福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

**基本信息** 2024-2025厦门同安实验中学高一上期中数学卷，覆盖集合、函数等基础知识点，解答题融合单调性证明与利润应用问题，梯度分明，检测数学抽象与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件、函数定义域|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选|3/18|命题真假判断、函数图像|多选项设计，培养批判性思维| |填空|3/15|函数定点、最值、新定义|含创新情境，发展创新意识| |解答|5/77|单调性证明、利润模型、幂函数综合|分层设问，体现推理与应用意识|

2024-2025厦门市同安实验中学高一上学期 期中考试 2024.11.14 数学 班级________ 姓名_____________________ 号数_________ 一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．∅ B．{0} C．{0，2，4} D．{0，2，4，5} 2．“”是“”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中是偶函数，且在区间(0,)上为增函数是(　　) A．y＝3－x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝－x2＋4 5．下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知f ()是上的偶函数，当∈[0，＋∞)时，f ()是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小 关系是(　　) A．f (π) < f (－3) < f (－2) B．f (π) > f (－2) > f (－3) C．f (π) < f (－2) < f (－3) D．f (π) > f (－3) > f (－2) 7．已知都是上的奇函数，，且当时，，则（  ） A．2 B．4 C． －2 D．－4 8．若两个正实数x，y满足,且对任意的x，y,不等式恒成立， 则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2、 多选题：（本大题3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全选对的给6分，部分选对但不全的部分得分，有选错的得0分．） 9．下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．若,则 10．已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） 11．已知函数,以下结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 对任意的都有 C. 的值域是 D.对任意的都有 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数 (且) 所过定点坐标是____________． 13．函数 的最大值为_____________． 14．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则 （1）___________；（2）___________． 3、 解答题(本题共5小题，共77分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）化简求值： （1）； （2） . 16．（15分） （1）已知集合，求、； （2）已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式. 17．（15分）已知函数f (x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数， (1)用定义证明f (x)在[－1,1]上单调递增； (2)解关于x的不等式f (x－1)＋f (x)<0. 18．(17分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为15 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数：R(x)＝ ，其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量x的函数f (x)； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(利润＝总收入－总成本) 19．(17分)已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)·为偶函数． (1)求f (x)的解析式； (2)若g(x)＝f (x)－ax－3在[1,4]上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若,且，解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025厦门市同安实验中学高一上学期期中考试（数学）2024.11.14 班级________ 姓名_____________________ 号数_________ 一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．∅ B．{0} C．{0，2，4} D．{0，2，4，5} 【答案】D 2．“”是“”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】，， 所以时成立，但时，不一定成立，因此应是充分不必要条件．故选：A． 3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，解不等式得出定义域. 【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为. 故选：C 4．下列函数中是偶函数，且在区间(0,)上为增函数是(　　) A．y＝3－x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝－x2＋4 【答案】B 5.下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知函数的定义域，然后根据判断两函数是同一函数的标准，即定义域相同，对应法则相同，对各个选项逐个化简判断即可求解． 【详解】函数的定义域为， ，所以与已知函数的解析式不同，故A错误， ，且定义域为R，与已知函数是同一函数，故B正确， 定义域为，与已知函数的定义域不同，故C错误， 定义域为，与已知函数的定义域不同，故D错误， 故选：B． 6.已知f ()是上的偶函数，当∈[0，＋∞)时，f ()是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A．f (π) < f (－3) < f (－2) B．f (π) > f (－2) > f (－3) C．f (π) < f (－2) < f (－3) D．f (π) > f (－3) > f (－2) 【答案】D 7.已知函数都是上的奇函数，，且当时，，则（  ） A．2 B．4 C． －2 D．－4 【答案】C 8. 若两个正实数x，y满足,且对任意的x，y,不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 故若对任意这样的x，y使不等式恒成立. 即. 故选：D 2、 多选题：（本大题3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的给6分，部分选对但不全的部分得分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．若,则 答案：BD 10.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） 答案：AC 11. 已知函数,以下结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 对任意的都有 C. 的值域是 D.对任意的都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A,根据奇偶性的定义进行判断即可;对于B,先判断时函数的单调性,再根据奇偶性判断时的单调性即可;对于C,举出反例进行判断即可;对于D,根据单调性即可求出结果. 【详解】对于A,,所以函数为奇函数,故A正确; 对于B,当时,, 函数在上为增函数,且,又为上的奇函数, 函数在上为增函数,在上单调递增,故B正确; 对于C,当时,, 函数在上为增函数,在上的值域为; 当时,, 函数在上为增函数,在上的值域为, 综上所述,的值域是,故C正确. 对于D,令,则,, ,即,故D不正确. 故选:ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.函数 (且) 所过定点坐标是____________． 答案：（1，4） 13．函数 的最大值为_____________． 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 14. 若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则（1）______；（2）______． 【答案】 ①. 5 ②. 8 【解析】 【分析】（1）计算，即可得出结果； （2）计算，进而得出是以3为周期的循环数列，即可得出结果. 详解】（1）由，得，即， 由，得，即； （2）由，得，即， 所以是以3为周期的循环数列， 又，所以. 故答案为：5；8. 3、 解答题(本题共5小题，共77分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分）化简求值： （1）； （2） . 6分+7分 16. （15分） （1）已知集合，求、； （2）已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式. （7+8=15分） 【详解】（1）， （2） 由题意，，所以的对称轴为，可设， 又，所以，解得，所以 17．（15分）已知函数f (x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数， (1)用定义证明f (x)在[－1,1]上单调递增； (2)解关于x的不等式f (x－1)＋f (x)<0. 解析：(1)证明：任取－1≤x1<x2≤1，f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为－1≤x1<x2≤1，则x1－x2<0，－1≤x1x2<1，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[－1,1]上单调递增．（7分） (2)原不等式可化为f(x－1)<－f(x)，即f(x－1)<f(－x)． 由(1)可得，函数f(x)在[－1,1]上单调递增， 所以有解得0≤x<，即原不等式的解集为.（8分） 18.(17分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为15 000元，每生产一台仪器需增加 投入100元，已知总收入满足函数： R(x)＝ 其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量x的函数f (x)； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(利润＝总收入－总成本) 解析：(1)因为月产量为x台，则总成本为15 000＋100x，从而 f(x)＝= （7分） (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋30 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为30 000； 当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，f(x)<60 000－100×400＝20 000<30 000. ∴当x＝300时，f(x)的最大值为30 000， 即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30 000元． （4+4+1+1=10分） 19．(17分)已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)·xm－1为偶函数． (1)求f (x)的解析式； (2)若g(x)＝f (x)－ax－3在[1,4]上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若F(x) =,且，解不等式. 解析：(1)由题意得m2－5m＋7＝1， 即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3. 又f(x)为偶函数，所以m＝3，此时f(x)＝x2. （5分） （2）由(1)知，g(x)＝x2－ax－3，因为g(x)＝x2－ax－3在[1,4]上不是单调函数，所以1<<4，解得2<a<8，即a的取值范围为(2,8)．（5分） （3）由(1)知，F(x) =，因为在R上是增函数，所以F(x) 是R上的减函数 且F(1)=， ， ，， 当时，， 当时， ，或 综上：当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 （7分） 学科网（北京）股份有限公司 $