13.1.1.2 勾股定理的简单应用（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的简单应用，课堂导入通过温故知新回顾定理概念，结合古埃及人结绳造直角的历史情境和“红莲出湖面”古诗问题，搭建从基础公式到实际应用的学习支架。 其亮点是以同步练习题和中考真题为载体，融入梯子滑动、树木折断等生活模型，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。课堂小结提炼四步解题思路，帮助学生突破建模难点，教师可直接用于分层教学提升效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 13.1.1.2 勾股定理的简单应用 第13章 勾股定理 第13章 勾股定理 13.1.1.2 勾股定理的简单应用 同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕13.1.1.2勾股定理的简单应用编写，承接勾股定理基础公式与计算知识点，聚焦初中高频基础应用题型。重点考查构造直角三角形解题、利用勾股定理求边长、周长、面积、斜边上的高，以及梯子滑动、树木折断、距离测量等实际生活模型应用。题型搭配选择、填空、解答证明计算题，难度循序渐进，贴合八年级解题节奏，帮助学生掌握建模思想，突破不会构造直角三角形、边长判断错误、实际场景不会转化图形等高频易错问题。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 利用勾股定理解决实际问题的核心思路是（） A. 直接测量边长 B. 构造直角三角形 C. 构造锐角三角形 D. 构造钝角三角形 2. 已知直角三角形两直角边分别为5和12，则该三角形的斜边长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子长度不变，若梯子底端向外滑动，则梯子顶端（） A. 向上滑动 B. 向下滑动 C. 保持不动 D. 无法确定 4. 直角三角形直角边为6、8，则斜边上的高为（） A. 4.5 B. 4.8 C. 5 D. 5.2 5. 下列场景不适合用勾股定理计算的是（） A. 求梯子靠墙高度 B. 求折断树木原长 C. 求等边三角形边长 D. 求池塘两端直线距离 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 解决不规则图形、实际距离问题时，需要通过作垂线、作高________直角三角形。 2. 直角三角形两直角边为9、12，则斜边为________，周长为________。 3. 树木折断问题中，剩余树干、地面距离、折断部分分别对应直角三角形的________、________、________。 4. 直角三角形面积有两种计算方式：直角边乘积的一半和________乘积的一半。 5. 勾股定理仅适用于________三角形，其他三角形不可直接使用。 三、解答题（共20分） 1. 判断正误（对的打√，错的打×）（8分） （1）非直角三角形可以通过作高构造直角三角形使用勾股定理求解。（） （2）梯子滑动问题中，梯子长度是变化的斜边。（） （3）已知直角三角形两边，一定可以用勾股定理求出第三边。（） （4）勾股定理计算边长结果可以为负数。（） 2. 基础计算题（6分） 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，求直角边b的长度和三角形面积。 3. 实际应用题（6分） 一棵竖直的大树高16m，被大风折断，树顶落在地面距离树底部8m处，求树木折断部分的长度。 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：勾股定理只适用于直角三角形，所有实际应用题型核心都是构造直角三角形求解。 2. A 解析：由勾股定理得$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$。 3. B 解析：梯子长度（斜边）不变，底边变长，直角边变短，顶端向下滑动。 4. B 解析：斜边为10，面积$$S=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$$，斜边上的高$$h=\dfrac{2\times24}{10}=4.8$$。 5. C 解析：等边三角形无直角，无法直接用勾股定理，其余场景均可构造直角三角形求解。 二、填空题 1. 构造 2. 15；36 3. 竖直直角边；水平直角边；斜边 4. 斜边与斜边上的高 5. 直角 三、解答题 1. 解：（1）√ （2）× （3）√ （4）× 2. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， $$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$， 面积$$S=\dfrac{1}{2}\times5\times12=30$$。 答：b的长度为12，三角形面积为30。 3. 解：设折断部分长度为$$x$$ m，则剩余树干高$$(16-x)$$ m。 由题意得直角三角形：$$(16-x)^2+8^2=x^2$$， 展开计算：$$256-32x+x^2+64=x^2$$， 化简得：$$32x=320$$，解得$$x=10$$。 答：树木折断部分长度为10m。 核心易错总结：1. 所有实际应用题必须先建模构造直角三角形，无直角不套用公式；2. 梯子、折断模型中，固定长度为斜边，不可混淆边长关系；3. 边长为实际长度，结果必须为正数，舍去负根；4. 求斜边上的高优先使用面积法，快速简便；5. 普通三角形求边长，必须作高拆分两个直角三角形求解。 了解直角三角形的判定条件； 能够运用勾股数解决简单实际问题； 经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想； 温故知新 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来， 如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 勾股定理的概念 思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处. 复习回顾 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 点击图片播放视频 波平如镜一湖面，三尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处六尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 探究新知 例2 如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一条直角边BC的长为6cm.求AC的长. A B C 解：由已知AB=AC−2，BC=6cm，根据勾股定理，可得 AB2+BC2=(AC−2)2+62=AC2， 解得AC=10cm. 例3 如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160m，BC的长为128m.问从点A穿过湖到点B有多远？ 解：如图所示，在Rt△ABC中， AC=160m，BC=128m， 根据勾股定理，可得 答：从点A穿过湖到点B有96m. 波平如镜一湖面，三尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处六尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 解：设水深为h尺，Rt△ABC中，OB=h，AO=h+3，A′B=6. 由勾股定理得：A′O2=A′B2+BO2，即(h+3)2=h2+62， ∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5. 答：湖水深为4.5尺. 波平如镜一湖面，三尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处六尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 利用勾股定理解决实际问题的一般思路： ①正确理解实际问题的题意； ②建立对应的数学模型； ③解决相应的数学问题； ④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案. 返回 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，以边BC为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为________． 8π 中考考法 13 返回 2. 如图，在由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________． 中考考法 14 返回 3．圆柱形玻璃杯的底面半径为4 cm，高为6 cm，有一根长为13 cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为____________． 3cm 中考考法 15 返回 4．如图，学校有一块直角三角形菜地ABC，∠ABC＝90°，BC＝12 m．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，∠ADE＝∠AED，BD＝EF＝1 m，CF＝8 m，则AE的长为____________． 4m 中考考法 16 返回 5. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为________． 101寸 中考考法 17 6. 如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则阴影部分的面积为________． 36 返回 中考考法 18 中考考法 19 中考考法 20 返回 中考考法 21 课堂小结 利用勾股定理解决实际问题的一般思路： ①正确理解实际问题的题意； ②建立对应的数学模型； ③解决相应的数学问题； ④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案. 【点拨】如图，∵AE⊥BC，∴△ABC的面积为BC×AE＝×4×4＝8.由勾股定理得AC＝＝5，∴×5×BD＝8，解得BD＝. 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△BPC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝BC＝5.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝＝＝12，∴S△ABC＝BC·AD＝×10×12＝60.∵S△BPC＝BP·PC＝×8×6＝24，∴S阴影部分＝S△ABC－S△BPC＝60－24＝36. 10或 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CD＝BC，CE＝AC，P是直线AC上一动点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，若点C落在直线DE上的点H处，则CP的长是__________． 【点拨】当点P在点E左边时，如图①所示， 由折叠的性质得PC＝PH，DC＝DH.∵∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，∴BC＝＝15.∵CD＝BC，CE＝AC，∴DH＝CD＝5，CE＝4.∵DE⊥AC，∴DE＝＝3，∴EH＝ED＋DH＝3＋5＝8.设PC＝x，则PH＝x，PE＝x－4.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，∴x2－(x－4)2＝82，解得x＝10，即CP＝10； 当点P在点E右边时，如图②所示，由折叠的性质得PC＝PH，DH＝CD＝BC＝×15＝5，∴EH＝DH－ED＝5－3＝2.设PC＝a，则PE＝EC－PC＝4－a，PH＝a.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，∴a2－(4－a)2＝22，解得a＝，即CP＝. 综上所述，PC的长是10或. $