第4章 第5节 第1课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数的定义域、周期性、奇偶性与对称性四大核心考点，按“题组练透-例题解析-方法总结-强化练习”层次构建知识网络，通过问题链设计引导学生从基础定义自主推导性质规律，形成完整的三角函数性质认知体系。 亮点在于诊断性题组和进阶式思维训练，如开篇题组练透帮助学生自主诊断薄弱点，“一题多解”环节培养数学思维，方法指导部分强化数学语言表达。配有听课记录区域供反思总结，教师可通过学生练习反馈精准指导，助力因材施教。

第1课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 三角函数的定义域 题组练透 1.函数y＝的定义域为（　　） A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z} 2.函数y＝lg sin x＋的定义域为　　　　. 3.〔一题多解〕函数y＝的定义域为　　　　. 三角函数定义域的求法 　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象（三角函数线），对有限集、无限集求交集.与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域. 三角函数的周期性 （1）函数f（x）＝cos（ x＋）的最小正周期是（　　） A.　　　 B. C.π　　　 D.2π （2）（2026·江苏扬州模拟）若函数f（x）＝2cos2（ωx－）＋1（ω＞0）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，则ω的值为（　　） A.1 B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 练1 （1）（2026·江西吉安质检）函数y＝2 026tan（x－）的最小正周期为（　　） A.2 B.4 C.2π D.4π （2）〔一题多解〕（2026·广东佛山模拟）函数f（x）＝cos x＋cos 2x的最小正周期为（　　） A.π B. C.2π D.4π 奇偶性 与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）. （1）（2026·北京海淀质检）函数f（x）＝cos2（x－）－sin2（x＋）是（　　） A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 （2）若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为偶函数，则θ的一个值可以是（　　） A. B. C.－ D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数奇偶性的判断及应用 （1）判断与三角函数有关的奇偶性，应先对函数解析式进行化简，然后根据奇偶函数的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式； （2）根据函数奇（偶）性求参数的值时，主要根据函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）是奇（偶）函数的充要条件进行求解. 练2 （1）（2026·浙江温州模拟）若函数f（x）＝4cos（x＋＋φ）为奇函数，则函数g（x）＝3sin（x＋＋2φ）是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 （2）（2026·福建福州质检）已知函数f（x）＝xcos x＋sin x－tan 2x＋a，且f（－m）＝－2，则f（m）＝（　　） A.a＋2 B.2a＋2 C.2a＋4 D.2 对称性 对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. （1）（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. （2）〔多选〕（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（　　） A.ω＝2 B.函数f（x）为奇函数 C.函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数对称性应用技巧 1.求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量. （1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ，求x； （2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x；若f（x）＝Acos（ωx＋φ），只需令ωx＋φ＝kπ＋，求x. 2.判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过三角函数图象的最高点或最低点，对称中心横坐标一定是函数的零点的性质进行检验判断. 练3 （1）（2026·浙江金华模拟）已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（　　） A.（，］ B.（，］ C.（，］ D.（，］ （2）〔一题多解〕设函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a＝　　　　. 提示：完成课后作业　第四章　第5节　第1课时 答案 第1课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考点一 题组练透 1.D　要使函数有意义，必须有 即 故函数的定义域为{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}. 2.{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}　 解析：要使函数有意义，则有即解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}. 3.{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}　解析：法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x范围为［，］，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 法二　sin x－cos x＝sin（ x－）≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 考点二 【例1】　（1）D　（2）C　解析：（1）对于f（x）＝Acos（ωx＋φ），T＝，所以f（x）＝cos（ x＋）的最小正周期是2π. （2）由题可得，f（x）＝2cos2（ωx－）＋1＝2×＋1＝cos（2ωx－）＋2.由于函数f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，所以其最小正周期为4π，则4π＝，解得ω＝.故选C. 练1　（1）B　（2）C　解析：（1）由题意，得函数的最小正周期T＝＝4.故选B. （2）法一　由于y＝cos x的最小正周期为2π，y＝cos 2x的最小正周期为π，2π与π的最小公倍数是2π，所以函数f（x）的最小正周期为2π.故选C. 法二　因为f（x）＝cos x＋cos 2x，所以f（x＋π）＝cos（x＋π）＋cos 2（x＋π）＝－cos x＋cos 2x≠f（x），所以π不是函数f（x）的周期，同理也不是函数f（x）的周期，而f（x＋2π）＝cos（x＋2π）＋cos 2（x＋2π）＝cos x＋cos 2x＝f（x），所以函数2π是f（x）的周期，又因4π也是f（x）的周期，但4π不是f（x）的最小正周期，故选C. 考点三 【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）由题可得，f（x）＝cos2（x－）－sin2（x＋）＝－＝－sin 2x.由于f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），且定义域为R，所以f（x）是奇函数，且其最小正周期为＝π.故选D. （2）由f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin（ 2x＋θ＋），f（x）为偶函数，可得θ＋＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得θ＝. 练2　（1）A　（2）B　解析：（1）因为f（x）＝4cos（x＋＋φ）为奇函数，所以＋φ＝kπ＋（k∈Z），于是φ＝kπ＋（k∈Z），因此g（x）＝3sin（x＋＋2kπ＋）＝－3sin x，所以g（x）为奇函数.故选A. （2）因为f（－x）＝－xcos（－x）＋sin（－x）－tan（－2x）＋a＝－xcos x－sin x＋tan 2x＋a，故f（x）＋f（－x）＝2a.所以f（m）＋f（－m）＝2a，又f（－m）＝－2，所以f（m）＝2a＋2，故选B. 考点四 【例3】　（1）B　（2）AC　解析：（1）令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. （2）f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2（ sin ωx－cos ωx）＝2sin（ ωx－），因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（ 2x－），故A正确；显然，函数f（x）为非奇非偶函数，故B错误；对于C选项，f（ －）＝2sin［2×（ －）－］＝2sin（－π）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称，故C正确；对于D选项，f（ ）＝2sin（ 2×－）＝2sin（ ）＝－1，所以函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故D错误. 练3　（1）C　（2）－　解析：（1）由x∈（0，1），得＜ωx＋＜ω＋.由f（x）的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，得＜ω＋≤，所以＜ω≤.故选C. （2）法一　因为y＝sin 2x＋acos 2x＝·sin（2x＋θ），其中a＝tan θ.又图象关于直线x＝－对称，故在x＝－处，函数应取得最大或最小值.所以当x＝－时，y＝sin（－）＋acos（－）＝－＋a＝±，解得a＝－. 法二　因为函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，所以f（x）的图象上到x＝－的距离相等的x值对应的函数值相等，即f（－＋x）＝f（－－x）对定义域内任何值都成立.令x＝，得f（0）＝f（－）.所以0＋a＝sin（－）＋acos（－）.解得a＝－. 法三　因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以－为函数的极值点，又y'＝2cos 2x－2asin 2x，所以当x＝－时，y'＝0，即cos（－）－asin（－）＝0，解得a＝－. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $