第2章 第7节 指数与对数的运算(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了指数与对数运算专题，将根式、指数幂、对数的概念及运算性质按“概念-性质-运算”层次构建知识网络，通过题组练透和问题链设计，引导学生从定义出发自主推导运算规律，形成完整的指对运算认知框架。 亮点在于诊断性题组和进阶式例题设计，如开篇设置多选、填空等诊断题帮助学生自主发现薄弱点，例题结合换底公式、实际应用问题培养数学思维与数学语言表达能力。每个模块配有方法指导和反思记录，助力学生个性化知识建构，教师可通过学情数据精准辅导，有效支持因材施教。

第7节　指数与对数的运算 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 　　 指数幂的运算 1.根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么　　　叫做a的n次方根； （2）式子叫做　　　　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； （3）（）n＝　　.当n为奇数时，＝　　　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 题组练透 1.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.＝ B.·（4y－a）＝4x C.÷＝－9a（a＞0，b＞0） D.－（1＋）－1＋（1＋）0＝3－2 2.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1 C.＋＝± D.＋＝2 3.（0.008 1－×［81－0.25＋－10×0.02＝　　　　. 指数幂的运算 对数式的运算 概念 一般地，如果　　　　　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　　　，其中a叫做对数的　　　，N叫做　　　　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　　　 loga1＝　　；logaa＝　　 ＝　 运算 性质 loga（MN）＝　　　　　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　　　　　 logaMn＝　　　　（n∈R） 换底 公式 logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） 结论：（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）；②lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. （2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. （1）log535＋2lo－log5－log514＝（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　 D.4 （2）（2026·广东广州模拟）若log2m＋log4n＝2，则m2n＝（　　） A.3 B.4 C.9 D.16 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算； （3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 练1 已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝　　　　. 指对运算的应用 角度1　指数式与对数式的综合运算 （1）若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　） A.－2 B. C. D.1 （2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　） A.log2 ＜ B.log2 ＞ C.log2 ＜x1＋x2 D.log2 ＞x1＋x2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　对于将等式logax＝logby＝logcz（或等式ax＝by＝cz）作为已知条件，求x，y，z的值的问题，通常设logax＝logby＝logcz＝k（或ax＝by＝cz＝k＞0），则x＝ak，y＝bk，z＝ck（或x＝logak，y＝logbk，z＝logck）. 角度2　实际应用 （2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20个小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A.2 B.4 C.20 D.40 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 练2 （1）已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝　　　　； （2）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：min）满足关系式：y＝N0（）t（N0为初始浓度），那么从现在起至少经过　　　min才能达到排放标准.（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数） 提示：完成课后作业　第二章　第7节 答案 第7节　指数与对数的运算 考点一 1.（1）x　（2）根式　（3）a　a 2.　 题组练透 1.BC　对于A，＝＝＝＝≠，所以A错误；对于B，·（4y－a）＝4·ya－a＝4xy0＝4x，所以B正确；对于C，÷＝－9·＝－9a（a＞0，b＞0），所以C正确；对于D，－（1＋）－1＋（1＋）0＝（－1－＋1＝－1－（－1）＋1＝1，所以D错误. 2.ABD　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1，故B正确；因为＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为＞0，＞0，所以＋＝，故C错误；由立方和公式，可得＋＝＋＝（a－1＋a－1）＝×（3－1）＝2，故D正确.故选A、B、D. 3.0　解析：原式＝－（3×1×［3－1＋－10×[（0.3）3＝－×－10×0.3＝－－3＝0. 考点二 ax＝N　logaN　底数　真数　x＝logaN　0　1　N　logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM 【例1】　（1）B　（2）D　解析：（1）原式＝log535－log5－log514＋lo（）2＝log5＋lo2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. （2）因为log2m＋log4n＝2，所以log2m＋log2n＝2，故log2m＋log2＝log24，化简得log2＝log24，所以m＝4，故m2n＝16. 练1　　解析：log1815＝＝＝＝. 提能点 【例2】　（1）B　（2）B　解析：（1）由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2，则log4（abc）＝log42＝. （2）因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝，故选B. 【例3】　B　由题意，得klog2（1.024×109）－klog2106＝20，即klog2＝20，∴klog21 024＝20，∴10k＝20，解得k＝2，即T＝2log2N.∴2log2（4.096×109）－2log2（1.024×109）＝2log24＝4.故选B. 练2　（1）　（2）16　解析：（1）因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3，所以am＋2n＝am·a2n＝am·＝. （2）由题意得100（）t≤20，即（）t≤⇒tlg≤lg⇒t（2lg 3－1）≤－lg 5，故t≥＝≈≈15.26，所以从现在起至少经过16 min 才能达到排放标准. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $