学案54 正弦函数，余弦函数的图象--【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 学案54正弦函数、余弦函数的图象 笔 昆学习任务 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的 图象.（直观想象） 2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.（直观 想象) 4课堂活动 问题3在确定正弦函数的图象形状时，应抓住 哪些关键点？ 活动一。初步认识正弦函数、余弦函数的图象 阄新知导学 阅读教材第196一198页，完成下列问题. 问题1在[0,2π]上任取一个值xo,如何利用正 弦函数的定义，确定正弦函数值sin xo,并画出 点T(xo,sin xo)? 问题4你认为应该利用正弦函数和余弦函数的 哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函 数的图象变换为余弦函数的图象？ 问题2如何绘制函数y=sinx,x∈R的图象？ 厅新知生成 如图所示是余弦函数y=cOsx,x∈R的图象 后新知生成 y=cos xxER y=8inxx∈R 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起 文、 伏”的连续光滑曲线. 茶合茶不 y=sin xER 余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做余弦曲 线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起 伏”的连续光滑曲线。 11166 正弦函数、余弦函数的图象学案54 问题5类似于用“五点法”画正弦函数图象，余 「方法总结」作形如y=asin x十b(或y=acos x 听 弦函数在区间[一元，π]上相应的五个关键点是 +b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤 哪几个点？ 列表 在[0,2π]内先确定所求函数图象的五个 记 关键点，在表中列出相应的五点的坐标 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标 描点 系中描出相应的点 连线 用光滑的曲线将所描出的五个关键点连 个新知应用 接起来，便得到所求函数的图象 1.画出下列函数的简图： 活动二 用图象变换法作函数图象 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π]； (2)y=-cosx,x∈[0,2π]. 今新知应用 利用图象变换法作出y=sinx|,x∈[0,4π] 的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关 部分通过图象变换得到. 活动三正弦（余弦）函数图象的应用 2.用“五点法”作下列函数的图象： (1)y=1-2sinx,x∈[0,2π]； 今新知应用 1 1 (2)y=cosx+2x∈[-，元]， 1,利用正弦函数的图象，求满足sinx≥2，x∈ [0,2π]的x的集合. 16710 人教A版数学必修第一册 听 2.已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π] 课堂达标 课 的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交 点，求实数的取值范围. 1.(多选)对于余弦函数y=cosx,x∈R的图象 记 有以下描述，其中正确的有 () A.将[0,2π]内的图象向左、向右不断平移2π 个单位长度得到y=cosx,x∈R的图象 B.与y=sinx,x∈R图象形状完全一样，只是 位置不同 C.与y轴只有一个交点 D.关于x轴对称 2.函数y=cosx-2在x∈[-π，π]上的图象是 y 0 -2 B C D 3.(多选)函数y=1十c0sx,x∈（写，2x的图象 「方法总结」利用三角函数图象解sinx>a(或 cosx>a)的3个步骤 与直线y=t(t为常数)的交点可能有() (I)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 图象 4.函数y=sinx与y=cosx,x∈[一2π，2π]的图 (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. 象在[一2π，2π]上的交点个数为 () (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集. A.1 B.2 C.3 D.4 课堂小结 5函数y=snx的图象与直线x径的交点坐 正弦线作函数图象 正弦函数、 标为 余弦函数 正弦曲线、余弦曲线的关系 的图象 6.满足cosx>0,x∈[0,2π]的x的取值范围是 五点法作函数图象 课后反思 11168又α是第三象限角， 所以cosa=-V1-ima=-26 2√6 因此f(a)=-cosa=5 (2)f(-1920)=-cos(-1920) =-c0s(-5X360°-120°) =-c0s(-120) =-cos120° =60s60r-号 2.解：1月=受+a ∴sin月=sin(2+a）=cosa, cos8-cos(2+a)--sina, sin(+a)cos(+) sin asin B sin acos a-1. cos-in(竖+a】 cos Bcos a sin acos a 3 (2)”点A的横坐标为号，角。为锐角， 3 4 cos a=5,sin a=5, 4 cos B=-sin a=-5 2 2in=2X号×（←）=器 角度2 3.AC[cos(-180°+a)=cos(180°-a)=-cosa,所以A 正确； sin(2π-a)=sin(-a)=一sina,所以B错误； sin(竖+a)=sin(a+吾+a）=sin(径+a）=ose, 所以C正确： cos(一π一a)=cos(π十a)=一cosa,所以D错误， 故选AC.] 4.解：(1)不成立，，cos(A十B)=cos(π一C)=一cosC,.不 成立. (2)成立，sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,.成立 8)不或主，如生-n(受-号)=m号不或立 2 《④不成主，om4生界-m(货-号）=号不成主 课堂达标 1.A[cos64.7°=cos(90°-25.3)=sin25.3°=a.] 2.ABC[对于A,B,cos(a-2）=co(5-a）=sina,A,B 正确：对于C,一cos(e+)=-(一sina）=sina,C正确；对 于D,cos(a+2）=-sima,D错误.故选ABC.] 3.c[os(经-a）=o[登-(e+] =sim(e+)=3] 1 4.AC[依题意，sin(元十a)=-sina=-2,sina=2, 所以osa=土V-sma- 2 所以sin(5r-a)=sina=2,A选项正确； m(分+c）-casg=土复B送项袋保 cos(。-经）=-na=方C选项正角： an(-a）= m(分-a】 (- =cosa=士√3，D选项错误. sin a 故选AC.] 5.5 [因为角a十受的终边经过点(-3,4)， 所以im(e+受）-)+ 4 4 所以cosa=子] 6.号[cos(e-)=cos(5-a】 =eos[受-(g+aj】=sim(后+a)=号J 7.-9[f(sin15）=f(cos75)=60s150=-cos302- 2 os(-） sm(经- 8.解：原式= ·(-sina)· sin(2x+a) os(a) sin a sn(受+a) ·(-sina).-cosa -sin a =sin a.(-sin a).cos a-sin a. cos a sin a 9.证明：左边= tan(-a)sin(-a)cos(-a) sim[2x-(受-a)]o[2x-(分-] (-tan a)(-sin a)cos a sm[-(g-][-(经-] sin'a sin'a =sin a -sn(-)os(受-a） -cos asin a cos a =一tana=右边，所以原等式成立. 学案54正弦函数、余弦函数的图象 课堂活动 活动一初步认识正弦函数、余弦函数的图象 新知导学 问题1提示：如图，在[0,2π]上任取一个值x0,根据正弦函数 的定义可知yo=sin o,此时孤AB的长度为xo,结合每一个 角的孤度数与实数的一一对应关系，可得点T(xo,sin o）. 671 如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O 与x轴正半轴的交，点为A(1,0).在单位圆上，将点A绕着点 O旋转x。孤度至，点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标 yo=sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到 函数图象上的，点T(xo,sin zo). T(xosinx 。 2行产 若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x。的值分别 为0，言，营受…，2，它们所对应的角的终边与单位国的 交，点将圆周l2等分，再按上述画，点T(x。,sixo)的方法，就 可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点 问题2提示：事实上，利用信息技术，可使x0在区间[0,2π]上 取到足够多的值而画出足够多的，点T(xo,sin zo),将这些点 用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象 根据诱导公式一sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z,故只需把x∈ [0,2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长 度)，就可得到y=sinx,x∈R的图象 问题3提示：观察问题2图象，在函数y=sinx,x∈[0,2x]的 图象上，以下五个点： 0,0.(受1(x,0.(受-1(20)是关接点。 问题4提示：对于函数y=cosx,由诱导公式cosx sin(e+受)得y=eosx=sim(c+受)x∈R.而函数y sin(x十2)，z∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈ R的图象向左平移受个单位长度而得到，所以，将正孩画数 的图象向左平移2个单位长度，就能得到余弦函数的图象。 问题5提示：(-，-1，(-乏，0），(0,1（受0(，-1）. 68 新知应用 1.解：(1)按五个关键点列表： 0 3π 2 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+sin x 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来： Y 2 y=1+sinx,x∈[0,2π] 0 罗 3T 2 2 -1 y=sinx,xe[0,2π] (2)按五个关键点列表： 0 3π 2 cos x 1 0 -1 0 1 -cos x -1 0 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来： y=-c0sx,x∈[0,2T] T 2T 0 3T 2 2 y=cosx,x∈[0,2π] 2.解：(1)列表： 0 π 3π 2π 2 sin x 0 1 0 一1 0 1-2sin x 描点连线，画图如下： y=1-2sin 32 T 二2 (2)列表： —元 2 0 2 个 cos x 0 1 0 cos x+2 1 2 2 2 2 2 描点连线，画图如下： y 3- 3▣2红π 1-2- -- -2 活动二用图象变换法作函数图象 新知应用 解：作y=sinx,x∈[0,4π]的图象，并将x轴下方的部分翻 转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得y=|sinx,x∈[0,4π]的图象，如图所示： 0 3 43 -1 活动三正弦（余弦）函数图象的应用 新知应用 1.解：在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sinx,x∈[0， 2]以及直线y=子的因象，和周。 y 11 27 2π 2 y=sin x 由函数的图象知，sin 6=sin 5π1 6=2 根搭图象可知，如x≥2的解集为[否] 1 2.解：f(x)=sinx+2sinx|= 3 sin∈[0，)，画出函数的图象，如图. l-sinx,x∈[π，2π]， y=k 2T 由图象可知，当1<k<3时，函数f(x)的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，故实数k的取值范围为(1,3) 课堂达标 1.ABC 2.A[y=cosx一2的图象为y=cosx的图象向下平移2个 单位长度所得.故选A.] 3.ABC[画数y=1十cosx,x∈（行，2x)的图象知图所示，当 t<0或t≥2时，无交点；当t=0或 <<2时，只有1个交 点；当0<1<号时，有2个交点，故选ABC y 3 21 0 T 3π2π 32 4.D[作出函数y=sinx与y=cosx,x∈[-2π，2π]的图象 (图略)，观察困象可知共有4个交点，交点横坐标分别为不， 5_3x,-7.] 4’-4’-4 5.(传罗》）[令-管释y=经-(-）-咖专 N 2 所以画数y一s血工的园象与直线工-行的交点坐标 为》门 6.o,)u(竖2m] [画出函数y=cosx,x∈[0,2x]的图 象如图所示： 3π2T 由图象可知在[0,2π]上，满足cosx>0的x的取值范围为 [0,)u(,2]J 学案55正弦函数、余弦函数的周期性 与奇偶性 课堂活动 活动一探究正弦函数、余弦函数的周期 新知导学 问题1提示：sin(a+2kπ)=sina,其中k∈Z. 新知生成 1.非零常数Tf(x十T)=f(x)非零常数T 2.最小的正数 3.周期函数 4.周期函数 问题2提示：等式sm(后+）-s如晋成主，但不能说受是 y=sinx,x∈R的一个周期.因为不满足周期函数的定义，对 定义诚内任意xm(+）不一定等于如x,加血（行+）于 sin，故号 名不是亚弦函数y=sinx,x∈R的-一个周期 新知应用 解：(1)Vx∈R,有 3sin(x+2π)=3sinx. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. (2)令之=2x,由x∈R得之∈R,且y=cos之的周期为2π，即 cos(x十2π)=cosx, 于是cos(2x十2x)=cos2x, 所以cos2(x十π)=cos2x,x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π (3)令2=合x-否，由x∈R得2∈R,且y=2sin的月期 1 为2π， 691