第8章 微突破 与圆有关的最值问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理与圆有关的最值问题核心考点，按几何意义转化、对称性应用、函数关系建立三大类型构建“问题特征-转化策略-解题步骤”知识网络，通过例题探究和方法总结表引导学生自主梳理，形成层次分明的认知框架。 亮点在于“诊断-梳理-应用”三阶自主学习设计，开篇例题引导学生自我诊断，听课记录表格助力归纳转化方法培养数学思维，强化训练题分层设置提升几何直观与模型观念。教师可通过学生答题反馈精准指导，有效支持因材施教与自主复习能力培养。

微突破　与圆有关的最值问题 　　与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形中某边的长度、某图形的面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化. 利用几何意义求最值 已知实数x，y满足（x－2）2＋y2＝4，下列说法正确的是（　　） A.的最小值为－ B.x＋y的最小值为－2 C.（x＋2）2＋（y＋3）2的最小值为5 D.点（x，y）到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2 听课记录 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 （1）形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； （3）形如m＝（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 利用对称性求最值 （2026·云南玉溪模拟）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　　　　. 听课记录 　　求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路： （1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； （2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 建立函数关系求最值 〔一题多解〕设点P（x，y）是圆x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　　　　. 听课记录 建立函数关系式求最值 　　根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. 1.（2026·山西大同模拟）设P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上的任意点，则（x－5）2＋（y＋4）2的最大值是（　　） A.6 B.25 C.26 D.36 2.已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－2）2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值是（　　） A. B.2 C.3＋ D.3－ 3.若P（x，y）在圆（x－4）2＋（y－2）2＝9上运动，则的最大值为　　　　. 4.已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为　　　　. 5.设点P（x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的动点，定点A（0，2），B（0，－2），则｜＋｜的最大值为　　　　. 答案 微突破　与圆有关的最值问题 【例1】　D　如图，方程（x－2）2＋y2＝4表示以C（2，0）为圆心，半径r＝2的圆.对于A，表示点（－1，0）与圆上的点（x，y）的连线的斜率，设过点（－1，0）的直线的斜率为k，则y＝k（x＋1），即kx－y＋k＝0，所以圆心C到该直线的距离d1＝≤2，解得－≤k≤，故A错误；对于B，令x＋y＝z，即x＋y－z＝0，直线x＋y－z＝0与圆必有交点，则圆心C到该直线的距离d2＝≤2，解得2－2≤z≤2＋2，即2－2≤x＋y≤2＋2，故x＋y的最小值为2－2，故B错误；对于C，（x＋2）2＋（y＋3）2表示圆上的点（x，y）到A（－2，－3）的距离的平方，令圆上的点（x，y）到A（－2，－3）的距离为d3，因为｜AC｜＝＝5，所以｜AC｜－r≤d3≤｜AC｜＋r，即3≤d3≤7，所以9≤（x＋2）2＋（y＋3）2≤49，故C错误；对于D，因为直线y＝kx＋2恒过点D（0，2），又｜CD｜＝＝2，所以点（x，y）到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2，故D正确. 【例2】　2　解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0可转化为：（x－2）2＋（y－1）2＝5，则圆心为C（2，1），半径r＝.设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B的坐标为（a，b），则∴a＝－4，b＝－2，∴B（－4，－2），∴｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是｜BC｜－r＝－＝2. 【例3】　12　解析：法一　∵P（x，y）是圆x2＋（y－3）2＝1上的动点，且A（2，0），B（－2，0），∴·＝（2－x，0－y）·（－2－x，0－y）＝（2－x）·（－2－x）＋（－y）2＝x2＋y2－4，由x2＋（y－3）2＝1，得x2＋y2＝6y－8，且2≤y≤4，∴x2＋y2－4＝6y－12≤24－12＝12，∴·的最大值为12. 法二　·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝－＝－4.由于点P在圆x2＋（y－3）2＝1上，则当点P坐标为（0，4）时，取得最大值16，∴·的最大值为16－4＝12. 强化训练 1.D　（x－5）2＋（y＋4）2表示点P（x，y）到（5，－4）的距离的平方，∵P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上一点，∴（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为圆心（2，0）到（5，－4）的距离与半径1之和的平方，即[（x－5）2＋（y＋4）2]max＝＝36.故选D. 2.D　两点A（－1，0），B（0，2），则｜AB｜＝＝，直线AB方程为y＝2x＋2，圆（x－2）2＋y2＝1的圆心C（2，0），半径r＝1，点C到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝＝，因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，所以△PAB面积的最小值是××（－1）＝3－.故选D. 3.　解析：设＝k，可得kx－y－1＝0，又因为点P（x，y）在圆（x－4）2＋（y－2）2＝9上运动，则直线kx－y－1＝0与圆（x－4）2＋（y－2）2＝9有公共点，且圆心坐标为（4，2），半径为r＝3，由点到直线的距离公式可得≤3，整理可得7k2－24k≤0，解得0≤k≤.因此，的最大值为. 4.5－4　解析：P是x轴上任意一点，则｜PM｜的最小值为｜PC1｜－1，同理｜PN｜的最小值为｜PC2｜－3，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为｜PC1｜＋｜PC2｜－4.作C1关于x轴的对称点C1'（2，－3），所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC1'｜＋｜PC2｜≥｜C1'C2｜＝5，即｜PM｜＋｜PN｜＝｜PC1｜＋｜PC2｜－4≥5－4. 5.10　解析：由题意，知＝（－x，2－y），＝（－x，－2－y），所以＋＝（－2x，－2y），所以｜＋｜＝2.因为点P（x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标（x，y）满足方程（x－3）2＋y2＝4，1≤x≤5，所以y2＝－（x－3）2＋4，所以｜＋｜＝2＝2.因为1≤x≤5，所以当x＝5时，｜＋｜的值最大，且最大值为2＝10. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $