第5章 第5节 复数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理复数专题，涵盖概念（实部虚部、相等共轭、模）、四则运算（法则及运算律）、几何意义（复平面点与向量）、实系数一元二次方程虚根等核心考点，通过填空式梳理和题组练透引导学生自主构建知识网络，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于诊断性题组和方法指导结合，如开篇4道概念辨析题帮助学生自主诊断，运算模块配有“i的周期性”等结论总结培养数学思维，几何意义部分通过复平面点轨迹问题发展数学眼光。教师可依据学生错题精准指导，助力个性化复习，提升自主备考能力。

第5节　复数 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 　　 复数的有关概念 1.复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的　　　与　　　.当且仅当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi叫做纯虚数. 2.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔　　　　　　（a，b，c，d∈R）. 3.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 4.复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　　　　　. 题组练透 1.（2026·海南海口模拟）下列关于复数的说法，正确的是（　　） A.复数i是最小的纯虚数 B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个 C.i与－i是一对共轭复数 D.虚轴上的点都表示纯虚数 2.（2025·新高考Ⅰ卷1题）（1＋5i）i的虚部为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.6 3.已知复数z＝m2－7m＋6＋（m2－36）i是纯虚数，则实数m的值为（　　） A.±6 B.1或6 C.－6 D.1 4.设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则｜x＋yi｜＝（　　） A.1　 　　B. C.　　 　D.2 解决复数概念问题的两个注意事项 复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）. （1）z1±z2＝（a＋bi）±（c＋di）＝　　　　； （2）z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝　　　　； （3）＝＝　　　　＝　　　　（c＋di≠0）. 2.复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： （1）交换律：z1＋z2＝　　　　　　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　. 3.复数乘法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： （1）交换律：z1z2＝　　　　　　； （2）结合律：（z1z2）z3＝　　　　　　； （3）乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝　　　　　　. 结论：（1）i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*； （2）（1±i）2＝±2i，＝i，＝－i. （1）（2025·全国Ⅱ卷2题）已知z＝1＋i，则＝（　　） A.－i B.i C.－1 D.1 （2）已知z＝，则＋z2 026＝（　　） A.－i B.2i C.i－1 D.i＋1 听课记录 复数代数形式运算的策略 练1 （1）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i （2）（2026·甘肃白银模拟）已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则＝　　　. 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）. 2.复数z＝a＋bi平面向量. 3.复数z的方程在复平面上表示的图形 （1）a≤｜z｜≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆. 4.复数加减运算的几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. 提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）. （1）（2026·北京丰台模拟）在复平面内，复数z＝i（1－i）的共轭复数对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）（2026·湖南长沙模拟）在复平面内，复数z1对应的点与复数z2＝对应的点关于实轴对称，则z1＝（　　） A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 听课记录 对复数几何意义的再理解 （1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔； （2）由于｜z1－z2｜表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值问题. 练2 （1）（2026·广东佛山模拟）复平面上A，B两点对应的复数分别是1＋3i，－2＋i，向量对应的复数为z，则｜z｜＝（　　） A.17 B. C.13 D. （2）〔一题多解〕已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi（a，b∈R），且｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，试求｜z－3＋i｜的最小值. 复数集内一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若存在虚根，则两根必为共轭复数. （1）（2026·湖南怀化模拟）若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则｜z｜＝（　　） A. B.1 C.2 D.3 （2）〔多选〕已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0（－2＜t＜2）的两复数根为z1和z2，则（　　） A.z1＝ B.z1·z2＝1 C.｜z1｜＝｜z2｜ D.＝ 听课记录 1.对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用. 2.对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 练3 若关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根.求这个实根及相应的实数k的值. 提示：完成课后作业　第五章　第5节 双休检测13 答案 第5节　复数 考点一 1.实部　虚部　2.a＝c且b＝d 4. 题组练透 1.C　虚数不能比大小，故A错误；对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不仅四个，比如a＝，b＝时，｜z｜＝1，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点（0，0）也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 2.C　因为（1＋5i）i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1.故选C. 3.D　由题意可得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1. 4.B　因为（1＋i）x＝1＋yi，x，y∈R，所以x＋xi＝1＋yi，所以解得所以｜x＋yi｜＝. 考点二 1.（1）（a±c）＋（b±d）i　（2）（ac－bd）＋（ad＋bc）i　（3）　＋i 2.（1）z2＋z1　（2）z1＋（z2＋z3） 3.（1）z2z1　（2）z1（z2z3）　（3）z1z2＋z1z3 【例1】　（1）A　（2）C　解析：（1）＝＝－i.故选A. （2）由＝－i可得z＝－i，所以＝i，由z2 026＝（－i）2 026＝（－i）2 024·（－i）2＝i2 024·（－1）＝－1可得＋z2 026＝i－1.故选C. 练1　（1）C　（2）＋i 解析：（1）法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. （2）z＝＝＝＝－i，所以＝＋i，所以＝＝＝＝＋i. 考点三 【例2】　（1）D　（2）C　解析：（1）因为z＝i（1－i）＝1＋i，所以＝1－i，共轭复数对应的点坐标为（1，－1），位于第四象限.故选D. （2）由z2＝＝＝＝－1－i，所以z1＝－1＋i.故选C. 练2　（1）D　由题意可得A（1，3），B（－2，1），则＝（－3，－2），所以z＝－3－2i，得｜z｜＝＝.故选D. （2）解：法一　由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，得复数z在复平面内对应的点Z到点（0，1）与点（－2，1）的距离相等， 则点Z在直线x＝－1上.｜z－3＋i｜表示点Z与点（3，－）的距离， 过点（3，－）作直线x＝－1的垂线，垂足为P（图略）， 当点Z与点P重合时，｜z－3＋i｜取得最小值4. 法二　因为z＝a＋bi（a，b∈R），则z－i＝a＋（b－1）i，z＋2－i＝（a＋2）＋（b－1）i， 由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，可得 ＝， 解得a＝－1，则z＝－1＋bi， 所以z－3＋i＝－4＋（b＋）i， 因此｜z－3＋i｜ ＝≥4，当且仅当b＝－时，等号成立， 故｜z－3＋i｜的最小值为4. 考点四 【例3】　（1）B　（2）ABC　解析：（1）∵x2＋x＋1＝0，∴由求根公式得x＝＝，即z＝，∴当z＝－＋i时，｜z｜＝＝1；当z＝－－i时，｜z｜＝＝1.综上，｜z｜＝1. （2）实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，所以A、C正确；由根与系数的关系知B正确；＝＝，D错误.故选A、B、C. 练3　解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0. 由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，解得或 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $