学案47 任意角-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 第五章 笔 学案47 学习任务 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负 2.理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与 课堂活动 活动一理解任意角的概念 阄新知导学 阅读教材第168-169页，完成下列问题. 问题1如何把0°~360°的角扩大范围成为任 意角？ 问题2逆时针方向旋转120°与顺时针方向旋转 120°形成的角相等吗？ 问题3逆时针方向旋转的角与顺时针方向旋转 的角有什么不同？ 11142 三角函数 任意角 角.（数学抽象) 表示.（数学抽象） 厅新知生成 1.任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负 角和零角， 名称 定义 图示 条射线绕其端点按 正角 方向旋转形成的角 0个A 条射线绕其端点按 负角 方向旋转形成的角 G9 一条射线 做任何 零角 0 —A(B) 旋转形成的角 2.角的相等 如果角α和角B的旋转方向相同且旋转量相 等，那么就称 3.角的加法 设a,B是任意两个角，我们规定，把角α的终边 旋转角β，这时终边所对应的角是 4.相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的 量所形成的两个角互为 ,角a的相反 角记为 ,a-B=a十 今新知应用 1.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度 分别是 A.60°，720° B.-60°，-7209 C.-30°，-360° D.-60°，720° 2.下列所示图形中，Y=a十B的是 a一B的是 ① ② 3.分别求出图中从OA旋转到OB,OB1,OB2时 所成的角a,B,Y. 210 509 309 ② 「方法总结」确定任意角的方法 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针 方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为 正角，顺时针方向旋转形成的角为负角。 (2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角 的大小 活动二确定象限角 )新知导学 阅读教材第169-170页，完成下列问题. 问题4使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，锐角的终边在第几象 限？钝角呢？720°的角呢？ 厅新知生成 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重 合，那么，角的 在第几象限，就说这个 角是第几 ;如果角的终边在 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 任意角学案47 今新知应用 听 课 1.下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( ) A.45° B.90° C.180° D.2709 记 2.(多选)下列叙述不正确的是 ( A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 「方法总结」在平面直角坐标系中作出角，角的： 终边落在第几象限，此角就是第几象限角 活动三求终边相同的角 阄新知导学 阅读教材第170一171页，完成下列问题. 问题5390°角的终边与30°角的终边有什么关 系？两者之间相差了多少度？ 问题6将角放在直角坐标系中后，给定一个角，！ 就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角 坐标系内任意一条射线OB,以它为终边的角 是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有 什么关系？ 14310 人教A版数学必修第一册 听 问题7如图所示： 3929 记 3289 32列 如果一32°角的终边是OB,那么328°，一392°， …角的终边都是OB,并且与一32°角终边相同 的这些角都可以表示成一32°的角与k个(k∈ Z)周角的和，如 328°=一32°+360°（这里k= 一392°=一32°一360°（这里k= 与一32°角的终边相同的角怎么表示？ 厅新知生成 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合S={33= 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角 a与整数个周角的和.」 今新知应用 1.在0°~360°范围内，找出与一950°12'角终边相 同的角，并判定它是第几象限角. 2.写出终边在y轴上的角的集合 1 1144 3.写出终边在直线y=x上的角的集合S,S中满 足不等式一360°≤3<720°的元素3有哪些？ 「方法总结」终边相同的角的表示 (1)与角a终边相同的角都可以表示成a十· 360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍， (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整 数倍 活动四。用终边相同的角表示区域角 今新知应用 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α 的取值范围. 759 30° 「方法总结」表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界， (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 0°~360°范围内的角a和β，写出最简区间{x|a< x<β}，其中B-a<360°. (3)起始、终止边界的对应角α，3再加上360°或 180°的整数倍，即得区域角的集合. 课堂小结 正角 角的概念 负角 任意角 像限角 零角 终边相同的角 名课堂达标 1.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行 升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时 间，钟表的分针走过的角度是 A.30° B.-30° C.60 D.-60° 2.下列命题中正确的是 A.第一象限角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角 C.终边相同的角必相等 D.一270°的终边在y轴上 3.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上 的是 A.-37° B.143° C.379° D.-143° 课后反思 任意角学案47 4.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是 听 ) 课 记 0 4 A.{a-45°≤a≤120°) B.{a|120°≤a≤315} C.{a|-45°+k·360°≤a≤120°+k·360°， k∈Z} D.{a|120°+k·360°≤a≤315°+k·360°，k∈Z) 5.(多选)若a=k·180°+45°，k∈Z,则a所在的 象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知a=-1910°. (1)把a写成3+k·360°(k∈Z,0°≤3<360) 的形式，并指出它是第几象限角； (2)求0，使0与a的终边相同，且一720°≤0<0° 145104.解：(1)令u=x2一2ax十3，u>0,显然函数y=log2u在(0， 十∞)上单调递增， 函数u=x2一2ax十3在[a,+∞)上单调递增， 而f(x)在[2a一1，+∞)上为增函数， 2a-1≥a, 则《 解得1≤a<2, (2a-1)2-2a(2a-1)+3>0, 所以a的取值范围是[1,2). (2)g()=0,f(x)=log2 (x+4)-1log2 (z2-2ax+ 3)=1og,十4 2 由函数g(x)在（分2）上格有两个零点，得x-2ax十3 告4台2z2-(1+4a)x+2=0在（分2）上有两个不相学的 实数根， △=(1+4a)2-16>0, 11+4a<2, 24 于是 2x(侵)°-a+a+2>0 解得子<a<1, 2×22-2(1+4a)+2>0, 所以a的取值范国是（子，1， 活动七利用函数模型解决实际问题 新知应用 1.解：(1)设90dB对应的声强是x1,60dB对应的声强是x2, 则会10， 90=alg10’ 所以 60=alg10' 所以30=alg2 所以30=3a,所以a=10, 所以fx)=10lg10x∈(0，+eo). (2)设喷气式飞机起飞时的声强为x, x3 所以 [150=101g10, 60=101g10a, C2 所以9=1g 所以3=10， 故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的10倍. 2.解：(1)由于每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比 均为x(0<x<1), 则a1-x)”=7,即1-x)0=方， 解得x=1一（合）向 (2)设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为气a(1一x) 158 ◆号a1-r<a,即1-9， (合)<（合）0≥2解释≥15， 故至少还需治理15年. 第五章三角函数 学案47任意角 课堂活动 活动一理解任意角的概念 新知导学 问题1提示：按射线旋转方向形成正角、负角和零角. 问题2提示：不相等. 问题3提示：按逆时针方向旋转的角越来越大，按顺时针方向 旋转的角越来越小. 新知生成 1.逆时针顺时针没有 2.a=3 3.a十B 4.相反角一a(一3) 新知应用 1.B[钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都 是负的，而号×360=60,2X360=720,放钟表的时针和分 针转过的角度分别是一60°，一720°.故选B.] 2.①④②③[在①中，a与Y的始边相同，α的终边为3的始 边，B与Y的终边相同，所以Y=a十B; 在②中，a与Y的始边相同，a的终边为一B的始边，一B与Y 的终边相同，所以Y=a十（一B)=a一3； 在③中，a与Y的始边相同，a的终边为一B的始边，一B与Y 的终边相同，所以Y=a十（一B)=a一B; 在④中，α与Y的始边相同，α的终边为B的始边，B与Y的终 边相同，所以Yy=a十B. ∴.Y=a十B的是①④；Y=a-B的是②③.] 3.解：题图①中，正角a=720°+30°=750°. 题图②中，负角8=一(360°-210)=一150°. 正角y=210°-150°=60°. 活动二确定象限角 新知导学 问题4提示：锐角的终边在第一象限，钝角的终边在第二象 限，720°角的终边在x轴的非负半轴. 新知生成 原点终边象限角坐标轴 新知应用 1.B[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边， 逆时针旋转90°，故其终边在y轴的非负半轴上.故选B.] 2.ACD[对于A,直角不属于任何一个象限，故A不正确；对 于B,钝角是大于90°并且小于180°的角，是第二象限角，故B 正确；对于C,120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°< 390°，故C不正确；对于D,零角和负角也小于180°，故D不正 确.故选ACD.] 活动三求终边相同的角 新知导学 问题5提示：相同；360°. 问题6提示：不唯一；它们都相差周角的整数倍. 问题7提示：1；-1；S={B=-32°十k·360°，k∈Z. 新知生成 a+k·360°，k∈Z 新知应用 1.解：因为一95012=129°48一3×360°，所以在0°~360°范围 内，与一950°12'角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角。 2.解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°， 270°角，如图所示： 2709 因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={3B=90°十 k·360°，k∈Z}; 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={BB=270°+k·360°，k∈Z}: 于是，终边在y轴上的角的集合 S=SUS2 ={B|B=90°+2k·180°，k∈Z}U{B|3=90°+180°+2k· 180°，k∈Z} ={BB=90°+2k·180°，k∈Z}U{β|3=90°+(2k+1)180°， k∈Z} ={8lβ=90°+n·180°，n∈Z}. 3.解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x 轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y=x上的 角有两个：45°，225° y=x 225 45° 0 因此，终边在直线y=x上的角的集合 S={B1B=45°+k·360°，k∈ZU{B|B=225°+k·360°，k∈ Z}={33=45°+2k·180°，k∈Z}U{33=45°+180°+2k· 180°，k∈Z} ={B3=45°+n·180°，n∈Z} S中适合不等式一360°≤3<720°的元素B有 45°-2×180°=-315°， 45°-1×180°=-135°， 45°+0×180°=45°， 45°+1×180°=225°， 45°+2×180°=405°， 45°+3×180°=585°」 活动四用终边相同的角表示区域角 新知应用 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={aα= 30°+·180°，k∈Z}:终边在180°一75°=105°角的终边所在直 线上的角的集合为S2={a|a=105°+k·180°，k∈Z},因此，终 边在图中阴影部分内的角a的取值范围为{a|30°十k·180°≤a <105°+k·180°，k∈Z}. 课堂达标 1.D[分针是顺时针走的，.形成的角度是负角，又分针走 过了10分钟， 走这的角定大小为号×350=60， .分针走过的角度是一60°.故选D.门 2.D[A错误，如一330°就是第一象限角. B错误，如一30°是小于90°的角，但一30°并不是锐角. C错误，终边相同的角可以相差360°的整数倍 D正确，一270°的终边与90°终边相同.故选D.] 3.D[与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°十k· 180°，k∈Z,当k=-1时，37°-180°=-143°.故选D.] 4.C[因为在一180°~180°间阴影部分区域中两条边界表示的 角分别为一45°，120°， 所以阴影部分的区域在一180°~180°间的范围是一45°≤α ≤120° 所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|一45°十k·360° a≤120°+k·360°，k∈Z}. 故选C.] 5.AC[当k=0时，a=45°为第一象限角；当=1时，a=2259 为第三象限角.故选AC.] 6.解：(1)a=一1910°=一6X360°十250°，它是第三象限角. (2)令0=250°+n·360°(n∈Z), 取n=一1，一2就得到符合一720°≤0<0°的角. 当n=-1时，0=250°-360°=一110°； 当n=一2时，0=250°-720°=-470°. 故0=-110°或0=-470°. 学案48弧度制 课堂活动 活动一定义孤度制、计算角的孤度数 新知导学 问题1提示：1度的角等于周角的360国心角是确定的. 问题2提示：设a=,则1-需 =品是定位 r 问题3提示：不变化.设a=n°， π 因为上=丝=n·180所以Q不随12的变化而变化 启发我们，可以利用圆的孤长与半径的关系度量圆心角， 新知生成 1.度弧度半径长rad 2正数负数0号 59