第06讲 函数的图象（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖定义、作图、变换及应用，按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构，通过考点梳理、方法归纳、分层训练环节，帮助学生构建系统思维，突破图象识别与变换难点。 资料以思维建模和题型突破为特色，如用定义域优先、奇偶性分析等方法培养数学思维，结合真题与课本典例强化直观想象，设置基础与创新分层练习，助力学生高效提升数形结合能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第06讲 函数的图象 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数图象的定义及描点法作图 知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） 知识点3 图象变换 题型破译 (含超链接） 题型1 由函数解析式判断函数图象【含方法技巧】 题型2 由函数图象判断函数解析式【含方法技巧】 题型3 函数图象的变换【含方法技巧】 题型4 图象的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 图象变换（平移、伸缩、对称） T8（4分） T4（4分） — 图象的识别与判断 T5（4分） — T9（4分） 函数图象的应用（交点、零点） T15（5分） — — 考情分析 函数的图象是高考的重要内容，北京卷近年考查频率较高，题型覆盖选择、填空，分值约8分，难度中等。图象变换（平移、伸缩、对称）是基础考查方向，多与三角函数结合；图象应用（交点个数、零点问题）常出现在填空压轴位置，考查数形结合能力。近三年考情显示，函数图象常与基本初等函数性质、三角函数、分段函数等板块融合，体现"以图助数"的解题思想，是解决函数综合问题的重要工具。复习时需注重图象的直观理解与多角度应用。 复习目标 1.掌握基本初等函数（一次、二次、幂、指、对、三角）的图象特征，能根据解析式快速判断图象形状。 2.理解函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换规律，能根据变换前后关系求解析式或参数。 3.能利用函数图象判断函数性质（奇偶性、单调性、对称性）。 4.能利用函数图象解决方程解的个数、不等式解集、函数零点等综合问题，提升数形结合能力。 5.能将图象分析方法迁移到含参问题与多函数综合问题中，增强直观想象素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数图象的定义及描点法作图 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 自主检测1函数的图象与的图象交点的个数为________. 自主检测2函数的严格减区间是________. 知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 自主检测1函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 自主检测2函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 知识点3 图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 自主检测1为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 自主检测2为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 自主检测3已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像关于y轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 由函数解析式判断函数图象 例1-1已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例1-2函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.定义域优先：先根据解析式求出函数的定义域，排除图象中不在定义域范围内的部分，可快速缩小选项范围。 2.奇偶性（对称性）：判断函数的奇偶性： 若为奇函数，图象关于原点对称，只需观察 轴右侧图象，左侧对称即可； 若为偶函数，图象关于 轴对称，只需观察 轴右侧图象，左侧对称即可。 3.特殊点代入：选取 、、 或使解析式简单的特殊值，计算对应的 值，排除不符合的选项。 49.单调性判断：利用导数或单调性定义判断函数在关键区间上的增减趋势，与图象走势对比。 5.渐近线：观察是否存在垂直渐近线（分母为零处）或水平渐近线（ 时 的趋向），与选项中的图象特征比对。 6.极限思想：分析 、、、 时 的变化趋势，排除不符合的选项。 【变式训练1-1】函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 题型2 由函数图象判断函数解析式 例1-1（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 例1-2已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 1.观察定义域与值域：根据图象左右范围确定定义域，上下范围确定值域，排除不符合的解析式。 2.观察对称性： 图象关于原点对称 函数为奇函数，解析式中应只含奇次项或满足 ； 图象关于 轴对称 函数为偶函数，解析式中应只含偶次项或满足 。 3.观察特殊点：从图象上读取过哪些特殊点（如与坐标轴的交点、顶点等），代入各选项验证。 4.观察单调性与变化趋势：根据图象的升降趋势、增长速度（如指数增长、对数增长、幂增长）判断函数类型。 5.观察渐近线：若图象有垂直渐近线 ，则解析式分母中应含有因子 ；若有水平渐近线 ，则 时函数值趋近于 。 【变式训练1-1】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型3 函数图象的变换 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 例1-2（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.平移变换： 左右平移：（），左加右减（即 加向左移， 减向右移）； 上下平移：（），上加下减（即整体加向上移，整体减向下移）。 2.对称变换： 关于 轴对称：； 关于 轴对称：； 关于原点对称：； 关于直线 对称：（反函数）。 3.翻折变换： 保留 轴上方图象，将 轴下方图象翻折到上方：； 保留 轴右侧图象，去掉左侧图象，将右侧图象翻折到左侧：。 4.伸缩变换： 横坐标伸缩为原来的 倍：（），图象横向压缩（）或拉伸（）； 纵坐标伸缩为原来的 倍：（），图象纵向拉伸（）或压缩（）。 5.多个变换叠加：遵循“先平移后伸缩”或“先对称后平移”的顺序，注意变换顺序不同可能导致结果不同，操作时需谨慎。 【变式训练1-1】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【变式训练1-4】（25-26高三上·北京·开学考试）为得到函数的图象，只需（    ） A．把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 题型4 图象的综合应用 例1-1函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   例1-22002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.判断方程根的个数：将方程 转化为两个函数图象的交点问题，图象交点个数即为方程根的个数。 2.解不等式：不等式 的解集即为 图象在 图象上方部分对应的 取值范围； 同理。 3.求参数范围：将含参方程或不等式转化为函数图象的交点或高低关系问题，通过移动或变换图象，由交点个数或相对位置确定参数的取值范围。 4.函数零点的存在性问题：结合零点存在定理，利用图象判断零点个数及所在区间，特别注意端点函数值的符号和函数的单调性。 5.多函数图象对比：在同一坐标系中画出多个函数图象，可通过高低位置快速比较函数值的大小，或确定不同区间内的领先函数。 6.动态图象问题：对于含参数 的函数 ，可将其视为一族曲线，通过分析不同 值下图象的变化规律（平移、伸缩、翻折），确定满足条件的临界状态。 【变式训练1-1】若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（    ） A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线 C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线 【变式训练1-3】在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 2．函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．将的图象_________，再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象（    ） A．先向上平移一个单位长度 B．先向右平移一个单位长度 C．先向左平移一个单位长度 D．先向下平移一个单位长度 4．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 5．研究函数的图象和性质，其中，，，都是实常数． 6．在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：，，，．并说明后三个函数图象可由的图象经过怎样的变换而得到． 7．讨论下列函数的单调性，并画出大致图象． (1)； (2)． 8．判断下列函数的奇偶性： （1） （2）； （3）； （4）． 这几个函数的图象如图所示，你能在图中分别标出对应的函数吗？    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则以下最不可能是其图像的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   9．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 10．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 重难·创新演练 11．已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（    ） ①  ②  ③  ④ A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③① 13．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   14．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 15．在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的图象 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数图象的定义及描点法作图 知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） 知识点3 图象变换 题型破译 (含超链接） 题型1 由函数解析式判断函数图象【含方法技巧】 题型2 由函数图象判断函数解析式【含方法技巧】 题型3 函数图象的变换【含方法技巧】 题型4 图象的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 图象变换（平移、伸缩、对称） T8（4分） T4（4分） — 图象的识别与判断 T5（4分） — T9（4分） 函数图象的应用（交点、零点） T15（5分） — — 考情分析 函数的图象是高考的重要内容，北京卷近年考查频率较高，题型覆盖选择、填空，分值约8分，难度中等。图象变换（平移、伸缩、对称）是基础考查方向，多与三角函数结合；图象应用（交点个数、零点问题）常出现在填空压轴位置，考查数形结合能力。近三年考情显示，函数图象常与基本初等函数性质、三角函数、分段函数等板块融合，体现"以图助数"的解题思想，是解决函数综合问题的重要工具。复习时需注重图象的直观理解与多角度应用。 复习目标 1.掌握基本初等函数（一次、二次、幂、指、对、三角）的图象特征，能根据解析式快速判断图象形状。 2.理解函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换规律，能根据变换前后关系求解析式或参数。 3.能利用函数图象判断函数性质（奇偶性、单调性、对称性）。 4.能利用函数图象解决方程解的个数、不等式解集、函数零点等综合问题，提升数形结合能力。 5.能将图象分析方法迁移到含参问题与多函数综合问题中，增强直观想象素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数图象的定义及描点法作图 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 自主检测1函数的图象与的图象交点的个数为________. 【答案】2 【分析】根据指数函数和对数函数的图象判断即可. 【详解】. 当时，单调递减，值域为，单调递减，值域为， 此时有1个交点； 当时，单调递减，值域为，单调递增，值域为， 此时有1个交点； 综上，函数的图象与的图象有2个交点. 故答案为：2. 自主检测2函数的严格减区间是________. 【答案】和 【分析】画出函数图象，数形结合得到严格减区间. 【详解】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 自主检测1函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 自主检测2函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 由知是偶函数，图象关于轴对称，排除B、D； 当时，恒成立，A项不合题意,而C项均符合. 知识点3 图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 自主检测1为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 自主检测2为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 【答案】C 【分析】变形函数解析式，结合函数图象平移规则即可求解. 【详解】由， 可知：只需把函数的图象上所有的点向下平移1个单位长度， 故选：C 自主检测3已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像关于y轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移、伸缩与对称变换求解即可. 【详解】由函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象， 再将所得的函数图象关于y轴对称，得到函数的图象， 然后将函数图象上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变， 得到函数的图象. 故选：C 题●型●破●译 题型1 由函数解析式判断函数图象 例1-1已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 例1-2函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 方法技巧 1.定义域优先：先根据解析式求出函数的定义域，排除图象中不在定义域范围内的部分，可快速缩小选项范围。 2.奇偶性（对称性）：判断函数的奇偶性： 若为奇函数，图象关于原点对称，只需观察 轴右侧图象，左侧对称即可； 若为偶函数，图象关于 轴对称，只需观察 轴右侧图象，左侧对称即可。 3.特殊点代入：选取 、、 或使解析式简单的特殊值，计算对应的 值，排除不符合的选项。 49.单调性判断：利用导数或单调性定义判断函数在关键区间上的增减趋势，与图象走势对比。 5.渐近线：观察是否存在垂直渐近线（分母为零处）或水平渐近线（ 时 的趋向），与选项中的图象特征比对。 6.极限思想：分析 、、、 时 的变化趋势，排除不符合的选项。 【变式训练1-1】函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性判断AB，再由函数在时的符号判断CD. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以函数是奇函数，故AB错误； 当时，，又因为，所以，则， 所以当 时，，即 轴右侧附近的图象应在 轴下方， 排除选项D，选项C符合. 【变式训练1-2】函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与代入求解即可. 【详解】当时，，，故选A. 【变式训练1-3】函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性和排除错误选项即可. 【详解】由得，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，所以，排除C. 题型2 由函数图象判断函数解析式 例1-1（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 例1-2已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解. 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 方法技巧 1.观察定义域与值域：根据图象左右范围确定定义域，上下范围确定值域，排除不符合的解析式。 2.观察对称性： 图象关于原点对称 函数为奇函数，解析式中应只含奇次项或满足 ； 图象关于 轴对称 函数为偶函数，解析式中应只含偶次项或满足 。 3.观察特殊点：从图象上读取过哪些特殊点（如与坐标轴的交点、顶点等），代入各选项验证。 4.观察单调性与变化趋势：根据图象的升降趋势、增长速度（如指数增长、对数增长、幂增长）判断函数类型。 5.观察渐近线：若图象有垂直渐近线 ，则解析式分母中应含有因子 ；若有水平渐近线 ，则 时函数值趋近于 。 【变式训练1-1】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 【变式训练1-2】已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 【变式训练1-3】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 题型3 函数图象的变换 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 例1-2（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 方法技巧 1.平移变换： 左右平移：（），左加右减（即 加向左移， 减向右移）； 上下平移：（），上加下减（即整体加向上移，整体减向下移）。 2.对称变换： 关于 轴对称：； 关于 轴对称：； 关于原点对称：； 关于直线 对称：（反函数）。 3.翻折变换： 保留 轴上方图象，将 轴下方图象翻折到上方：； 保留 轴右侧图象，去掉左侧图象，将右侧图象翻折到左侧：。 4.伸缩变换： 横坐标伸缩为原来的 倍：（），图象横向压缩（）或拉伸（）； 纵坐标伸缩为原来的 倍：（），图象纵向拉伸（）或压缩（）。 5.多个变换叠加：遵循“先平移后伸缩”或“先对称后平移”的顺序，注意变换顺序不同可能导致结果不同，操作时需谨慎。 【变式训练1-1】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 【变式训练1-2】（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 【变式训练1-3】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 【变式训练1-4】（25-26高三上·北京·开学考试）为得到函数的图象，只需（    ） A．把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数图象的平移变换和伸缩变换的变换规则，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，把函数的图象上的所有点向左平移10个单位， 可得，所以A不正确； 对于B中，函数的图象上的所有点向左平移1个单位， 可得，所以B正确； 对于C中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变， 可得，所以C不正确； 对于D中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变， 可得，所以D不正确. 故选：B. 题型4 图象的综合应用 例1-1函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ， ， ，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数； 则选项A符合. 故选：A. 例1-22002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆台、圆锥的结构特征，结合单位时间内漏出相同体积的沙子，分析高度下降速度随时间变化的快慢即可判断得解. 【详解】依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积恒定， 随时间的增大，高度逐渐减小，沙面面积逐渐减小， 由圆台上部大下部小，得漏出的沙子，随时间的增大，高度的变化量逐渐增大， 因此的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC； 又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积随的变化规律不同， 圆锥部分比圆台部分沙面面积更小，减小更快，因此的下降速度更快，图象更陡， 且下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A，选项D符合题意. 方法技巧 1.判断方程根的个数：将方程 转化为两个函数图象的交点问题，图象交点个数即为方程根的个数。 2.解不等式：不等式 的解集即为 图象在 图象上方部分对应的 取值范围； 同理。 3.求参数范围：将含参方程或不等式转化为函数图象的交点或高低关系问题，通过移动或变换图象，由交点个数或相对位置确定参数的取值范围。 4.函数零点的存在性问题：结合零点存在定理，利用图象判断零点个数及所在区间，特别注意端点函数值的符号和函数的单调性。 5.多函数图象对比：在同一坐标系中画出多个函数图象，可通过高低位置快速比较函数值的大小，或确定不同区间内的领先函数。 6.动态图象问题：对于含参数 的函数 ，可将其视为一族曲线，通过分析不同 值下图象的变化规律（平移、伸缩、翻折），确定满足条件的临界状态。 【变式训练1-1】若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算及排除法即可求解. 【详解】由得， 显然，所以， 由，得， 所以，排除AB， 由，当且仅当时取等号，可排除D． 故选：C． 【变式训练1-2】四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（    ） A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线 C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线 【答案】A 【分析】依题意可得，，整理得，，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为，， 即，， 由向左平移个单位，再向上平移个单位得到，， 因为在上单调递增， 所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A 【变式训练1-3】在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】取线段的中点，连接、， 因为、为等边三角形，为的中点，则，， ，、平面，平面， 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， 且， 取的中点，连接，则， 且，故. ①当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则； ②当时，； ③当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则. 综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】由，根据平移法则即可解出． 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断各选项中函数的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 2．函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】即为函数的图像在函数的图像的上方的部分对应自变量的范围，结合图像即可得出答案. 【详解】解：即为函数的图像在函数的图像的上方的部分对应自变量的范围， 由图可知，当时，或， 即不等式的解集是. 故选：A. 3．将的图象_________，再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象（    ） A．先向上平移一个单位长度 B．先向右平移一个单位长度 C．先向左平移一个单位长度 D．先向下平移一个单位长度 【答案】D 【分析】先求出函数的反函数的解析式，再根据平移规律可得出正确选项. 【详解】由，得，所以，函数的反函数为. 因此，只需将函数的图象向下平移个单位长度. 故选D. 【点睛】本题考查反函数解析式的求解，同时也考查了函数图象的平移变换，考查推理能力，属于基础题. 4．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 【答案】答案见解析 【分析】主要从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、极值、函数图象研究. 【详解】函数（，都是非零正实数）的定义域为， ，所以为奇函数， 又， 令，解得或， 令，解得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，， 当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以， 函数图象如下所示：    5．研究函数的图象和性质，其中，，，都是实常数． 【答案】答案见解析 【分析】将函数解析式变形为，当时由反比例函数经过平移而得到，结合反比例函数的性质与图形，即可得解，当时将函数变形为，即可得到函数的性质. 【详解】因为， 若，所以可以由反比例函数经过平移而得到， 所以函数的定义域为，值域为，对称中心为， 当，函数在上单调递减，在上单调递减； ①当且时函数图象如下所示：    ②当且时函数图象如下所示：    ③当且时函数图象如下所示：    ④当且时函数图象如下所示：    当，函数在上单调递增，在上单调递增； ①当且时函数图象如下所示：    ②当且时函数图象如下所示：    ③当且时函数图象如下所示：    ④当且时函数图象如下所示：    若，则，函数的定义域为，值域为，图象为一条平行于轴的直线（去掉点）. 6．在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：，，，．并说明后三个函数图象可由的图象经过怎样的变换而得到． 【答案】答案见解析. 【分析】由指数函数的图像性质可作图，然后根据对称变换和平移变换可得答案. 【详解】由指数函数的图像性质分别作出，，，的图像，如下. 函数的图像由的图像关于轴对称变换可得到. 函数的图像由的图像向左平移一个单位得到. 函数的图像由的图像向右平移一个单位得到.      7．讨论下列函数的单调性，并画出大致图象． (1)； (2)． 【答案】(1)在区间上函数单调递减，在区间上函数单调递增，图象见解析 (2)在区间上函数单调递增，图象见解析 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，结合函数的性质画出大致图象. 【详解】（1），，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 在区间上函数单调递减，在区间上函数单调递增， 当时，函数取极小值， 当时，；当时，， 函数的大致图象如图， （2），，则， 当时，，函数单调递增，即在区间上函数单调递增， 当时，函数取最小值， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 函数的大致图象如图， 8．判断下列函数的奇偶性： （1） （2）； （3）； （4）． 这几个函数的图象如图所示，你能在图中分别标出对应的函数吗？    【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数；图像标示见解析 【分析】根据函数奇偶性的定义一一判断各函数，即可得各函数的奇偶性，根据奇偶函数的性质即可标示出它们的图象. 【详解】（1），定义域为R，且， 故为奇函数； （2），定义域为R，且， 故为偶函数； （3），定义域为R，且， 故为偶函数； （4），定义域为R，由于， 即， 故为非奇非偶函数； 各函数对应图像标示如图：    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【详解】解：因为y=lgx的图象只要向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可以得到y=lg(x+3)-1=lg,选择C 2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为， 则函数的图象再关于轴对称得函数. 故选：D. 3．已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数 的图象与直线 的图象即可求解. 【详解】作出函数 的图象，如图所示， 若关于 的方程 有两个不等实根， 则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，． 故选：D. 4．已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 5．已知函数，则以下最不可能是其图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A. 【详解】已知函数， 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 且则选项B是函数的部分图像； 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且则选项C是函数的部分图像； 当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像， 对于A选项，显然， ，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合. 故选：A. 6．函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 7．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得所以为奇函数，且，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 当时，，且，所以， 故选：B. 8．函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以，排除A． 当时，，排除B. 故选：C 9．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 10．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【详解】当时，，所以，由图可知A错误； 由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误； 当时，，由图可知D错误； 由奇函数定义可知函数为奇函数，当时， 当时，，选项C均符合图像特征，故C正确； 故选：C. 重难·创新演练 11．已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可 【详解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象， 所以，即， 将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式， 因为所得图象恰好与函数的图象重合， 所以， 所以，又且， 解得， 故选：D 12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（    ） ①  ②  ③  ④ A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③① 【答案】A 【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在上的最大值． 【详解】，的定义域为，，的定义域为 在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④② 当时，则 ，令，则 在上单调递增，在上单调递减，则 ①对应的为第三个函数 故选：A． 13．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 14．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件，变形化简得到，再逐一对各个选项图形分析判断即可得出结果. 【详解】因为，所以， 选项A，因为，又，所以，故，根据图形知，选项A错误； 选项B，因为，所以，即不是偶函数，选项B错误； 选项C，因为，又，所以，故，根据图形知，选项C错误；综上可知选项D符合题意. 故选：D. 15．在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】取线段的中点，连接、， 因为、为等边三角形，为的中点，则，， ，、平面，平面， 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， 且， 取的中点，连接，则， 且，故. ①当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则； ②当时，； ③当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则. 综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $