专题04 解三角形解答题归类（高效培优期末专项训练）高一数学人教B版

**基本信息** 聚焦解三角形核心考点，以12个专题构建从基础应用到综合创新的递进式训练体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理解三角形|5题|已知边边角、角角边等条件求边或角|以正余弦定理为核心，构建边与角的转化关系| |判定三角形形状|5题|利用边角关系判断等腰、直角等形状|通过定理变形实现边角互化，培养推理意识| |周长面积计算|5题|结合已知条件求周长或面积|运用面积公式与余弦定理，强化数学应用| |角度/边长范围|10题|求角或边的取值范围|融合不等式与函数思想，发展数学思维| |几何元素相关|10题|涉及角平分线、中线、外接/内切圆|构建几何模型，提升空间观念与转化能力| |综合与应用|15题|平面几何、三角函数综合及实际应用|跨知识整合，培养数学语言表达与创新意识| |结构不良型|5题|选择条件使三角形存在且唯一|考查信息筛选与逻辑推理，发展批判性思维|

专题04 解三角形解答题归类 考点01 利用正余弦定理解三角形 考点02 正、余弦定理判定三角形形状 考点03 三角形周长、面积的计算及应用 考点04 角度范围问题 考点05 边长范围问题 考点06 与角平分线有关的问题 考点07 与中线有关的问题 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 考点09 解三角形在平面几何中的应用 考点10 三角函数与解三角形的综合 考点11 解三角形的实际应用 考点12 结构不良型 考点01 利用正余弦定理解三角形 1．在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，，， 由余弦定理， ， 所以. （2）若，，， 由余弦定理， 则， 可得，解得或（舍去）. 2．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，则. （2）由余弦定理可得，代入数据得， 整理得，解得. 3．在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，又，所以 因为， 所以． （2）在中，由正弦定理，得． 所以． 4．在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：在△ABC中，， 因为，，，所以. （2）解：由（1）知，，所以， 在中，，由正弦定理可得，即， 解得. 5．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由，且，则， 所以． （2）由余弦定理，，则， 又由正弦定理，则．. 考点02 正、余弦定理判定三角形形状 6．在中，已知，判断的形状． 【答案】直角三角形 【详解】由， 可得， 由正弦定理可得，即， 所以是直角三角形． 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理， ， 因，则，，则为等腰三角形； （2）由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x， 则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为， 则，即为等边三角形，则角为. 8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，. (1)求角B的大小； (2)若，判断三角形的形状. 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】 【详解】（1）由正弦定理得，因为，则， 所以，所以，所以， 因为，所以，解得. （2）根据题意，由正弦定理得， ∴.∵，， 所以，则为直角三角形. 9．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，， 所以. （2）在中，由余弦定理有， 所以，联立，解得， 所以，也就是说的形状是等边三角形. 10．在①；②是函数的一个零点；③已知函数，且.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答： 已知的内角，，所对的边分别是，，，且为锐角.若___________，且，试判断的形状. 【答案】等边三角形 【详解】解：因为，由正弦定理可得， 即，所以，所以，所以，因为、为三角形的内角，所以，即； 若选①，则，即，因为为锐角，所以，又，，所以，故为等边三角形； 若选②是函数的一个零点，令，解得或，因为为锐角，所以，所以，又，，所以，故为等边三角形； 若选③已知函数，且，所以，所以，解得，因为为锐角，所以，又，，所以，故为等边三角形； 考点03 三角形周长、面积的计算及应用 11．在中，，． (1)求． (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 【答案】(1) (2)选条件②；选条件③；不能选择条件①，此时不存在 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以； （2）若选条件②：： 因为，由（1）可知，所以， 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 所以三角形的周长； 若选条件③：的面积为： 因为，由（1）可知，所以， 由三角形面积公式，得， 再由余弦定理，得，即， 所以，所以， 所以三角形的周长； 不能选条件①：，理由如下： 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以边不存在，故不存在. 12．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由已知， 交叉相乘得，， 所以， 整理得， 又，， 所以或（舍去）或（舍去）， 所以，解得； （2）由已知，得①， 由余弦定理，得 ②， 由①②可得， 所以的周长. 13．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为，所以， 即，即． 因为，所以． 因为，所以． （2）由三角形面积公式，得， 将代入，得，所以． 由余弦定理，得， 解得或（舍去），则． 所以的周长为 14．已知分别为三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为的周长为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 结合方程化简得，解得． 15．在中，角的对边分别为，且周长为18． (1)求的值及的面积； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 又周长为18，所以 所以 在中，，所以 因为，所以 所以． （2）由（1）可得， ， 所以 考点04 角度范围问题 16．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 所以或， 因为，若，则，不符合题意， 所以； （2）因为，所以， 因为，且， 所以， 则 ， 当时，， 由正弦函数性质可知，， 所以的取值范围. 17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 18．在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理得 ， 即，而，则，又， 所以． （2）由（1）得，由锐角，得，解得， 因此 ， 由，得，即， 所以的范围是． 19．中，角，，的对边分别为，，，满足，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)因为， 则由正弦定理，可得， 再由余弦定理可得：， 化简可得，则或， 又，则，所以不成立，则，即； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由余弦定理可得：， 又且，解得， 令，则函数在,上单调递增，所以， 所以，故的取值范围为． 20．已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 考点05 边长范围问题 21．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 化简得. 因为，则，故有. 又由余弦定理， 又，得. （2）由可得， 又，联立解得. （3）由正弦定理得，故. 因，易得，又，则， 则， 因，故，得. 因此周长. 22．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 23．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 24．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，即， 所以，即. 证毕. （2）因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以当时，的最小值为. 25．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. （2）由得，又，， 则由余弦定理得，即， 即， 由基本不等式得， 所以，所以， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 26．已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 考点06 与角平分线有关的问题 27．在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）已知平分，平分的外角， 因此 即， 在中：，得， 在中：，得， 因为，所以；又，故， 所以； 同理，在中：，在中：， ，， 故，又， 所以； 因此，原等式得证. （2）已知，，因此，由(1)得，解得， 所以，又由（1）证明过程知，， 所以，所以 即的长为. 28．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 即， 因为，， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 即， 即， 又，， 故，所以， 又因为，所以. （2）由（1）知，又是角的平分线， 所以， 因为，，所以 ， ， ， 又， 即 ，得， 所以. 29．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，. (1)求a及的值； (2)的平分线交边于点，求的长. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由余弦定理得，所以， 由及，得， 由正弦定理，得. （2）因为，所以，. 由，，得. 因为为的角平分线，所以， 得， ， ， 因为，所以，得. 30．在 中，角所对的边分别为向量且满足 (1)求角A的值; (2)角A的平分线交边与点D，求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由可得，， ， （2）由余弦定理得， 由等面积法得：， 代入得， 所以 ， 因为，所以， 当且仅当时取等号. 故的最小值为 31．已知的三个内角所对的边分别为. (1)求角的大小. (2)若的面积为，求a的值. (3)若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）. 在中，， ，可得， ，又，可得. （2）由，解得， 由余弦定理得，故. （3）由， 设的长为，由， 解得，即. 考点07 与中线有关的问题 32．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 33．在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，，即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 34．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角A； (2)若，边中线长为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由可知，， 也即，， 又因为， 所以，． （2）由， 两边平方得 又， 所以，解得，所以．    35．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【答案】(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【分析】 【详解】（1）， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； （2）为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 36．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又因为， 所以. 因为，所以，则， 即. 由，得，解得. 又因为，所以. （2）由，，得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 因为， 所以， 所以. （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 37．在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由 得：， 即 ，两边约去 （）， 得 ，故 ； （2）由余弦定理  及 ， 得， 在 中，为中线，则 ， 即 ， 整理得 ， 在外接圆中，由相交弦定理得 ， 即 ， 故 由 及基本不等式 ，得 ， 当 时，. 38．已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】 【详解】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故； （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此． 39．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 40．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，可得. ， ，又，则， ，又， （2）在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 考点09 解三角形在平面几何中的应用 41．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 42．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 43．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 44．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 45．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)当时，求的长； (3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长． 【答案】(1) (2)2 (3). 【分析】 【详解】（1）在中，，， 故，， 由正弦定理得，即， 而， 故，故， 故三角形手巾的面积为 ； （2）设，则， 则在中，， 在中， 易知，整理可得， 解得或（舍）; 所以. （3）设，则， 则在中，， 在中，， 故， 由于， 当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值时，， 即此时. 考点10 三角函数与解三角形的综合 46．设常数，，． (1)求此函数值域． (2)若是奇函数，求实数的值． (3)设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）由题意知 ，其中为辅助角，， 由于，故， 即的值域为; （2）由题意， 检验：， 对任意都有， 是奇函数， . （3）由于，所以， 则，整理得， A是三角形的内角，，所以， ， 由，，结合余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，， 当时，， 则的面积为，或. 47．已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 48．已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【答案】(1)单调递增区间为，，对称轴方程为， (2) 【分析】 【详解】（1） ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 49．已知函数的图象关于直线对称，其中 (1)求的值； (2)求函数的对称中心； (3)在中，，，分别为三个内角，，的对边，锐角满足，，求面积的最大值． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）化简可得， 函数的图象关于直线对称， ，， ，，又， 解得； （2）函数的解析式为； 令  ，则， 所以函数的对称中心为，； （3）在中锐角满足， ，， 又，由余弦定理可得， ，当且仅当时，等号成立， 面积， 面积的最大值为． 50．已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，． (1)求的值，并求函数的对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； (3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积． 【答案】(1)，对称中心坐标为 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，得， 令，得， 则函数的对称中心坐标为. （2）由题意，， 当时，， 对任意，都有恒成立， 则为在上的最大值，所以，则. （3）由，得， 设的内切圆半径为，过点作，垂足为， 由于为的内心，则， 而为的角平分线，则， 所以， 由，得，即， 由余弦定理得，，则， 即，则，解得或（舍去）， 则. 考点11 解三角形的实际应用 51．如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行. (1)起初两人间的距离是多少？ (2)经过多长时间，两人间的距离是4 km？ (3)什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离. 【答案】(1) (2)小时 (3)经过小时后，距离最短，最短距离是2 km. 【分析】 【详解】（1）设两人间的距离为，起初位置时， 甲、乙的位置分别为，， 起初位置时，，. 在中，由余弦定理     ， 得，所以. （2）设经过小时后，甲、乙的位置分别为，. 当时，， 当时，， 所以. 若，则， 所以或（舍去）. 所以经过小时，两人间的距离是4 km. （3）由（2）得， 所以当时，， 所以经过小时后，距离最短，最短距离是2 km. 答：（1）距离是 km.（2）经过小时.（3）经过小时后，最短距离是2 km. 52．我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】(1)7 (2)①1；② 【分析】 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 53．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)．    【答案】救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟 【详解】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，则，， 在中，由余弦定理，得 ，即， 由正弦定理得，， 则， 又，则，所以B点在C点的正东方向上， 则， 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，则， 所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，，则，即， 则，即小时，则（分钟）， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 54．如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 55．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 【答案】(1) (2)时面积最小，最小值为 【分析】 【详解】（1）在中，其中， ， 在中，， 则. （2）， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 考点12 结构不良型 56．在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】 【详解】（1）法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． （2）选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 57．记的内角的对边分别为．已知，，的平分线交于点D． (1)求b的值； (2)从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长． 条件①：边上的高为；条件②：的面积为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 又，由正弦定理可得：， 所以． （2）    若选①：因为边上的高为，，， 根据正弦函数可知边上的高又等于， 所以这样的三角形不存在； 若选②：的面积，解得． 所以，所以为等腰三角形， 又为的平分线，所以， 即． 58．在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①：，边上中线的长为； 条件②：，边上的高的长为2． 条件③：，的面积为12； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选①，不合题意；选②：，；选③：， 【分析】 【详解】（1）由，得. 由正弦定理得，因为，所以， 又，所以. （2）①设边上的中点为，则， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或，所以或， 此时有两个解，不符合题意． ②因为，即，所以， 因为，，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，，即． ③因为，所以， 由余弦定理得，，所以， 由正弦定理得，，所以． 59．如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 60．在三角形中，角所对的边长分别为，，. (1)求； (2)若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①②, ②③,可得，选择①③，不合题意 【分析】 【详解】（1）由，将代入得： ， 根据正弦定理，可得，即 已知，代入得： ， 在中，，约去，得， 又因为，所以； （2）选择条件①、②来作解答：    已知，，在上，，， 故， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 代入已知条件得：， 由上两式消整理可得， ， 若，代入上式可得，此时判别式小于0，该方程无解； 若，代入上式可得， 解得正根， 代入：， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 选择条件①、③来作解答：    已知，在上，，，， 在中，由正弦定理可得：， 当为锐角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时，    当为钝角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为锐角，则满足，即， 故，此时， 则此时三角形为等边三角形， 故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答； 选择条件②、③来作解答：    已知，在上，，，， 过点作，垂足为，因为，所以， 由点在上，可知为锐角，则， 又由，，在直角三角形中，可解得：， 再由，可得， 再由，可得，即， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形解答题归类 考点01 利用正余弦定理解三角形 考点02 正、余弦定理判定三角形形状 考点03 三角形周长、面积的计算及应用 考点04 角度范围问题 考点05 边长范围问题 考点06 与角平分线有关的问题 考点07 与中线有关的问题 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 考点09 解三角形在平面几何中的应用 考点10 三角函数与解三角形的综合 考点11 解三角形的实际应用 考点12 结构不良型 考点01 利用正余弦定理解三角形 1．在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 2．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求． (2)若，求． 3．在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 4．在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)求线段的长． 5．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 考点02 正、余弦定理判定三角形形状 6．在中，已知，判断的形状． 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，. (1)求角B的大小； (2)若，判断三角形的形状. 9．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，试判断的形状. 10．在①；②是函数的一个零点；③已知函数，且.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答： 已知的内角，，所对的边分别是，，，且为锐角.若___________，且，试判断的形状. 考点03 三角形周长、面积的计算及应用 11．在中，，． (1)求． (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 12．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 13．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求的周长． 14．已知分别为三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 15．在中，角的对边分别为，且周长为18． (1)求的值及的面积； (2)求的值． 考点04 角度范围问题 16．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 19．中，角，，的对边分别为，，，满足，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 20．已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 考点05 边长范围问题 21．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 22．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 23．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 24．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 25．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 26．已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 考点06 与角平分线有关的问题 27．在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 28．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，，求的面积. 29．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，. (1)求a及的值； (2)的平分线交边于点，求的长. 30．在 中，角所对的边分别为向量且满足 (1)求角A的值; (2)角A的平分线交边与点D，求 的最小值. 31．已知的三个内角所对的边分别为. (1)求角的大小. (2)若的面积为，求a的值. (3)若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 考点07 与中线有关的问题 32．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 33．在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 34．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角A； (2)若，边中线长为1，求的面积． 35．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 36．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 37．在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 38．已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 39．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 40．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 考点09 解三角形在平面几何中的应用 41．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 42．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 43．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 44．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 45．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)当时，求的长； (3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长． 考点10 三角函数与解三角形的综合 46．设常数，，． (1)求此函数值域． (2)若是奇函数，求实数的值． (3)设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 47．已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 48．已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 49．已知函数的图象关于直线对称，其中 (1)求的值； (2)求函数的对称中心； (3)在中，，，分别为三个内角，，的对边，锐角满足，，求面积的最大值． 50．已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，． (1)求的值，并求函数的对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； (3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积． 考点11 解三角形的实际应用 51．如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行. (1)起初两人间的距离是多少？ (2)经过多长时间，两人间的距离是4 km？ (3)什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离. 52．我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 53．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)．    54．如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 55．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 考点12 结构不良型 56．在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 57．记的内角的对边分别为．已知，，的平分线交于点D． (1)求b的值； (2)从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长． 条件①：边上的高为；条件②：的面积为． 58．在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①：，边上中线的长为； 条件②：，边上的高的长为2． 条件③：，的面积为12； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 59．如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 60．在三角形中，角所对的边长分别为，，. (1)求； (2)若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $