第3章 重难专攻4 函数的零点问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理函数零点问题核心考点，整合数形结合与函数性质法两大模块，通过高考改编题和省级联测题构建“例题-方法-练习”三层知识网络，以问题链引导学生自主探究零点个数判断、参数范围求解等关键技能，形成系统认知。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，如“练1”“练2”分别针对零点个数讨论与参数范围求解，培养数学思维与数学语言表达能力。例题解析中单调性表格分析、函数图象绘制等活动，帮助学生自主梳理方法，教师可通过练习反馈精准指导，提升复习实效。

重难专攻4　函数的零点问题 　　利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大. 数形结合研究函数的零点 （2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln x）2. （1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围. 　　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围. 练1 已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 函数性质法研究函数的零点 （2026·河北省级联测）已知函数f（x）＝－aex－sin x－1在区间（0，）内有唯一极值点x1，其中a∈R，e为自然对数的底数. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：f（x）在区间（0，）内有唯一零点. 　　利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 练2 已知函数f（x）＝2ln x－x2＋m在［，e］上有两个零点，求实数m的取值范围. 提示：完成课后作业　第三章　重难专攻4 答案 重难专攻4　函数的零点问题 考点一 【例1】　解：（1）当a＝1时，f（x）＝x－（ln x）2，定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1－，f'（1）＝1，f（1）＝1，则所求的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0. （2）由f（x）＝0，可得a＝， 令g（x）＝（x＞0），f（x）有3个零点等价于g（x）的图象与直线y＝a有3个不同交点. g'（x）＝ ＝. 令g'（x）＝0，解得x＝1或x＝e2. 当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示： x （0，1） 1 （1， e2） e2 （e2， ＋∞） g'（x） － 0 ＋ 0 － g（x） 单调 递减 0 单调 递增 单调 递减 且x→0＋时，g（x）→＋∞，x→＋∞时，g（x）→0. 故g（x）的大致图象如图所示. 由图可知a的取值范围是（ 0，）. 练1　解：由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）. 设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex， 令h'（x）＞0，得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜－1， 所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减， 所以h（x）min＝h（－1）＝－. 又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0， 据此可画出h（x）的大致图象如图. 所以当a＜－或a＝0时，f（x）无零点； 当a＝－或a＞0时，f（x）有一个零点； 当－＜a＜0时，f（x）有两个零点. 考点二 【例2】　解：（1）f'（x）＝－aex－cos x，当x∈（0，）时，cos x∈（0，1）， ①当a≥0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，）内单调递减，没有极值点，不符合题意； ②当a＜0时，y＝－aex与y＝－cos x均在（0，）内单调递增，故f'（x）在（0，）内单调递增，因为f'（0）＝－a－1，f'（）＝－a＞0，所以f'（0）＝－a－1＜0，得a＞－1， 此时f'（x）在（0，）内有唯一零点x1， 所以当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0； 当x∈（x1，）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（0，）内有唯一极小值点x1，符合题意. 综上，实数a的取值范围为（－1，0）. （2）证明：由（1）知－1＜a＜0，所以当x∈［，）时，f'（x）＝－aex－cos x＞0， 所以f（x）＝－aex－sin x－1在［，）上单调递增.结合（1）知当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 所以当x∈（0，x1）时，f（x）＜f（0）＝－a－1＜0，则f（x1）＜0.又因为f（）＝－a＞0， 所以f（x）在（x1，）内有唯一零点，即f（x）在（0，）内有唯一零点. 练2　解：由题意得f'（x）＝－2x＝，因为x∈［，e］，所以由f'（x）＝0，解得x＝1. 当≤x＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当1＜x≤e时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝1时，函数f（x）取得最大值，f（x）max＝f（1）＝m－1， 又f（）＝m－2－，f（e）＝m＋2－e2，且f（）＞f（e），由f（x）在［，e］上有两个零点可得解得1＜m≤2＋. 故实数m的取值范围是（1，2＋］. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $