专题03 数量积运算及复数（高效培优期末专项训练）高一数学人教B版

**基本信息** 聚焦数量积与复数两大模块，以考点分层递进构建知识网络，通过基础到综合题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积运算|约30题|含基础运算、模长/夹角/投影计算、最值范围及新定义问题|从数量积概念出发，通过几何应用（如三角形、圆）逐步过渡到动态最值与创新情境，体现从具象到抽象的思维进阶| |复数|约25题|涵盖基本运算、分类、模长、几何意义及方程根问题，含多选题|以复数概念为起点，通过代数运算与几何意义的结合，实现从基础辨析到综合应用的逻辑延伸，培养数学表达能力|

专题03 数量积运算及复数 考点01 数量积及其应用 考点02 求向量模长 考点03 向量的夹角 考点04 投影向量 考点05 复数的基本运算 考点06 复数的分类 考点07 复数的模长 考点08 复数的几何意义 考点09 复数相等 考点10 复数范围内方程的根 考点11 复数运算多选题 考点12 数量积最值及范围问题 考点13 数量积新定义问题 考点01 数量积及其应用 1．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 2．已知是等边三角形，边长为4，则______． 【答案】 【详解】由题意可知：，， 所以. 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 解得，故． 4．已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 5．已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 考点02 求向量模长 6．已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 所以. 7．已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为__________． 【答案】21 【详解】，则， 点到直线的距离为，则的面积为 8．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 所以. 9．定义平面斜坐标系xOy，记分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知A，B的斜坐标分别为，则_______________． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， ， 所以 ， 因此. 10．设向量，，且，，，则______． 【答案】 【详解】因为， 由，得； 又 ，， ； ， ； ， ； 将所有值代入得： ， 开方得. 11．已知向量，． (1)若与共线，求实数k的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以，． 因为与共线，所以 ， 所以． （2）因为，，所以，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 考点03 向量的夹角 12．已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：，且， ，即， 解得． 13．若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设。 由， 等式两边同时平方，， 等式两边同时除以，． 14．已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为与的夹角为， 所以， 两边同时平方得，， 整理得，或， 因为，所以， 所以，则． 15．已知向量，满足，，，则__________． 【答案】 【详解】因为所以， 因为，所以， 所以，所以， 即，化简得， 所以. 16．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】 【详解】（1）由，，，的夹角为，得， 所以. （2）由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 由，得， 即，解得； 由与共线，不共线，得，解得， 因此由与不共线，得，则且， 所以的取值范围为且. 考点04 投影向量 17．已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________ 【答案】或 【详解】设，因为，所以，，     因为向量在向量上的投影向量的坐标为， 所以向量在向量上的投影向量为，即， 因为，所以，将代入解得， 所以或. 18．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的夹角为，. 由，得，即， 因为为非零向量，故. 又在方向的投影向量为，故， 即， 解得，结合，得. 19．已知中，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知为等腰三角形，设 ,解得，故， 在上的投影： ， 在上的投影向量为． 20．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【详解】， 其中，所以，解得， 则在上的投影向量为. 21．已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】，，类似可得， ， 当且仅当时等号成立. 考点05 复数的基本运算 22．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式， ∵，∴，则. 23．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，，则， 所以的共轭复数为. 24．已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】，在复平面内，复数对应的点为， 复数与对应的点关于直线对称，则复数对应的点为， 则， 所以，故选项D正确. 25．复数，则_____． 【答案】 【详解】因 则. 26．已知，若，则的最小值为___________． 【答案】1 【详解】由题意得，， 所以，则当时，的最小值为1． 考点06 复数的分类 27．已知为纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】， 因为是纯虚数，所以且，解得． 28．使复数为纯虚数的最小自然数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 因此使得复数为纯虚数的最小自然数是. 故选：C. 29．（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 【答案】AD 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 30．已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 【答案】/ 【详解】由题设，（，）， 则， 所以，，故. 故答案为： 31．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），是实数， ，即， . （2）. 是纯虚数， 且，即， ，的共轭复数为 考点07 复数的模长 32．已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】， 则. 33．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，得. 所以. 34．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 则，所以. 35．已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，可得，即， 又因为，且，可得， 对于A，若，可得，解得， 此时，所以A错误； 对于B，若，可得，解得， 此时，所以B错误； 对于C，若，可得，解得， 此时，所以C正确； 对于D，若，可得，解得， 此时，所以D错误. 36．若，则复数的虚部为（   ） A．1 B．1 C．2 D．2 【答案】A 【详解】设，则，， ，， 因为，所以， 所以，整理得，解得. 所以复数的虚部为. 考点08 复数的几何意义 37．复数在复平面内对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以在复平面内对应点的坐标为． 38．设，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为， 所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 39．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 40．复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面内与复数，，，对应的四点分别为， 1.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 2.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 3.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以. 41．设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 考点09 复数相等 42．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 43．若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设（），则，，所以. 所以， 解得，代入中，解得， 故. 44．设i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， . 45．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】设，则， 则，因此． 故选：A． 46．已知复数满足，则______． 【答案】 【详解】设（，），则， 则， 所以，，即． 考点10 复数范围内方程的根 47．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 48．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：方程的根为， 即，， 所以， 所以，， ， 所以， 所以， 故选：B 49．（多选）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：ACD 50．已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 所以当时，， 所以； （2）当时，，由求根公式可知，两根分别为， 所以， 所以，解得. 考点11 复数运算多选题 51．（多选）已知复数和，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 设，则，故B正确； 由复数加减法的几何意义可知，C正确； 若，则，故D错误. 52．（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 【答案】ABC 【详解】选项A：复数的模满足，若，则， 所以或，即或，故A正确. 选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确. 选项C：设（）， 左边， 右边，左右两边相等，故C正确. 选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部， 比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误. 53．（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，， ， 又，所以， 即，也即， 所以，即，故D正确. 54．（多选）设是的共轭复数，则下列说法正确的是（     ）． A． B．若，则 C． D．是实数 【答案】ABD 【详解】设，则， 对于A，，故A正确； 对于B，即为，由A可得，故，故B正确； 对于C，取，则，，故C错误； 对于D，，故D正确. 55．（多选）已知，是复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 【答案】BCD 【详解】取，满足，但两个都是虚数，不能比较大小，无法得到​，故A错误； 设，若，说明是负实数，因此， 满足虚部，且实部， 若，则无实数解， 因此只能，此时得，即​是纯虚数，故B正确； 根据共轭复数的性质，， 推导得 ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 考点12 数量积最值及范围问题 56．过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，圆的圆心为，半径， 过点作一条直线与圆相切于点， 当轴时，到直线的距离为，所以直线的方程为， 所以，又为的直径，则， 所以，所以直线的方程为：， 设，则， 所以， 又为线段上的动点，所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 57．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接, 则 因为点在线段上且，则圆心 到直线的距离， 所以，所以， 所以的取值范围是． 58．已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 因为是的中点，所以 因为点在直线上，设，则 由得 设，则 ， 则， 解得，故 于是 所以 因为，所以 当时取等号，因此最小值为 59．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为6）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（　　） A．144 B．108 C．96 D．48 【答案】B 【详解】设点，正六边形的边长为6， 所以，， 所以，， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为. 60．已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】以为原点，以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，. 因为，则. 设，则，，. 所以， 所以 . 因为，， 所以当，时，取得最小值，为. 61．在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【答案】2 【详解】为上一点，设，， ，， ， 根据二次函数性质，当时，. 62．已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 考点13 数量积新定义问题 63．定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 【答案】A 【详解】当以、为邻边组成平行四边形时，如图 其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积，故①真， 当时，，则，反之因为、，若，则，即，故②真. 64．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知余弦距离为，，的余弦距离为， ，解得， 已知，，则， ， ． 65．（多选）定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，取，，则，而，此时，故D错误． 66．设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 【答案】① 【详解】对于①，若，则存在唯一的，满足，即， 又不共线，，整理得，故①正确； 对于②，因， 由， 可得，因不能恒成立，故②错误； 对于③，若，则. 即 ，故③错误； 对于④， ，故④错误． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数量积运算及复数 考点01 数量积及其应用 考点02 求向量模长 考点03 向量的夹角 考点04 投影向量 考点05 复数的基本运算 考点06 复数的分类 考点07 复数的模长 考点08 复数的几何意义 考点09 复数相等 考点10 复数范围内方程的根 考点11 复数运算多选题 考点12 数量积最值及范围问题 考点13 数量积新定义问题 考点01 数量积及其应用 1．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．已知是等边三角形，边长为4，则______． 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 考点02 求向量模长 6．已知向量，满足，，．则______． 7．已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为__________． 8．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 9．定义平面斜坐标系xOy，记分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知A，B的斜坐标分别为，则_______________． 10．设向量，，且，，，则______． 11．已知向量，． (1)若与共线，求实数k的值； (2)若，求的最小值. 考点03 向量的夹角 12．已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 13．若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，满足，，，则__________． 16．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 考点04 投影向量 17．已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________ 18．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 19．已知中，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 20．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 21．已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 考点05 复数的基本运算 22．若，则（    ） A． B． C． D． 23．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 24．已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（     ） A．0 B． C． D． 25．复数，则_____． 26．已知，若，则的最小值为___________． 考点06 复数的分类 27．已知为纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D．2 28．使复数为纯虚数的最小自然数是（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 30．已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 31．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求的共轭复数． 考点07 复数的模长 32．已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 33．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 34．若，则（    ） A． B．1 C． D． 35．已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 36．若，则复数的虚部为（   ） A．1 B．1 C．2 D．2 考点08 复数的几何意义 37．复数在复平面内对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 38．设，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 40．复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 41．设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 考点09 复数相等 42．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 43．若，且，则（     ） A． B． C． D． 44．设i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 45．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 46．已知复数满足，则______． 考点10 复数范围内方程的根 47．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 48．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 49．（多选）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 50．已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 考点11 复数运算多选题 51．（多选）已知复数和，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 52．（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 53．（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（多选）设是的共轭复数，则下列说法正确的是（     ）． A． B．若，则 C． D．是实数 55．（多选）已知，是复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 考点12 数量积最值及范围问题 56．过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 57．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．5 59．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为6）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（　　） A．144 B．108 C．96 D．48 60．已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 61．在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 62．已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 考点13 数量积新定义问题 63．定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 64．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 65．（多选）定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B． C． D． 66．设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $