专题02 三角函数的图象与性质（高效培优期末专项训练）高一数学人教B版

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质十大核心考点，以题载知，构建从基础性质到综合应用的递进式训练体系，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-04|5-6题/考点|周期性、奇偶性、单调性、值域问题，含选择、填空|从三角函数基本性质出发，层层递进| |考点05-08|4-6题/考点|零点、图象变换、解析式确定，含综合题|衔接图象特征与代数表达，强化数形结合| |考点09-10|3-6题/考点|实际应用（摩天轮、潮汐等）、恒成立问题，含解答题|拓展至实际情境与综合应用，提升数学语言表达能力|

专题02 三角函数的图象与性质 考点01 三角函数的周期性问题 考点02 三角函数的奇偶性和对称性问题 考点03 三角函数的单调性问题 考点04 三角函数的值域与最值问题 考点05 三角函数的零点（交点）问题 考点06 三角函数的图象变换问题 考点07 求图象变换前后的解析式 考点08 确定三角函数解析式 考点09 实际应用问题 考点10 恒成立与有解问题 考点01 三角函数的周期性问题 1．函数的最小正周期为________． 【答案】 【详解】函数的最小正周期为. 2．若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为________. 【答案】 【详解】正弦函数相邻两个零点之间的距离为半个周期 ， 因此：， 即： ， 根据周期公式 ， ， 解得： ． 3．函数，的频率是，则______. 【答案】4 【详解】由函数，的频率是，所以函数周期为，则，解得. 4．函数，则______． 【答案】 【详解】的周期． 故答案为： 5．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则________. 【答案】6 【详解】∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为，∴周期， 由，得. 故答案为：6. 考点02 三角函数的奇偶性和对称性问题 6．定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四个选项中函数定义域均为全体实数，均满足题目要求，分别看每个选项： A选项，为奇函数，故不正确； B选项，，最小正周期为，故不正确； C选项，是将沿轴翻折，是偶函数，周期为，故正确； D选项，是将沿轴翻折，是偶函数，但周期为，故不正确. 7．已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得； 是函数的一条对称轴， ，解得； ，当时，取得最小值，最小值为. 8．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 9．若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【详解】为偶函数，， ，或. 10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 11．若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】A 【详解】解法一：若函数的图象关于直线对称，则， 所以，解得. 解法二：若函数的图象关于直线对称， 则恒成立，， 所以， 化简得，恒成立，所以. 考点03 三角函数的单调性问题 12．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出各选项对应的函数图象可知： 的最小正周期为，在区间上单调递减，不符合题意. 的最小正周期为，在区间上单调递增，符合题意. 的最小正周期为，不符合题意. 不是周期函数，不符合题意. 【点睛】 13．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 14．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 15．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数 的图象关于直线 对称， ，即 ， ，，， 函数 在 内单调递增， ，，解得 ， ． 16．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 17．函数的单调递增区间是______． 【答案】和. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. 考点04 三角函数的值域与最值问题 18．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴. ∵在上是单调递增的． 即 ∴函数的值域为. 故选：C 19．函数的值域为______. 【答案】 【详解】解法一：， 因为，所以， 因此或， 则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得， 易知，所以， 则，解得或， 故的值域为. 20．函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 21．已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由，得，由函数在区间上的最小值为， 即取得最小值，得，解得，所以的最大值为. 故答案为： 22．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，在区间上不存在最值， 若，则区间的长度大于函数半个周期，此时函数在区间内必然存在最值，故必有， 又函数的最值满足，即， 若，则， 因为，故，则时，， 时，，结合得， 由于在区间上不存在最值， 故在的范围内去除和， 则， 故选：D 考点05 三角函数的零点（交点）问题 23．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，则，问题变为在中，至少有个，至多有4个，使. 对于方程，结合正弦函数的周期性，属于内的根从小到大排列如下：， 由题设，区间的长度：不小于（保证有3个根的最大距离），小于（至多有4个根，否则存在5个根）， 所以. 24．已知函数的最小正周期为T，若且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，的最小正周期为，则，即， 又，可得，即， 所以，又，所以， 所以，当时，， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是. 25．设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】，所以， 在区间上无零点，则，解得， ，，令，则， 在上单调递增， ． 故选：D． 26．函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 27．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 【答案】 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 28．已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以，，解得，， 因为，所以， 所以， 令，，解得，， 所以函数的对称轴方程为，； （2）由（1）可知，函数， 当时，， 所以，所以， 所以的值域为， 又函数的图象与直线有2个交点，作图如下：    由图可知， 所以实数m的取值为． 考点06 三角函数的图象变换问题 29．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 30．（多选）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（     ） A．横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD 【详解】选项A,先将横坐标伸长到原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，和目标函数不一致，A错误. 选项B，先将横坐标缩短到原来的，得到，再向右平移个单位长度，得到，和目标函数完全一致，B正确. 选项C，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数不一致，C错误. 选项D，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数完全一致，D正确. 31．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 由图象的翻折变化，的周期由变为， 则有，，则当时取最小值. 32．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由题可知，又，所以. 33．设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象. 【答案】(1)函数的振幅为1，周期为，初相为；① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (2) 【分析】 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以. （2）由知，函数的振幅为1，周期为，初相为； 要得到函数的图象，可以把正弦曲线进行如下变换： ① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （2）由可知，列表如下： 故函数在区间上的图象如下： 考点07 求图象变换前后的解析式 34．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 35．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 36．把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得， 解得，当时，，A是； 不存在整数，使得，BCD不是. 37．已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 38．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 【答案】 【详解】， 则图象向右平移个单位长度后的图象的解析式为： ， 已知关于y轴对称， ，解得， ， 的最小值为． 考点08 确定三角函数解析式 39．函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在区间恰有2个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】C 【详解】对于A,因为， 由图可知，，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，故B正确； 对于C，所以，当时，， 所以方程在上只有即一个解， 即函数在区间恰有一个零点，故C错误； 对于D，将图象向左移个单位后可得 ，为偶函数， 其图象关于轴对称，故D正确. 40．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以，则， 所以，则， 又， 则，又，则， 所以，由，得， 因此，又， 解得，所以， 则，解得， 所以，则， 故选：C 41．已知函数的部分图象如图所示.则_______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为______. 【答案】 / 【详解】由题可得，则，又，故， 且有，解得，又，故， 则，故； ，则，则， 则，故或， 解得或，则的最小值为. 42．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 43．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.    (1)求和； (2)若，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）由图可知，的最小正周期， 则，即， 将代入，得． 又，所以． （2）由（1）可知，， 因为， 所以， 所以，， 故． 考点09 实际应用问题 44．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）（多选） 【答案】BCD 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 45．（多选）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 【答案】ACD 【详解】由题意，，且，则， 由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以， 所以，则， 将代入中， 可得，故， 则，故， 又，所以，因此，故A正确，B错误； 因为，则， 则，所以， 则为水车直径，所以，故C正确； 当时，，， 则，所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确. 46．我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 【答案】C 【详解】因为函数的图象过，所以，即， 因为是摆动的第一个最高点，所以， 所以． 47．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 48．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由图象，可知，， 将代入中，得， 所以. ∵， ∴，故. （2）在中，令，，则， 由在曲线OD上，则，故曲线为，则， ∴矩形PMFE的面积为，即儿童乐园的面积为. 49．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 考点10 恒成立与有解问题 50．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 51．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 52．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】化简不等式，得. 令， 则二次函数在上恒成立． 对称轴为． 若，即，最小值为， 解得与矛盾． 若，即最小值为， 解得， 所以． 若，即，最小值为， 解得，所以． 综上所述． 53．设且，已知函数，若对任意，恒成立，则满足条件的常数的个数是___________ 【答案】1519 【详解】， 当且仅当且时，不成立， 当时，解得， 当，， 又要使，，需取这样的整数， 又，所以可取共个， 则满足条件的常数的个数是． 54．已知函数，. (1)求的最小正周期，并求在上的单调减区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）. 则的最小正周期； 令，解得， 当时，，当时，范围不在内， 故在上的单调减区间为. （2）当时，， 则，故， 由不等式恒成立，即恒成立， 则， 的取值范围是. 55．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）依题意，， 所以函数最小正周期为. （2）由，，解得， 故函数的单调递减区间为. （3）由得，则， 所以. 由得在上恒成立， 所以，解得，即m的取值范围是. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的图象与性质 考点01 三角函数的周期性问题 考点02 三角函数的奇偶性和对称性问题 考点03 三角函数的单调性问题 考点04 三角函数的值域与最值问题 考点05 三角函数的零点（交点）问题 考点06 三角函数的图象变换问题 考点07 求图象变换前后的解析式 考点08 确定三角函数解析式 考点09 实际应用问题 考点10 恒成立与有解问题 考点01 三角函数的周期性问题 1．函数的最小正周期为________． 2．若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为________. 3．函数，的频率是，则______. 4．函数，则______． 5．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则________. 考点02 三角函数的奇偶性和对称性问题 6．定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 9．若为偶函数，且，则的值为______． 10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 11．若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 考点03 三角函数的单调性问题 12．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） A． B． C． D． 16．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 17．函数的单调递增区间是______． 考点04 三角函数的值域与最值问题 18．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 19．函数的值域为______. 20．函数的最大值与最小值之和为___________． 21．已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为___________． 22．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点05 三角函数的零点（交点）问题 23．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知函数的最小正周期为T，若且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 26．函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 27．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 28．已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 考点06 三角函数的图象变换问题 29．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 30．（多选）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（     ） A．横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 31．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象. 考点07 求图象变换前后的解析式 34．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 35．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 36．把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 37．已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 考点08 确定三角函数解析式 39．函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在区间恰有2个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 40．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 41．已知函数的部分图象如图所示.则_______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为______. 42．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 43．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.    (1)求和； (2)若，求. 考点09 实际应用问题 44．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）（多选） 45．（多选）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 46．我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 47．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 48．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 49．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 考点10 恒成立与有解问题 50．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 51．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 52．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 53．设且，已知函数，若对任意，恒成立，则满足条件的常数的个数是___________ 54．已知函数，. (1)求的最小正周期，并求在上的单调减区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 55．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $