第02讲 分解素因数（暑假预习讲义，6题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第02讲 分解素因数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1素数与合数 题型2素因数的含义 题型3分解素因数 题型4互素数的认识 题型5公因数与最大公因数 题型6公倍数与最小公倍数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 素数（质数）、合数、1、素因数、分解素因数、树枝分解法、短除法、唯一分解定理、标准分解式、指数形式、正整数分类 1. 知识与技能 1. 区分素数、合数，牢记1既不是素数也不是合数，能对20以内正整数快速分类判断。 2. 理解素因数、分解素因数定义，明确只有合数可以分解素因数，素数、1无法分解。 3. 熟练掌握树枝分解法、短除法两种分解方法，规范书写标准分解式，素因数按从小到大排列，相同素数统一写成乘方形式。 4. 能够利用分解素因数知识，解决素合数判断、求因数个数、已知乘积反推自然数、分组均分等常见题型。 2. 过程与方法 1. 通过试除、短除实操练习，建立“从最小素数依次试除”的标准化解题逻辑。 2. 依托唯一分解定理进行逆向推理，掌握拆分、重组素因数的解题思路，攻克综合应用题。 3. 对比树枝分解法与短除法的适用场景，归纳小数用树枝法、大数用短除法的解题选择技巧。 3. 核心素养 数学抽象：精准区分普通因数与素因数的概念差异； 数学运算：规范完成短除分解，杜绝分解不彻底、书写不规范问题； 逻辑推理：通过素因数组合、拆分，逆向还原自然数，锻炼逻辑思维。 重点：短除法分解素因数、规范书写标准分解式； 难点：素因数综合应用、因数与素因数概念区分、大数完整分解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 知识点02分解素因数 分解素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数主要方法： 1.口算法分解素因数 例如：． 2.树枝分解法分解素因数 例如： 常常适用于较小数目 3.用短除法分解素因数 （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 （2）得出商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直得出的商是素数为止。 （3）然后把各个除数和最后的商按从小到的顺序写成连乘的形式。 例如： 用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5 一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。 第二最后的商还是合数。如： 一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。 知识点03公因数与最大公因数 1、公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、两个数互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 5、求最大公因数方法 特殊情况： 1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。） 2、互素关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35） 一般情况： 列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。 ①列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 再找出两个数的公因数： 1、3、9 最后找出最大公因数：9 ②单列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18 再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数 最后找出最大公因数：9 ③短除法： 除到商是互素为止，最后把所有的除数相乘3×3=9 ④除法算式法： 用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 9就是18和27的最大公因数 知识点04公倍数与最小公倍数 1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2.求最小公倍数： 列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。 ①列举法：如，求18和12的最小公倍数 先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48、 再找出两个数的最小公倍数：36 ②单列举法：如，求18和12的最小公倍数 先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72 再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数 把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。 如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。 ④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除） 如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。 题型1素数与合数 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 【例2】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）小明同学的学号是7位数字，请根据提示逐步推理出他的学号：第1位：唯一的偶素数；第2位：10以内既是奇数又是合数的数；第3位：最小的自然数；第4位：能同时被2、3整除的最小一位数（非0）；第5位：10以内最大的素数；第6位：10以内最小的合数；第7位：10以内最小的奇数且是素数． 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海闵行·期中）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字是奇数又是合数，它的百位上的数字不是素数也不是合数，它的十位上的数字是最小的合数，那么这个数是__________． 【变式1-2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）小侦探柯南在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是： A B C D E F 他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数；B的所有因数是1、2、4、8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E是最小的素数；F既是9的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？密码是多少？ 题型2素因数的含义 【例3】．（24-25六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（    ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 【例4】．A=235，B=2235．Ａ与Ｂ公有的素因数是_____________________． 【变式2-1】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）下列各式中表示分解素因数的式子是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-2】．规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________． 【变式2-3】．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）规定一种新运算，对于一个合数n，表示不是n的素因数的最小素数，如，，那么________． 题型3 分解素因数 【例5】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）将分解素因数，下列表示法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例6】．（25-26六年级上·上海·期末）把154分解质因数是_____． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期中）把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 【变式3-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各式中属于分解素因数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）将1170分解素因数：_____________． 【变式3-3】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 【变式3-4】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）把下面各数分解素因数： (1)48 (2)51 (3)198 【变式3-5】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时： 例如18可以分解成，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)___________，___________； (2)若且为200以内的正整数，求的值． 题型4 互素数的认识 【例8】20．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，与12互素的是（   ） A．3 B．10 C．21 D．25 【例9】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（   ）． A．4能被20整除 B．一个合数至少有三个因数 C．奇数和偶数一定互素 D．偶数都是合数 【例10】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知两个互素的数的积为24，则它们的和为__________． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列每组数中的两个数不是互素的是（   ） A．5和6 B．21和9 C．7和11 D．25和26 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 【变式4-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）兰生中学即将迎来周年校庆，为了布置校庆场地，需要用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为规格的正方形地砖，恰用块；若选用边长为规格的正方形地砖，则要比前一种方案刚好多用124块．已知、、都是正整数，且，设自然数为“兰生校庆数”，，则的值为__________． 【变式4-4】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）猜电话号码 ：10以内最大的素数                    ：最小的合数 ：即是偶数，又是素数                   ：它的所有因数是1，2，3，6 ：它既是4的倍数，又是4的因数         ：最小的自然数 题型5 公因数与最大公因数 【例11】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲数，乙数，当为（　　）时，甲、乙的最大公因数是66． A．3 B．5 C．7 D．11 【例12】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 【例13】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）求3465和420的最大公因数 【变式5-1】．（24-25六年级上·上海·期中）18和24的最大公因数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如果和的最大公因数是21，且，那么______． 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲数可以写成，乙数可以写成，甲乙两数的最大公因数是30，则正整数___________． 【变式5-4】．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知两个数的最大公因数为6，和为72，求这两个数． 【变式5-5】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）长方形的操场，长100米，宽60米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等，问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？ 题型6 公倍数与最小公倍数 【例14】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）都是自然数且，则和的最小公倍数是（    ） A． B． C． D．5 【例15】．（25-26六年级上·上海金山·期中）36和48的最小公倍数是______． 【例16】．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，则m与n的最小公倍数是__________． 【例17】．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 【变式6-2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）在下列数中，表示数7和8的最大公因数和最小公倍数的积是（   ） A．7 B．8 C．1 D．56 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海·期末）把自然数a与b分解质因数，得到．如果a与b的最小公倍数是2310，那么_______． 【变式6-4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数： (1)48和64； (2)12、16和30． 【变式6-5】．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）对于正整数m、n，如果，那么下列说法中，正确的是（   ） A．和的最小公倍数是 B．和的最大公因数是 C．的素因数至少有2个 D．的因数至少有5个 2．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有、、、（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中，正确的个数有（   ） ①在正整数中，除素数外都是合数；    ②一个合数至少有3个因数； ③互素的两个数一定都是素数；    ④两个素数的和一定都是合数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（   ） A．因为60÷15=4，所以60是倍数，15是因数 B．因为3.6÷1.2=3，所以3.6能被1.2整除 C．任意两个正整数的乘积一定等于它们的最大公因数与最小公倍数的积 D．一个分数的分母中若含有除了2和5之外的其他素因数，那么它不能化成有限小数 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）18和24的最大公因数是 ______，最小公倍数是 ______． 8．（25-26六年级上·上海·期中）在中互素的数有______对． 9．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的素因数有______个，因数有______个． 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔_____名学生参加跳舞． 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的有______．（请写序号） ①素数都是奇数．        ②能被1和它本身整除的数叫素数． ③正整数可以分为素数和合数．    ④两个不同的素数一定互素． 12．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）小梅的日记本带有密码锁，她为了防备自己忘记密码，在另一本本子上做了记录： 是7的最大因数；的所有因数是1、2、4、8；是最小的非负整数；是最小的素数与3的乘积；只有一个因数；是最小的合数．小梅日记本的密码是_________，这个6位数_____被3整除（填“能”或“不能”）． 13．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 三、解答题 14．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 15．（25-26六年级上·上海·期中）用短除法解决下列各题： (1)把50分解素因数； (2)求144和54的最大公因数和最小公倍数． 16．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 17．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． (1)有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，均为正整数且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时，．例如：，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)__________；__________． (2)若正整数小于300，且，写出正整数的所有可能值__________． (3)若正整数为小于300的三位数，那么的最大值是__________，的最小值是__________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 分解素因数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1素数与合数 题型2素因数的含义 题型3分解素因数 题型4互素数的认识 题型5公因数与最大公因数 题型6公倍数与最小公倍数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 素数（质数）、合数、1、素因数、分解素因数、树枝分解法、短除法、唯一分解定理、标准分解式、指数形式、正整数分类 1. 知识与技能 1. 区分素数、合数，牢记1既不是素数也不是合数，能对20以内正整数快速分类判断。 2. 理解素因数、分解素因数定义，明确只有合数可以分解素因数，素数、1无法分解。 3. 熟练掌握树枝分解法、短除法两种分解方法，规范书写标准分解式，素因数按从小到大排列，相同素数统一写成乘方形式。 4. 能够利用分解素因数知识，解决素合数判断、求因数个数、已知乘积反推自然数、分组均分等常见题型。 2. 过程与方法 1. 通过试除、短除实操练习，建立“从最小素数依次试除”的标准化解题逻辑。 2. 依托唯一分解定理进行逆向推理，掌握拆分、重组素因数的解题思路，攻克综合应用题。 3. 对比树枝分解法与短除法的适用场景，归纳小数用树枝法、大数用短除法的解题选择技巧。 3. 核心素养 数学抽象：精准区分普通因数与素因数的概念差异； 数学运算：规范完成短除分解，杜绝分解不彻底、书写不规范问题； 逻辑推理：通过素因数组合、拆分，逆向还原自然数，锻炼逻辑思维。 重点：短除法分解素因数、规范书写标准分解式； 难点：素因数综合应用、因数与素因数概念区分、大数完整分解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 知识点02分解素因数 分解素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数主要方法： 1.口算法分解素因数 例如：． 2.树枝分解法分解素因数 例如： 常常适用于较小数目 3.用短除法分解素因数 （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 （2）得出商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直得出的商是素数为止。 （3）然后把各个除数和最后的商按从小到的顺序写成连乘的形式。 例如： 用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5 一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。 第二最后的商还是合数。如： 一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。 知识点03公因数与最大公因数 1、公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、两个数互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 5、求最大公因数方法 特殊情况： 1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。） 2、互素关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35） 一般情况： 列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。 ①列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 再找出两个数的公因数： 1、3、9 最后找出最大公因数：9 ②单列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18 再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数 最后找出最大公因数：9 ③短除法： 除到商是互素为止，最后把所有的除数相乘3×3=9 ④除法算式法： 用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 9就是18和27的最大公因数 知识点04公倍数与最小公倍数 1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2.求最小公倍数： 列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。 ①列举法：如，求18和12的最小公倍数 先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48、 再找出两个数的最小公倍数：36 ②单列举法：如，求18和12的最小公倍数 先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72 再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数 把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。 如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。 ④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除） 如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。 题型1素数与合数 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【分析】此题主要考查合数与奇数的意义，合数指在大于1的整数中，除了1和它本身以外还能被其他正整数整除的数．在整数中，不能被2整除的数叫做奇数． 根据合数与奇数的意义逐项分析即可． 【详解】A．3是奇数，不是合数； B．9是奇数，且，有因数3，是合数； C．12是偶数，不是奇数； D．17是质数，不是合数． 故选B． 【例2】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）小明同学的学号是7位数字，请根据提示逐步推理出他的学号：第1位：唯一的偶素数；第2位：10以内既是奇数又是合数的数；第3位：最小的自然数；第4位：能同时被2、3整除的最小一位数（非0）；第5位：10以内最大的素数；第6位：10以内最小的合数；第7位：10以内最小的奇数且是素数． 【答案】2906743 【分析】本题主要考查素数与合数、奇数与偶数，关键是按要求写出符合条件的各个数位上的数字． 根据素数与合数的定义、奇数与偶数的定义求出符合条件的各个数位上的数字． 【详解】解：根据题意得，第1位：唯一的偶素数是； 第2位：10以内既是奇数又是合数的数是； 第3位：最小的自然数是； 第4位：能同时被2、3整除的最小一位数（非0）是； 第5位：10以内最大的素数是； 第6位：10以内最小的合数是； 第7位：10以内最小的奇数且是素数是， ∴他的学号为2906743． 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海闵行·期中）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字是奇数又是合数，它的百位上的数字不是素数也不是合数，它的十位上的数字是最小的合数，那么这个数是__________． 【答案】9144 【分析】本题考查了有理数中质数与合数的概念及性质，涉及到有理数的除法，注意：最小的素数是2，既不是质数又不是合数的数是1这些有理数的基本性质是解决问题的关键． 根据条件，千位数字是奇数又是合数，故为9；百位数字不是素数也不是合数，故为1；十位数字是最小的合数，故为4；个位数字需满足被2和3整除，故为偶数且数字和被3整除，计算得个位为4． 【详解】千位数字是奇数又是合数，一位数中只有9满足，故千位为9， 百位数字不是素数也不是合数，只有1满足，故百位为1， 十位数字是最小的合数，即4，故十位为4， 设个位数字为d，则四位数为， 它能被2整除，故d为偶数， 它能被3整除，故数字之和能被3整除， 检验，仅当时，能被3整除， 故个位为4，这个数是9144． 故答案为：9144． 【变式1-2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）小侦探柯南在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是： A B C D E F 他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数；B的所有因数是1、2、4、8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E是最小的素数；F既是9的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？密码是多少？ 【答案】能，密码是 【分析】本题考查了因数、自然数、倍数、素数的知识，掌握相关知识点是解题关键．根据因数、自然数、倍数、素数的性质分别得出六个密码数字，即可得到答案． 【详解】解：因为A是5的最大因数， 所以，； 因为B的所有因数是1、2、4、8， 所以，； 因为C是最小的自然数， 所以，； 因为D只有一个因数， 所以， 因为E是最小的素数， 所以，， 因为F既是9的因数又是9的倍数 所以，， 即这个保险箱的密码是． 题型2素因数的含义 【例3】．（24-25六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（    ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 【答案】B 【分析】本题主要考查素因数的概念，熟练掌握素因数是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：3和5都是15的素因数； 故选B． 【例4】．A=235，B=2235．Ａ与Ｂ公有的素因数是_____________________． 【答案】2，3，5 【分析】公有的素因数：两个正整数，都包含的素因数，据此解题． 【详解】因为A的素因数是2，3，5，B的素因数是2，3，5，所以A、B公有的素因数是2，3，5， 故答案为：2，3，5． 【点睛】本题考查素因数的概念，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 【变式2-1】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）下列各式中表示分解素因数的式子是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】根据分解素因数的定义及计算方法逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、是乘法运算，不是分解素因数，不符合题意； B、根据分解素因数计算方法，是分解素因数，符合题意； C、根据分解素因数定义及计算方法，，故不是分解素因数，不符合题意； D、根据分解素因数定义及计算方法，而不是，该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查分解素因数的定义及计算方法，熟练掌握分解素因数定义及方法是解决问题的关键． 【变式2-2】．规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________． 【答案】12 【详解】试题分析：因为60=2×2×3×5，所以（60）=7，因为84=2×2×3×7，所以（84）=5， 所以（60）+（84）=7+5=12． 考点：分解因数． 【变式2-3】．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）规定一种新运算，对于一个合数n，表示不是n的素因数的最小素数，如，，那么________． 【答案】7 【分析】根据表示不是n的素因数的最小素数，可以得到即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是素数与合数的含义，分解质因数、新运算，解答本题的关键是会用新运算解答问题． 题型3 分解素因数 【例5】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）将分解素因数，下列表示法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分解素因数方法的灵活运用，注意既不是素数也不是合数．分解素因数就是把一个合数写成几个素因数连乘积的形式，一般先从较小的素因数开始分解,分解素因数的形式应该是把合数写在等号左边，几个素因数相乘的形式写在等号右边；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：． 故选：D． 【例6】．（25-26六年级上·上海·期末）把154分解质因数是_____． 【答案】 【分析】本题考查分解质因数，分解质因数要求所有因数都是质数，而1不是质数，由此即可判断． 【详解】解：， 故答案为：． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期中）把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 【答案】4，58,94 【分析】本题考查分解素因数，根据史密斯数的定义，对每个数分解素因数，计算素因数的数字和与原数的数字和，比较是否相等即可． 【详解】解：对于4，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于32，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于58，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于65，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于94，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等． 因此，史密斯数有4，58,94． 故答案为：4，58,94． 【变式3-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各式中属于分解素因数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解素因数，根据素因数的概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，1不是素数，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，是把素数相乘，不是把一个合数分解成素因数的形式，故该选项不符合题意； D、，4不是素数，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）将1170分解素因数：_____________． 【答案】 【分析】本题考查将一个合数分解素因数，分解素因数是将一个合数表示为几个素数相乘的形式． 从最小的素数开始试除，即可求解． 【详解】解：从最小的素数开始试除，，，，， 13是素数，因此． 故答案为：． 【变式3-3】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 【答案】这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁 【分析】本题考查的是分解质因数的应用，先把2730分解质因数，再进一步解答即可． 【详解】解： 答：这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁． 【变式3-4】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）把下面各数分解素因数： (1)48 (2)51 (3)198 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分解素因数（质因数分解），解题的关键是掌握素因数的定义，将合数分解为几个质数相乘的形式． （1）将48逐步分解为质数相乘的形式； （2）把51分解为两个质数相乘的形式； （3）把198逐步分解为质数相乘的形式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3-5】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时： 例如18可以分解成，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)___________，___________； (2)若且为200以内的正整数，求的值． 【答案】(1)，1 (2)30或120 【分析】本题考查新定义运算，分解质因数，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义求解即可； （2）设，根据a为200以内的正整数，求出m可能取的数，即可求解． 【详解】（1）解：， 因为， 所以24的最优分解为，． ， 因为， 所以25的最优分解为，， 故答案为：，1； （2）解：因为， 所以设，m为正整数， 因为a为200以内的正整数， 所以， 所以， 所以m为1或2， 当时，； 当时，； 综上可知，a的值为30或120． 题型4 互素数的认识 【例8】20．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，与12互素的是（   ） A．3 B．10 C．21 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了素数、合数概念．在整数中，只有公因数1的两个数为互质数，据此解答即可． 【详解】解：A、3和12有公因数3，故选项不符合题意； B、10和12有公因数2，故选项不符合题意； C、21和12有公因数3，故选项不符合题意； D、25和12互素，故选项符合题意． 故选：D． 【例9】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（   ）． A．4能被20整除 B．一个合数至少有三个因数 C．奇数和偶数一定互素 D．偶数都是合数 【答案】B 【分析】本题考查整除、因数、素数与合数的概念，熟练掌握相关知识是关键． 根据整除、合数、互素的概念逐一判断各选项． 【详解】解：A、不是整数， 故A错误； B、合数是指除了1和它本身外还有其他因数的自然数， 因此至少有三个因数，故 B正确； C、举例与，有公因数和，因此与不互素，故C错误； D、2是偶数，但只有两个因数，1和2本身，因此2是素数不是合数，故D错误． 故选：B． 【例10】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知两个互素的数的积为24，则它们的和为__________． 【答案】25或11 【分析】本题主要考查了互质数的概念，先把24分解成两个自然数相乘的形式，再根据只有1为公因数的两个数为互素数确定出这两个数即可得到答案． 【详解】解：， 因为两个互素的数的积为24， 所以这两个数为1和24或3和8， 所以这两个数的和为或， 故答案为：25或11． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列每组数中的两个数不是互素的是（   ） A．5和6 B．21和9 C．7和11 D．25和26 【答案】B 【分析】本题主要考查了互素数的定义，“两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素”，根据互为素数的意义求解即可． 【详解】解：A、5和6只有公因数1，是互素的，不符合题意，选项错误； B、21和9的公因数有1、3，不是互素的，符合题意，选项正确； C、7和11只有公因数1，是互素的，不符合题意，选项错误； D、25和26只有公因数1，是互素的，不符合题意，选项错误； 故选：B 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了质数的概念，理解互素的概念是解题的关键． 根据互素，就是互为质数，两个数之间除了1之外没有更多的公约数，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①1和3的公约数只有1，互素； ②5和6的公约数只有1，互素； ③3和51的公约数有1和3，不互素． 故答案为：①②． 【变式4-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）兰生中学即将迎来周年校庆，为了布置校庆场地，需要用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为规格的正方形地砖，恰用块；若选用边长为规格的正方形地砖，则要比前一种方案刚好多用124块．已知、、都是正整数，且，设自然数为“兰生校庆数”，，则的值为__________． 【答案】30或9或31 【分析】本题考查的是整数的奇偶性问题．虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立、、的等式，寻找解题的突破口是解答此题的关键．先设出这块地的面积，再根据正方形的面积公式得到，又，且与的奇偶性相同，从而可求得、．注意表示、互质． 【详解】解：由题意可得：，即， ∵、、是正整数，， ∴、中一个是奇数，另一个是偶数，或、都是奇数， 又，且与的奇偶性相同， ∴是偶数，即，，124都是偶数， 又， ∴是31的倍数，且是平方数， ∴或或， 又， ∴或， 当时， ∴，即且， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，， 即且， ∴或或， 解得（舍去）或或； 综上，或或， ∴的值为30或9或31． 故答案为：30或9或31． 【变式4-4】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）猜电话号码 ：10以内最大的素数                    ：最小的合数 ：即是偶数，又是素数                   ：它的所有因数是1，2，3，6 ：它既是4的倍数，又是4的因数         ：最小的自然数 【答案】 【分析】根据数的特征，10以内最大的素数是；最小的合数是；即是偶数，又是素数是；的所有因数是1，2，3，6；既是4的倍数，又是4的因数；最小的自然数是，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， 10以内最大的素数是，则； 最小的合数是，则； 即是偶数，又是素数是，则； 的所有因数是1，2，3，6，则； 既是4的倍数，又是4的因数，则； 最小的自然数是，则； 电话号码是． 【点睛】本题考查数的认识，涉及素数、质数、合数、偶数、自然数、倍数及因数等知识，熟记相关定义是解决问题的关键． 题型5 公因数与最大公因数 【例11】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲数，乙数，当为（　　）时，甲、乙的最大公因数是66． A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了求两个数的最大公因数的方法．求两个数的最大公因数，可以利用分解质因数的方法，把这两个数分解质因数，公有质因数的连乘积就是它们的最大公因数；由此解答． 【详解】解：甲数，乙数， ，且5与7互质， 所以当为11时，甲、乙的最大公因数是66． 故选：D． 【例12】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 【答案】 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查整数的乘法，最大公因数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】 解：由图可知，，， 则正整数的最大公因数是， 故答案为：． 【例13】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）求3465和420的最大公因数 【答案】 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数，理解其定义是解题的关键． 把这两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘，即可求出两个数的最大公因数． 【详解】解：，， ∴最大公因数为：． 【变式5-1】．（24-25六年级上·上海·期中）18和24的最大公因数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数，通过列举18和24的因数，找出它们的最大公因数即可． 【详解】解：因为18的因数有1、2、3、6、9、18； 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24． 所以公因数有1、2、3、6，最大公因数为6． 故选：C． 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如果和的最大公因数是21，且，那么______． 【答案】7 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的定义，确定最大公因数为是解题的关键． 根据最大公因数的定义，A和B的最大公因数是它们公有质因数的乘积．由A和B的表达式可知，公有因数为3和m，因此最大公因数为，进而求得m的值． 【详解】解：由题意，A和B的最大公因数为21，且， ∴公有因数为3和m， ∴最大公因数为，解得：． 故答案为：7． 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲数可以写成，乙数可以写成，甲乙两数的最大公因数是30，则正整数___________． 【答案】5 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查的是最大公因数的含义，甲数和乙数的最大公因数为30，30的质因数分解为．甲数的质因数包括2、3和a的质因数，乙数的质因数包括2、3、7和a的质因数．最大公因数取共有质因数的最小次幂，因此共有质因数包括2、3和a中的质因数．由于，而最大公因数为30，故a必须提供质因数5，且a不能有其他质因数，否则最大公因数会大于30．因此． 【详解】解：甲数为，乙数为．最大公因数为30，即． 甲数和乙数共有质因数2和3，还需质因数5，且5必须来自a． 若a有其他质因数，则最大公因数会大于30， 因此． 验证：当时，甲数，乙数， 90和210的最大公因数为，符合条件． 故答案为：5． 【变式5-4】．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知两个数的最大公因数为6，和为72，求这两个数． 【答案】6，66或30，42 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了公因数，掌握公因数的定义是解决本题的关键． 先设这两个数为、，根据这两个数的和为72，先求出，再根据、互质，确定、，最后得结论． 【详解】设这两个数分别为与、互质)． ∵， ∴． ∵、互质， ∴或，或或． ∴这两个数分别为6，66或30，42． 【变式5-5】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）长方形的操场，长100米，宽60米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等，问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？ 【答案】间隔20米；种16棵 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的应用，每相邻两颗树之间的最大距离为100和60的最大公因数，求出100和60的最大公因数，然后列式即可求出需要的树苗数． 【详解】解：，， 所以100和60的最大公因数为， 所以最远应每隔20米种一棵， 一共需要树苗棵数为（棵）； 答：最远应每隔20米种一棵，一共需要树苗16棵． 题型6 公倍数与最小公倍数 【例14】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）都是自然数且，则和的最小公倍数是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查公倍数与最小公倍数的概念，核心知识点是两个数成倍数关系时的最小公倍数规律，运用了规律应用法．解题关键是通过除法算式判断两个数的倍数关系；易错点是混淆“倍数关系”与“互质关系”的最小公倍数规则，或误将较小数当作最小公倍数． 首先明确题目条件：，且A、B均为自然数，由此可知，即A是B的5倍，A和B成倍数关系． 再依据“两个自然数成倍数关系时，最小公倍数是较大数”的规律，因为，所以A和B的最小公倍数是A，进而确定答案． 【详解】已知（A、B都是自然数），说明A是B的5倍，即A和B成倍数关系，且． 因此，A和B的最小公倍数是A． 故选：A． 【例15】．（25-26六年级上·上海金山·期中）36和48的最小公倍数是______． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了求最小公倍数． 先分解质因数，再求最小公倍数即可． 【详解】解：，， 则最小公倍数是． 故答案为：． 【例16】．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，则m与n的最小公倍数是__________． 【答案】210 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查了求两个数的最小公倍数，计算所有公有质因数（2，5）和独有质因数（3，7）的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴m与n的最小公倍数是， 故答案为：． 【例17】．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 【答案】15，3150 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了有理数的乘法、最大公因数及最小公倍数，熟练掌握短除法是解题的关键．根据短除法即可得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴150、210、315的最大公约数为，最小公倍数为． 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数和最小公倍数．灵活应用求解最小公倍数和最大公因数的逆运算来求解其中的一个数，是解题的关键． 利用两数乘积等于最大公因数与最小公倍数的乘积，直接计算乙数． 【详解】解：根据“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”可得， 乙数． 故选：A． 【变式6-2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）在下列数中，表示数7和8的最大公因数和最小公倍数的积是（   ） A．7 B．8 C．1 D．56 【答案】D 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了求两个数的最大公约数和最小公倍数，解题关键是掌握如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积．根据数7和8的最大公因数是1，最小公倍数是56，即可求解． 【详解】解：因为数7和8的最大公因数是1，最小公倍数是56， 所以，数7和8的最大公因数和最小公倍数的积是， 故选：D． 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海·期末）把自然数a与b分解质因数，得到．如果a与b的最小公倍数是2310，那么_______． 【答案】11 【知识点】 公倍数与最小公倍数、质数与合数 【分析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：最小公倍数是这两个数所有质因数的最高次幂的乘积．根据求两个数的最小公倍数的方法可得a和b的最小公倍数是，由题意得：，解答即可． 【详解】解：∵， ∴a和b的最小公倍数是， ， ． 故答案为：11． 【变式6-4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数： (1)48和64； (2)12、16和30． 【答案】(1)48和64的最大公因数是16；48和64的最小公倍数是192． (2)12、16和30的最大公因数是2；12、16和30的最小公倍数是240． 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数． （1）先分解质因数，然后即可求出最大公因数和最小公倍数． （2）先分解质因数，然后即可求出最大公因数和最小公倍数． 【详解】（1）解：，， 则48和64的最大公因数是， 48和64的最小公倍数是． （2）解：，，， 则12、16和30的最大公因数是： 则12、16和30的最小公倍数是． 【变式6-5】．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【答案】男生5人，女生3人 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查最小公倍数的应用． 要使拔除的杂草正好被全部运走，那么男生拔草的捆数和女生运草的捆数应该相等，也就是找到6和10的最小公倍数，然后根据最小公倍数分别计算出男生和女生的人数． 【详解】解：6和10的最小公倍数为， 男生人数：（人） 女生人数：（人） 答：每一小组至少需要男生5人、女生3人． 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）对于正整数m、n，如果，那么下列说法中，正确的是（   ） A．和的最小公倍数是 B．和的最大公因数是 C．的素因数至少有2个 D．的因数至少有5个 【答案】C 【分析】本题考查最大公因数、最小公倍数、素因数、因数的概念，掌握相关概念是解题的关键． 由可知，m总是包含素因数2和5，因此素因数至少有两个；选项 A、B、D 均可通过反例判断错误． 【详解】解：A．当时，，此时和的最小公倍数是，故A错误； B．， 和的最大公因数是，故B错误； C．∵ ，且n为正整数， ∴， ∴ m的素因数包括2和5，至少有两个． 故C正确； D．当时，，10的因数有1、2、5、10共四个，故D错误； 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有、、、（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因数和最大公因数，关键是找到符合要求的公因数．小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选的正方形地砖． 【详解】解：∵准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是最大的，即客厅的地面长和宽的公因数， ∵边长为30，40，60的都是客厅地面长和宽的公因数，其中最大的是60， ∴符合要求的是选的正方形地砖， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中，正确的个数有（   ） ①在正整数中，除素数外都是合数；    ②一个合数至少有3个因数； ③互素的两个数一定都是素数；    ④两个素数的和一定都是合数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了素数与合数的定义，合数是自然数中除1和本身外还有其他因数的数，素数是不能被2整除的自然数，注意2是素数，据此求解即可． 【详解】解：①在正整数中，除素数外都是合数（1除外），原说法错误；    ②一个合数至少有3个因数，原说法正确； ③互素的两个数不一定都是素数，例如4和3互质，但是4不是素数，原说法错误；    ④两个素数的和不一定都是合数，例如 ，而5不是合数，原说法错误． ∴说法正确的有1个， 故选：A． 4．下列说法正确的是（   ） A．因为60÷15=4，所以60是倍数，15是因数 B．因为3.6÷1.2=3，所以3.6能被1.2整除 C．任意两个正整数的乘积一定等于它们的最大公因数与最小公倍数的积 D．一个分数的分母中若含有除了2和5之外的其他素因数，那么它不能化成有限小数 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的定义：如果一个自然数a能被另一个自然数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数，进行逐一判定即可． 【详解】解：A、因为60÷15=4，所以60是15的倍数，15是60的因数，故此选项不符合题意； B、因为必须是两个整数相除才能说是整除，故此选项不符合题意； C、两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有因数的连乘积，故此选项符合题意； D、如中，分母30中含有2和5两个素因数以外，还含有3这个素因数，但是它能化成有限小数0.5，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的定义，熟知定义是解题的关键． 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了素数、合数、偶数，熟练掌握质数、合数的定义是解题的关键．根据素数、质数、合数的定义即可得到答案． 【详解】解：A、中，1不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； B、中，19不是偶数，不符合猜想，故本选项不符合题意； C、中，91不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； D、，100是偶数，11，89是质数，符合猜想，故本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 【答案】 【分析】此题主要考查合数分解素因数的方法，用52最小的素因数去除，一直除到商是素数为止． 2的倍数的特点，尾数为；3的倍数的特点，所有数位上的数之和为3的倍数；5的倍数的特点，尾数为． 【详解】分解过程：，， ∵13是素数， ∴． 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）18和24的最大公因数是 ______，最小公倍数是 ______． 【答案】 6 72 【分析】本题考查了最大公因数，最小公倍数．通过分解质因数的方法，求两个数的最大公因数和最小公倍数，据此进行计算，即可作答． 【详解】将18和24分解质因数：， 公有质因数为2和3， 因此最大公因数为， 最小公倍数为公有质因数与各自独有质因数的连乘积，即， 故答案为：6，72． 8．（25-26六年级上·上海·期中）在中互素的数有______对． 【答案】 【分析】本题考查了互素的概念，列举数字中所有可能的无序数对，并判断每对数的最大公约数是否为，从而确定互素的数对数量，掌握互素概念是解题的关键． 【详解】解：在中，所有可能数对有、、、、、， 其中、、、、的最大公约数为， 所以互素的数对共有对， 故答案为：． 9．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的素因数有______个，因数有______个． 【答案】 16 【分析】本题主要考查了分解因数，根据可知素因数只有3和5，然后根据组合出所有的因数即可得到答案． 【详解】 解：， ∴的素因数有3和5，共个，因数有，3，5， ，，，，，，，，，，，，共16个， 故答案为：2，16． 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔_____名学生参加跳舞． 【答案】 【分析】本题考查了最小公倍数，找到最小公倍数是解题的关键．除了领舞的1人外，其他人既能平均分成4组又能平均分成6组，那么这些人即为4和6的倍数，所以求出4和6的最小公倍数，再加上1即为这个舞蹈的总人数，据此列式求解即可． 【详解】解：4和6的最小公倍数为12， ， 故答案为：． 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的有______．（请写序号） ①素数都是奇数．        ②能被1和它本身整除的数叫素数． ③正整数可以分为素数和合数．    ④两个不同的素数一定互素． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了素数，合数，互素数和奇数的概念，素数是因数只有1和它本身的自然数，合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数，若两个自然数除了公因数1之外没有其他公因数，那么这两个数互素，据此逐一判断即可． 【详解】解：①素数不都是奇数，例如2是素数，但2不是奇数，原说法错误； ②只能被1和它本身整除的数叫做素数，原说法错误； ③正整数可以分为素数，合数和1，原说法错误； ④两个不同的素数一定互素，原说法正确； 所以正确的只有④， 故答案为：④． 12．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）小梅的日记本带有密码锁，她为了防备自己忘记密码，在另一本本子上做了记录： 是7的最大因数；的所有因数是1、2、4、8；是最小的非负整数；是最小的素数与3的乘积；只有一个因数；是最小的合数．小梅日记本的密码是_________，这个6位数_____被3整除（填“能”或“不能”）． 【答案】 780614 不能 【分析】本题考查数的性质，熟练掌握数的各种性质是解题关键．根据每个字母的定义确定数字：为7的最大因数，为因数包括1、2、4、8的数，为最小的非负整数，为最小素数与3的乘积，为只有一个因数的数，为最小合数．组合后计算数字和判断能否被3整除即可． 【详解】解：是7的最大因数，7的因数为1和7，最大为7，故； 的所有因数为1、2、4、8，因此； 是最小的非负整数，非负整数包括正数和0，而正数，故； 是最小的素数与3的乘积，最小素数为2，，故； 只有一个因数，只有1满足，故； 是最小的合数，合数大于1且非素数，最小为4，故． 所以密码为780614，各位数字之和为，，不能被3整除． 故答案为：780614；不能． 13．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 【答案】8 【分析】 本题考查了植树问题，即植树棵数间隔数，间隔数间隔总长间隔距离．根据题意先计算相邻路灯的距离是200和150的最大公因数，然后分别求出和段的路灯数量，相加之后减去B点重复的一盏即可． 【详解】解：，， 200和150的最大公因数是：， ， ， 最少安需要（盏）， 故答案为：8． 三、解答题 14．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用短除法分解素因数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用短除法分解素因数，则，即可作答． （2）先运用短除法分解素因数，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴； （2）解：依题意， ∴． 15．（25-26六年级上·上海·期中）用短除法解决下列各题： (1)把50分解素因数； (2)求144和54的最大公因数和最小公倍数． 【答案】(1) (2)最大公因数为18，最小公倍数为432 【分析】本题考查了分解素因数、最大公因数和最小公倍数，熟练掌握短除法是解题关键． （1）用短除法把50分解素因数即可得； （2）先用短除法把144和54进行分解，再根据最大公因数和最小公倍数的定义求解即可得． 【详解】（1）解：用短除法把50分解素因数如下： 所以． （2）解：用短除法求144和54的最大公因数和最小公倍数如下： 所以144和54的最大公因数为，最小公倍数为． 16．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 【答案】(1)10厘米 (2)60厘米 【分析】本题考查最小公倍数和最大公因数的应用，会正确求最大公因数和最小公倍数． （1）把长方形裁成无剩余的正方形，正方形边长得是长和宽的最大公因数，正确求解即可． （2）要拼成正方形，正方形边长得是长方形长和宽的公倍数，求最短边长就是求最小公倍数，正确求解即可． 【详解】（1）解： 20和30的最大公因数是10， 所以正方形边长至多是10厘米． 答：正方形的边长至多为10厘米． （2）解：20和30的最小公倍数是， 所以这个正方形边长至少是60厘米． 答：正方形的边长至少为60厘米． 17．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． (1)有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 【答案】(1)有3种不同的剪法，正方形的边长分别为2厘米，3厘米，6厘米； (2)15个 【分析】本题主要考查了求两个数的公因数，数的整除： （1）根据题意只需要求出30和18的公因数即可得到答案； （2）根据（1）所求可知正方形的边长为6厘米，用长方形纸片的面积除以边长为6厘米的正方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以30和18的公因数有1，2，3，6， 答：有3种不同的剪法，正方形的边长分别为2厘米，3厘米，6厘米； （2）解：个， 答：按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出15个正方形． 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，均为正整数且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时，．例如：，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)__________；__________． (2)若正整数小于300，且，写出正整数的所有可能值__________． (3)若正整数为小于300的三位数，那么的最大值是__________，的最小值是__________． 【答案】(1)1， (2)30，120，270 (3)1， 【分析】（1）根据“最优分解”的定义找出9和24的“最优分解”，再根据的定义求解； （2）设是a的“最优分解”，根据正整数小于300求出x的可能的值，代入求解即可； （3）根据“最优分解”及的定义，可得的最大值，找出300以内的最大质数，可得的最小值． 【详解】（1）解：由“最优分解”的定义可知，是9的“最优分解”， 是24的“最优分解”， ，， 故答案为：1，； （2）解：， 设是a的“最优分解”， 正整数小于300， ， ， 或2或3， 当时，， 当时，， 当时，， 正整数的可能为30，120，270， 故答案为：30，120，270； （3）解：当m为完全平方数，设 (n为正整数)， ， 是m的“最优分解”， ， （，均为正整数且）， 的最大值为1， 当m为300以内的最大的质数293时，存在最小值，最小值为． 故答案为：1，． 【点睛】本题主要考查了因数与倍数、素数与合数以及新定义，理解“最优分解”和的定义是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $