1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 一、学习目标 1.掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法. 2.正确地判断否定命题真假性. 二、重难点 重点：全称量词命题与存在量词命题的否定. 难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假；以及它们的否定的真假. 三、知识梳理 1.命题的否定 （1）定义：一般地，对命题加以________，就得到一个新的命题，记作“____________”，读作“____________”或“____________”. （2）命题与其否定的真假关系. 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是____________；反之亦然. 2.全称量词命题与存在量词的否定 全称量词命题 结论 ____________ 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 结论 ____________ 存在量词命题的否定是全称量词命题 注： （1）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定. （2）全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反. 四、应用举例 【例1】写出下列全称量词命题的否定： 　　（1）所有能被3整除的整数都是奇数； 　　（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； 　　（3）对任意，的个位数字不等于3. 【答案】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数； 　　（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上； 　　（3）该命题的否定：，的个位数字等于3. 例2.写出下列存在量词命题的否定. （1）； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数. 【答案】（1）该命题的否定：； 　　（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形； 　　（3）该命题的否定：任何一个偶数都不是素数. 五、课堂训练 1.（1）如果p是真命题，那么是真命题还是假命题？ （2）如果是真命题，那么q是真命题还是假命题？ 2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）一切分数都是有理数； （2）有些三角形是锐角三角形. 3.已知，，写出，并判断的真假. 4.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）二次函数的图象的顶点坐标是； （2）正数的立方根都是正数； （3）存在一个最大的内角小于的三角形； （4）对任意实数t，点都在一次函数的图象上. 5.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1），； （2），. 6.已知区间，且“，”是真命题，求实数a的取值范围. 六、课后练习 1.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A.， B.， C.， D.， 2.命题“，，使得”的否定形式是( ) A.，，使得 B.，，使得 C.，，使得 D.，，使得 3.下列命题的否定是真命题的是( ) A.每个正方形都是平行四边形 B.，是无理数 C.， D.，关于x的方程有实数根 4.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为( ) A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 5.若命题“，使得”的否定是真命题，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D.或 6.设命题，，命题q：每个三角形都有内切圆，则( ) A.p的否定：， B.p是真命题 C.q的否定：存在一个三角形没有内切圆 D.q是假命题 7.“所有的自然数都大于零”的否定是__________. 8.已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是___________. 9.写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)，一元二次方程有实根; (2)每个正方形都是平行四边形; (3)，; (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于. 10.写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）存在，的个位数字等于3. 答案及解析 三、知识梳理 1.（1）否定 非p p的否定 （2）假命题 2. 五、课堂训练 1.答案：（1）是假命题 （2）q是假命题 解析：（1）根据原命题和命题的否定的真值性相反，故p是真命题，则是假命题. （2）根据原命题和命题的否定的真值性相反，故是真命题，则q是假命题. 2.答案：（1）否定为：存在一个分数，不是有理数；假命题 （2）否定为：任意三角形都不是锐角三角形；假命题 解析：（1）命题“一切分数都是有理数”是全称命题， 故其否定为：存在一个分数，不是有理数. 因为原命题是真命题，故其否定为假命题； （2）命题“有些三角形是锐角三角形”是特称命题， 故其否定为：任意三角形都不是锐角三角形，显然其是假命题. 3.答案：，；为假命题 解析：，，是全称命题， ，， ，且在上单调递减，上单调递增； ，， ，， 故原命题是真命题，则为假命题. 4.答案：（1）否定为：二次函数的图象的顶点坐标不是；假命题 （2）否定为：存在正数的立方根不是正数；假命题 （3）任意三角形的最大内角不小于；真命题 （4）至少有一个实数t，点不在一次函数的图象上；假命题 解析：（1）二次函数的图象的顶点坐标是； 所以其否定为：二次函数的图象的顶点坐标不是； 因为原命题是真命题，故其否定为假命题； （2）命题“正数的立方根都是正数”是全称命题； 所以其否定为：存在正数的立方根不是正数， 由原命题是真命题，故其否定为假命题； （3）命题“存在一个最大的内角小于的三角形”是特称命题， 所以其否定为：任意三角形的最大内角不小于， 因为原命题是假命题，故其否定是真命题； （4）命题“对任意实数t，点都在一次函数的图象上”是全称命题. 所以其否定为：至少有一个实数t，点不在一次函数的图象上， 显然原命题为真命题，故其否定为假命题. 5.答案：（1）否定为：，；假命题 （2）否定为：，；假命题 解析：（1）因为命题“，”为特称命题， 所以其否定为：，， 因为当时，，故原命题为真命题，其否定为假命题； （2）因为命题“，”为全称命题， 所以其否定为：，， 因为当时，， 即，，方程无解； 当时，， 即，，不适合题意， 所以原命题为真命题，故其否定为假命题. 6.答案： 解析：对，恒成立，即恒成立， 即， . 六、课后练习 1.答案：C 解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，则原命题的否定是“，”.故选C. 2.答案：D 解析：先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论.故选D. 3.答案：B 解析：对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故A错误； 对于B，当时，满足，但是有理数，故该命题是假命题，所以该命题的否定是真命题，故B正确； 对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故C错误； 对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故D错误； 故选：B. 4.答案：D 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误; 哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”. 故选：D. 5.答案：C 解析：命题“，使得”的否定是“，”， 因此. 故选：C 6.答案：C 解析：p是假命题，q是真命题.p的否定：，，q的否定：存在一个三角形没有内切圆. 7.答案：存在一个自然数小于或等于零 解析：替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”. 8.答案： 解析：命题“存在，使得等式成立”是假命题，所以它的否定“对任意的，都有”是真命题，即，，所以或，即实数m的取值范围是. 9.答案：(1)，一元二次方程没有实根，假命题. (2)存在一个正方形不是平行四边形，假命题. (3)，，假命题. (4)任意四边形ABCD，其内角和等于，真命题. 解析：(1)，一元二次方程没有实根，假命题，因为，方程恒有根; (2)存在一个正方形不是平行四边形，假命题，因为任何正方形都是平行四边形; (3)，，假命题，因为时，; (4)任意四边形ABCD，其内角和等于，真命题. 10.答案：见解析 解析：（1）命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，是真命题. 例如，6是能被3整除的整数，且6不是奇数. （2）命题“每一个四边形的四个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”，是真命题. （3）命题“存在，的个位数字等于3”的否定是“对任意，的个位数字不等于3”，是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $$