第4章 第7节 三角函数图象与性质的综合应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数图象与性质的综合应用专题，涵盖单调性、对称性、最值及三角函数模型实际应用等核心考点，通过问题链设计和任务驱动，引导学生以换元法、数形结合思想自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于真题导向的自主诊断与模型应用能力培养，如设置2025天津高考真题及“练1”“练2”分层练习题，学生可通过方程根转化为图象交点问题、弹簧振子与价格模型等活动，发展数学思维与数学语言素养。配套听课记录与错题解析，助力学生个性化提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第7节　三角函数图象与性质的综合应用 　　会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 　　 三角函数图象与性质的综合应用 （2025·天津高考8题）f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜π）在［－，］上单调递增，且x＝为f（x）图象的一条对称轴，（，0）是f（x）图象的一个对称中心，当x∈［0，］时，f（x）的最小值为（　　） A.－ B.－ C.－1 D.0 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. 2.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象分析. 练1 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　. 三角函数模型的应用 〔多选〕如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　） A.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4cos（ t＋）＋2 B.点P第一次到达最高点需要20秒 C.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数模型的应用 （1）已知函数模型求解数学问题； （2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 练2 （1）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y＝sin（ ωt＋）（ω＞0），其中t表示振动的时间，y表示振动的位移，当t∈[0，2]时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子离平衡位置的距离最远的次数为（　　） A.3 B.2 C.5 D.5或6 （2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间的函数关系为　　　　. 提示：完成课后作业　第四章　第7节 答案 第7节　三角函数图象与性质的综合应用 提能点一 【例1】　A　因为f（x）在上单调递增且x＝为f（x）图象的一条对称轴，所以×≥－（ －），f（ ）＝sin（ ω＋φ）＝1，得0＜ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π（k1∈Z）①.因为（ ，0）是f（x）图象的一个对称中心，所以f（ ）＝sin（ ω＋φ）＝0，得ω＋φ＝k2π（ k2∈Z）②，由①②得ω＝－2＋4（ k2－2k1）（ k1，k2∈Z），结合0＜ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π（ k1∈Z），又－π＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（ 2x＋）.当x∈时，2x＋∈，所以f（x）的最小值为f（ ）＝sin＝－，故选A. 练1　（－2，－1）　解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin（2x＋），x∈（，π）.设2x＋＝t，则t∈（，），所以题目条件可转化为＝sin t，t∈（，）有两个不同的实数根.即直线y＝和函数y＝sin t，t∈（，）的图象有两个不同的交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图中实线部分所示. 由图象观察知，的取值范围是（－1，－），故m的取值范围是（－2，－1）. 提能点二 【例2】　BCD　设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt＋φ）＋B（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜），由题意得 解得故h＝4sin（ t－）＋2＝－4cos（ t＋）＋2，故A错误；对于B，令h＝6，即h＝4sin（ t－）＋2＝6，解得t＝20，故B正确；对于C，令t＝155，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝2，故C正确；对于D，令t＝50，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝－2，故D正确. 练2　（1）D　（2）y＝sin（ x－）＋6（答案不唯一）　解析：（1）根据题意，画出草图，由图可知2∈[t1，t2），当t∈[0，2]时，该振子离平衡位置的距离最远的次数为5或6，故选D. （2）设y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0），由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin（ x＋φ）＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin（ ＋φ）＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin（ x－）＋6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $