专题05 立体几何压轴小题（外接球、截面等）（高效培优期末专项训练）高一数学人教B版

专题05 立体几何压轴小题（外接球、截面等） 考点01 截面问题 考点02 外接球问题 考点03 内切球问题 考点04 角度问题 考点05 最值范围问题 考点06 轨迹长度问题 考点07 存在性问题 考点01 截面问题 1．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为T，取的中点为S，取上靠近D的四等分点为M， 取上靠近的四等分点为G，取上靠近的三等分点为N， 连接. 如图 由正方体性质可知，在中，分别为的中点， 所以，所以，故四点共面， 在正方形中，且，所以为平行四边形， 所以，由正方体性质可知， 在中，分别为的三等分点，所以，所以， 故四点共面， 所以五边形为所求的截面多边形. 易知，，，，， 故，，，，. 所以截面五边形的周长为. 故选：A. 2．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【答案】 【详解】由、为、的中点，得， 又，，则为平行四边形，， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，，则，， 可得，，， 所以截面周长为. 3．已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 4．如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 【答案】 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 5．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 考点02 外接球问题 6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 7．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内．已知球为该八面体的外接球，设该八面体的体积为，球的体积为，则_____． 【答案】 【详解】 设八面体的棱长为， 由题意可知四棱锥和四棱锥为全等的正四棱锥，四边形为正方形. 连接交于点，则，点为中点. 连接，则为正四棱锥的高，且， 所以， 根据对称性可知点为八面体外接球的球心，点与点重合，且球半径为， 所以八面体的体积， 球的体积， 故． 故答案为：. 8．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面，若直线与底面的夹角为，， ，， 为的中点，四边形是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 9．已知球是正三棱锥的外接球， ，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为________. 【答案】 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，，所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， 即与该截面所成角为. 10．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取中点，连接，，则，，    又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，， 设，又， 所以，， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以当时，，． 故选：D． 11．已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为________. 【答案】/ 【详解】在正方体中，设平面平面，且平面， 由平面平面，可得，所以是的中点， 由可得四面体的外接球的直径为，可得半径， 设是的中点即球心，球心到平面的距离为，又设与的交点为， 则，， 则，截面圆的半径的平方， 所以截面圆的面积为. 故选：A    考点03 内切球问题 12．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    13．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 14．将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则， 且平面，， 所以三棱锥的体积为：. 由和均为直角三角形，和均为正三角形， ，， 所以三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球半径为. 由，得，解得. 15．已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 【答案】/ 【详解】如图: 设在底面上的投影为，取中点，连接 因为三棱锥为正三棱锥，则为正三角形的中心. 则，且，所以即为侧面与底面所成二面角， 又，所以, 则，所以. 设球的半径为，则， 即 ，解得. 根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球， 且该三棱锥的高. 故两正三棱锥的相似比为 ，故其内切球的半径比也为， 故球 与球的表面积之比为. 16．已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为__________. 【答案】 【详解】 设上面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 设下面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 组合体的体积为， 组合体的表面积为. 设组合体的内切球半径为，利用可得，， ， 组合体内切球的表面积为. 故答案为：. 考点04 角度问题 17．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    18．水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，把正四棱台补成一个正四棱锥， 设正四棱台的上底面与下底面的中心分别为，连接，与平面交于点， 则平面，平面，平面， 设四棱锥的体积为，正四棱台的体积为， 正四棱台的体积为，则， 因为正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为， 可得， 过作，则平面，因为平面，所以， 在直角中，可得，即， 设，可得，所以， 由棱锥的体积公式，可得，即， 当容器中装入体积为的水时，可得， 设，则，解得， 又由，所以， 所以， 因为平面平面，所以平面与平面所成的角， 即为平面与平面所成的角， 在正方形中，可得，在等腰中，可得， 所以二面角为平面与平面所成的角， 又因为，可得， 在直角中，， 则，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 故选：D.    19．在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接.设正方体的棱长为， 则在中，为线段的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以. 又因为平面，所以平面， 则与平面所成的角为，则. 由，得， 所以要使与平面所成角的正弦值最小，则最小， 可知当与点重合时，最大，此时， 所以. 故选：A    20．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 21．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    【答案】/ 【详解】    如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为:. 22．已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【详解】如图： 过作平面，垂足为，过作于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，，所以平面. 平面，所以. 因为，所以. 类似地，可证. 在中，，，， 所以，. 在中，，，所以，. 所以. 即点到平面的距离为. 在中，. 由余弦定理，得，所以， 所以，当且仅当即为等边三角形时取等号， 此时三棱锥的体积最大. 此时，看底面，如下图： 过作，交延长线于. 因为，，，所以. 设二面角为，则， 所以. 故答案为： 考点05 最值范围问题 23．如图，边长都为1且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离，则四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过作，交于点，连接. 因为，，所以. 所以，所以. 又，，所以，. 设，，则，. 所以， 又平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以为三棱锥的高， 所以， 当时，取得最大值，为. 故选：C 24．棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（    ） A．平面； B．线段与线段的长度之和为定值； C．线段长度的最小值为； D．面积的最大值为； 【答案】D 【详解】 对于A ：如图，在正方体中，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面， 平面且， 所以平面，又平面，所以， 又， ， 平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为平面，平面， 所以，所以，所以，即得； 又由，，所以，所以，所以， 即得， 所以，即为定值1，故B正确； 对于D ，由A知平面，因平面，则有， 所以的面积，当且仅当时等号成立， 即当时，面积的最大值为，故D错误； 对于C，由D知，则，当且仅当时等号成立， 即当时，线段长度的最小值为，故C正确. 故选：D. 25．在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】设，， 在中，由等面积法得点到直线的距离， 连接，过作， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，即是点到平面的距离， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以，故. 26．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为______．    【答案】 【详解】如图，连接，过作，垂足为. 再过作于点，连接.    由及得，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 故. 又，所以，而，故四边形是平行四边形，所以. 由于，，故，从而的取值范围是. 而平面，平面，故. 而，故. 因为，，故，从而的取值范围是. 将，代入，知的取值范围是. 最后，由知，故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：立体几何中的面积最值问题往往和截面有关，这类问题的求解思路如下：①将已知的线段、角及其关系转化到截面上；②利用勾股定理，正、余弦定理，求得在截面上的相关线段的长、角的大小；③根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；④利用函数的性质、基本不等式等求得最值． 27．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 【答案】/ 【详解】 因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影； 因为直线 与平面 所成的角 ，且， 在 中，， 设 ，则 ，其中 ， 在 中，由正弦定理，，即， 所以， 所以， 因为，则当 时，取得最大值1，此时 取得最小值. 考点06 轨迹长度问题 28．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切．点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为_____． 【答案】 【详解】由题知球的半径为6，如图所示正四棱台， 当球与左边或右边侧面相切时，沿斜高作出如图截面. 下底边长为，上底边长，高，所以，. 根据题意四边形为等腰梯形，，则， 又球心在的角平分线上，， . 解得，或（舍去）， 又 . 所以， 根据对称性，球心的轨迹是以为边长的正方形球的半径为6. 故. 29．已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 【答案】 【详解】由于正四棱柱的体积为，， 故，则， 由于在平面上运动，且， 平面，平面，因此， 故， 由于，， 以为圆心，以的长度为半径作圆，此时圆与棱相交于点， 且 ，由于， 故，故， 故的轨迹为，故. 30．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】 由题意 在上，取，则 由正方体的性质可知平面，又平面， 则， 则， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧， 如图设圆弧与交于，， 所以，则， 则弧长为 故点的轨迹长度为. 31．已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 【答案】 【详解】 如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为， 则， 由得，解得， 为的中点， ， 又， 的轨迹是半径为的圆， 的轨迹长度为， 设的轨迹所在平面为，记平面与平面的夹角为， 平面的法向量，平面的法向量， 则， 的轨迹所围成的区域面积为． 32．如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为2的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥， 则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接，则， 因为， 故，则， 所以，为等腰直角三角形，且，    ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面平面， 所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 如图，设圆与交于两点， 由于在中，    则，所以， 则， 所以圆在内的一段弧的长为， 则点Q的轨迹长度为. 故选：A. 33．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 考点07 存在性问题 34．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 35．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【详解】连接，记，连接. 若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，. 在，中，分别有，. 若平面平面，则，，. 因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 36．（多选）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A． B．若为中点，则平面 C．存在点使得平面平面 D．存在点使得平面平面 【答案】ABD 【详解】因和都垂直于平面，则，故A正确； 取线段的中点，连接， 因为中点，则，， 又，则，，故,， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面，故B正确； 假设存在点使得平面平面， 因平面平面，平面平面，则， 显然是不成立的，故假设不成立，故C错误； 当点为中点时，平面平面，证明如下： 因，则， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 由B选项可知，则四点共面， 又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 37．（多选）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何压轴小题（外接球、截面等） 考点01 截面问题 考点02 外接球问题 考点03 内切球问题 考点04 角度问题 考点05 最值范围问题 考点06 轨迹长度问题 考点07 存在性问题 考点01 截面问题 1．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 3．已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 5．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 考点02 外接球问题 6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内．已知球为该八面体的外接球，设该八面体的体积为，球的体积为，则_____． 8．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知球是正三棱锥的外接球， ，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为________. 10．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为________. 考点03 内切球问题 12．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 13．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 14．将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 15．已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 16．已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为__________. 考点04 角度问题 17．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 19．在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 21．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    22．已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 考点05 最值范围问题 23．如图，边长都为1且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离，则四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 24．棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（    ） A．平面； B．线段与线段的长度之和为定值； C．线段长度的最小值为； D．面积的最大值为； 25．在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________． 26．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为______．    27．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 考点06 轨迹长度问题 28．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切．点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为_____． 29．已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 30．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 31．已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 32．如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 33．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 考点07 存在性问题 34．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 35．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 36．（多选）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A． B．若为中点，则平面 C．存在点使得平面平面 D．存在点使得平面平面 37．（多选）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $