第2章 微突破 嵌套函数的零点问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案聚焦嵌套函数零点这一高考热点，以“换元解套”为核心方法，将问题拆解为函数转化与图象分析，通过例题解析和步骤梳理构建知识网络，引导学生自主归纳零点判定与参数求解规律，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于自主诊断与思维训练设计，如设置4道强化训练题覆盖零点个数判定、参数范围等题型，结合换元转化和图象应用培养数学思维与几何直观。学案提供步骤指导与错题分析空间，助力学生自主提升，教师可通过学情精准指导，实现因材施教。

微突破　嵌套函数的零点问题 　　嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解. 嵌套函数零点个数的判定 已知f（x）＝则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　） A.3 B.5 C.7 D.8 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判断嵌套函数零点个数的主要步骤 （1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点； （2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. 提醒　抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质. 根据嵌套函数零点情况求参数 函数f（x）＝若函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数.处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合. 1.已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（f（x））－2的零点个数为（　　） A.3 B.4 C.2 D.1 2.设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　） A. B.[0，1] C. D.[1，＋∞） 3.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝[f（x）]2＋2f（x）＋m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为　　　　. 4.已知函数f（x）＝若方程f（f（x））－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围为　　　　. 答案 微突破　嵌套函数的零点问题 【例1】　B　函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B. 【例2】　[－1，＋∞） 解析：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，则a＝f（t）.在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）.易知当a＜－1时只有一个零点；当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点. 强化训练 1.A　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝0，当μ＞1时，f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1，所以－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A. 2.C　由题意知，当x＜1时，f（x）＝3x－1单调递增，当x≥1时，f（x）＝2x也单调递增，且21＝3×1－1，因此f（x）在（－∞，＋∞）内是增函数.令f（a）＝t，则有f（t）＝2t.因为函数f（x）为增函数，所以有t＝f（a）≥1.当a＜1时，由f（a）＝3a－1≥1，解得≤a＜1；当a≥1时，有f（a）＝2a≥2＞1恒成立.综上所述，a≥. 3.（－∞，－24]　解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x），则由图可知要使g（x）有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以解得m≤－24. 4.（ －1，－］　解析：因为f（f（x））－2＝0，所以f（f（x））＝2，所以f（x）＝－1或f（x）＝－（k≠0）.①当k＝0时，作出函数f（x）的图象如图1所示，由图象可知f（x）＝－1无解，所以k＝0不符合题意；②当k＞0时，作出函数f（x）的图象如图2所示，由图象可知f（x）＝－1无解且f（x）＝－无解，即f（f（x））－2＝0无解，不符合题意；③当k＜0时，作出函数f（x）的图象如图3所示，由图象可知f（x）＝－1有1个实根，因为f（f（x））－2＝0有3个实根，所以f（x）＝－有2个实根，所以1＜－≤3，解得－1＜k≤－.综上，k的取值范围是（ －1，－］. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $