积为（2x+2）m2，D的面积为（3y﹣3）m2， 故答案为：（2x+2），（3y﹣3）； （2）由题意得：， 解得：， 答：x＝4，y＝6． 18．【解析】解：（1）a＝（1﹣18%﹣40%﹣32%﹣6%）×100＝4， 故答案为：4； （2）n＝2÷4%＝50， 故答案为：50； （3）该校七年级学生体能训练整体情况良好，理由如下： 样本数据的平均分为：5×18%+4×40%+3×32%+2×6%+1×4%＝3.62， 3.62＞3.5， ∴该校七年级学生体能训练整体情况良好． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．【解析】解：由题意可得∠CAD＝90°，∠BAD＝90°﹣37°＝53°，∠BDA＝90°﹣53°＝37°，CD＝660m， ∴∠ABD＝180°﹣37°﹣53°＝90°， 在Rt△CAD中，∠ACD＝56°，sin56°≈0.83， ∴， ∴AD≈0.83×660＝547.8（m）， 在Rt△ABD 中，∠BDA＝37°，sin37°≈0.60， ∴， ∴AB≈0.60×AD＝0.60×547.8＝328.68（m）≈328.7（m）， ∴A，B间的距离约为328.7m． 20．【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴∠E＝∠C＝90°， ∵DE，EF分别与⊙O相切于点M，N． ∴OM⊥DE，ON⊥EF， ∴∠OME＝∠ONE＝90°， ∴四边形OMEN为矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形OMEN为正方形； （2）解：延长MO交CF于H点，连结OC，如图， ∵平行四边形CDEF的内角∠DCF＝90°， ∴四边形CDEF为矩形， ∴∠F＝90°，EF＝CD＝9， ∵AB＝10，四边形OMEN为正方形， ∴ON＝EN＝5， ∴∠MHF＝90°， ∵∠ONF＝∠F＝∠NOH＝90°， ∴四边形ONFH为矩形， ∴∠OHF＝90°，OH＝NF＝9﹣5＝4，FH＝ON＝5， 在Rt△OCH中，∵OC＝5，OH＝4， ∴CH3， ∴CF＝CH+HF＝3+5＝8． 六、（本题满分12分） 21．【解析】解：（1）当m＝5，n＝1时，m2﹣n2＝52﹣12＝24，2mn＝2×5×1＝10，m2+n2＝52+12＝26， ∴m＝5，n＝1对应的勾股数是（24，10，26），序号为7， 故答案为：24，10，26，7； （2）根据题意，得m2﹣n2＝35，2mn＝12，m2+n2＝37， ∴m2﹣n2+m2+n2＝35+37，即2m2＝72， 又∵m＞0， ∴m＝6， 把m＝6代入2mn＝12，得2×6n＝12， 解得n＝1， ∴勾股数（35，12，37）对应的m＝6，n＝1， 故答案为：6，1； （3）由表格知，当m＝2时，符合题意的勾股数有2﹣1＝1组； 当m＝3时，符合题意的勾股数有3﹣1＝2组； 当m＝4时，符合题意的勾股数有4﹣1＝3组； ……， 当m＝k（k≥2的整数）时，符合题意的勾股数有（k﹣1）组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得k＝6或k＝﹣5（舍去）， ∴序号为15时，m＝k＝6，n＝k﹣1＝5， ∴m2﹣n2＝62﹣52＝11，2mn＝2×6×5＝60，m2+n2＝62+52＝61， 序号为15的勾股数是（11，60，61）， 故答案为：11，60，61； （4）不正确，理由： 当m＝5，n＝4时，m2+n2＝52+42＝41，序号为； 当m＝6，n＝1时，m2+n2＝62+12＝37，序号为； ∵41＞37，10＜11， ∴序号从10增加到11时，m2+n2的值减小， ∴他的猜想不正确． 七、（本题满分12分） 22．【解析】（1）证明：∵在▱ABCD中， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB， ∴∠DMA＝∠MAB， ∵CD＝2AD，边CD的中点为M， ∴， ∴∠DMA＝∠DAM， ∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD， ∴∠C＝2∠AMD； （2）（i）证明：作MG⊥PF于G， ∵MN⊥BC，PF⊥BC， ∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°， ∴四边形MNFG为矩形， ∴MN＝GF，∠GMN＝90°， ∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°， ∴∠C＝∠EMG， ∴∠EMG＝2∠EMA， ∴∠EMA＝∠GMA， ∵PE⊥CD， ∴∠MEP＝∠MGP＝90°， ∵MP＝MP， ∴△MEP≌△MGP（AAS）， ∴PE＝PG， ∵PF﹣PG＝GF， ∴PF﹣PE＝MN； （i）解：作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H， 由（i）知，MG∥NF， ∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠C＝∠DAB， ∴MQ∥AD， ∴∠DAB＝∠AQH， ∴∠C＝∠AQH， ∵MQ∥AD，AB∥CD， ∴四边形AQMD为平行四边形， ∴AQ＝DM， ∵M为边CD的中点， ∴CM＝DM＝AQ， 又∠H＝∠MNC＝90°， ∴△AHQ≌△MNC（AAS）， ∴AH＝MN， ∵PF＝4PE， 设PE＝a，则PF＝4a，PG＝a，FG＝MN＝3a， ∴MN＝AH＝3a， ∵MH⊥PF，MH⊥AH， ∴PG∥AH， ∴△MPG∽△MAH， ∴， ∴， 即． 八、（本题满分14分） 23．【解析】解：（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2a，0）， 则抛物线的对称轴为， 把x＝a代入抛物线解析式得， 解得y＝3，即为抛物线顶点的纵坐标； （2）（i）令，可得， 即， ∵x1＜x2， 故解得，， ∴； （ii）当a＝1，2，3时，m＞2a﹣2；当a≥4时，m＜2a﹣2．理由如下： 由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当a≥6时，m＜2a﹣2恒成立，故只用讨论a＝1，2，3，4，5的情形： a＝1时，，，故整数点只有x＝1， ∴m＝1，2a﹣2＝0， ∴m＞2a﹣2； a＝2时，，，故整数点有x＝1，x＝2，x＝3， ∴m＝3，2a﹣2＝2， ∴m＞2a﹣2； a＝3时，，，故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，x＝4，x＝5， ∴m＝5，2a﹣2＝4， ∴m＞2a﹣2； a＝4时，，，故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6， ∴m＝5，2a﹣2＝6， ∴m＜2a﹣2； a＝5时，，， 故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，x＝7，x＝8， ∴m＝7，2a﹣2＝8， ∴m＜2a﹣2； 综上所述，当a＝1，2，3时，m＞2a﹣2；当a≥4时，m＜2a﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $