2.1.2 两条直线平行和垂直的判定学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，素养提升 ( 基础巩固 1 ) 1.两条直线平行的判定：对于斜率分别为，的两条直线，，有 . 当两条直线的倾斜角均为时，直线的斜率不存在，此时 .若直线，重合，此时仍然有 . 2.两条直线垂直的判定：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们 .即 . ( 回归教材 2 ) ①练习 1.判断下列各对直线是否平行或垂直： （1）经过，两点的直线，与经过点且斜率为1的直线； （2）经过，两点的直线，与经过点且斜率为的直线. 2.试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线： （1）平行； （2）垂直. ②习题 1.判断下列不同的直线与是否平行： （1）的斜率为2，经过两点； （2）经过两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过两点，经过两点. 2.判断下列直线与是否垂直： （1）的斜率为经过点； （2）的倾斜角为经过两点； （3）经过两点，经过两点. 3.已知点和，点P在x轴上，且为直角，求点P的坐标. 4.已知四边形ABCD的四个顶点是.求证：四边形ABCD为矩形. ( 提升训练 3 ) 1.平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( ) A.1 B.-1 C. D. 2.已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 3.已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 4.已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 5.下列各对直线平行的是( ) A.直线经过点，，直线经过点， B.直线经过点，，直线经过点， C.直线经过点，，直线经过点， D.直线经过点，，直线经过点， 6.下列说法中正确的是( ) A.若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B.若，则 C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D.若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 7.（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，斜率分别为，，则下列命题正确的是( ) A.若斜率，则 B.若，则 C.若倾斜角，则 D.若，则 8.（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若,则 D.若一条直线的倾斜角为,则该直线的斜率为 9.（多选）满足下列条件的直线与，其中的是( ) A.的倾斜角为，的斜率为1 B.的斜率为，经过点 C.经过点，经过点 D.的方向向量为，的方向向量为 10.若直线的倾斜角为，直线，则直线的倾斜角为______. 11.已知，，. （1）若A，B，C，D四点可以构成平行四边形，求点D的坐标； （2）在（1）的条件下若点D在第四象限的情况下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形. 答案及解析 一、基础巩固 1. 2.-1 互相垂直 二、回归教材 ①练习 1.答案：（1）平行 （2）垂直 解析：（1）由题意和斜率公式可得的斜率，斜率， ， 又直线，不重合，所以两直线平行； （2）由题意和斜率公式可得的斜率，斜率， ， 故两直线垂直. 2.答案：（1） （2） 解析：过，两点的直线斜率， 当时，直线AB的斜率不存在，此时直线AB与直线PQ即不平行也不垂直； 当时，过，两点的直线斜率， （1）当两直线平行时，则，解得. （2）当两直线垂直时，则，解得. ②习题 1、（1）答案： 解析：由题意，得直线AB的斜率， 又因为直线的斜率为2，所以，所以直线. （2）答案： 解析：因为经过点，它们的纵坐标相同，所以直线PQ平行于x轴. 又平行于x轴，且不经过P，Q两点，所以直线. （3）答案： 解析：由已知，得直线的斜率，直线的斜率， 所以，所以. 2、（1）答案： 解析：由已知，得直线的斜率. 又直线的斜率， 所以，所以. （2）答案： 解析：由已知，得直线的斜率. 又直线的倾斜角是， 所以直线的斜率. 因为，所以. （3）答案： 解析：由已知，得直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 3.答案：或 解析：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为. 直线PM的斜率，直线PN的斜率. 因为是直角，所以有， 即. 解得，或. 所以点P的坐标是或. 4.答案：见解析 解析：证明：由已知，得AB边所在的直线的斜率， BC边所在的直线的斜率， CD边所在的直线的斜率， DA边所在的直线的斜率. (方法一)因为， 所以. 同理，. 因此，四边形ABCD是矩形. (方法二)因为，所以. 又因为，所以. 同理，.所以四边形ABCD是平行四边形. 因此，四边形ABCD是矩形. 三、提升训练 1.答案：B 解析：因，所以， 易知， 故直线的斜率为. 故选：B. 2.答案：A 解析：因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 3.答案：B 解析：设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率， 由，得， 所以，即， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 4.答案：A 解析：直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率： 本题正确选项：A 5.答案：A 解析：对于A，因为，，所以； 对于B，因为，，所以直线，不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，，知直线，的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线的斜率不存在，而，所以直线，不平行.故选A. 6.答案：C 解析：若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误； 若，则或，的斜率都不存在，B错误； 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确； 若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误. 故选：C. 7.答案：ABC 解析：对于A，若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确； 对于D，若，不妨取，， 则，，不满足，，不垂直，D错误， 故选： 8.答案：AD 解析：对于A选项,平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角,A对; 对于B选项,平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率,B错; 对于C选项,当、都与轴垂直时,、的斜率都不存在,但,C错; 对于D选项,若一条直线的倾斜角为,则该直线的斜率为,D对. 故选:AD. 9.答案：BCD 解析：对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确 故选：BCD 10.答案： 解析：由，即直线，夹角为， 又直线倾斜角范围为， 而直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为 故答案为： 11.答案：（1）或或； （2）不是菱形. 解析：（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点D的坐标为或或. （2）若D的坐标为，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$