第2章 微突破 抽象函数求解模型化(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案聚焦抽象函数求解模型化专题，系统梳理一次函数、幂函数、指数函数等六大初等函数模型及其对应抽象函数性质，通过模型归类构建知识网络，引导学生从具体函数特征出发自主推导抽象函数规律，形成结构化认知体系。 亮点在于模型化思维培养与分层自主学习设计，如每个例题设置常规解法与模型解法对比，配套“听课记录”空白栏引导学生反思总结，强化训练题覆盖不同难度层次。通过抽象函数与具体模型的对应训练，培养学生抽象能力与模型观念，教师可依据学生记录精准把握学情，助力个性化复习提升。

学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 微突破抽象函数求解模型化 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符 号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学 阶段所学的初等函数为背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据 题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知， 常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和 方法. 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下： 初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f(x)=x+b(k≠0) f(x±y)=f(x)土f(y)b 幂函数f(x)=x =可w13w成灯分)- 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c 指数函数f(x)=ad（a>0且a≠1) xtnf0f成ry=8 /)=f(w+f)或f)f(x)-f)或f 对数函数f(x)=logax(a>0且u≠1) (x")=mf(x) 正弦函数y=Asin ox(Ao≠0)》 f(x+y)f(x-y)=f(x)]?-[f(y)]? F0+f6m-新)f)或r+ 2 余弦函数f(x)=Ac0sOx(Ao≠0) +f-0-新0f(0 f(x)±f(y) 正切函数f(x)=tanx f(x±y)=1干f(x)f(y) 二以一次函数为模型的抽象函数 例1〔一题多解]已知函数f(x)对任意，y∈R,满足条件∫(x)十f(y)=2+f(x十y)，且当 x>0时，f(x)>2,f(3)=5,则不等式f(d-5a-5)>3的解集为 听课记录 1/7 +独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 目以二次函数为模型的抽象函数 例2 〔一题多解]已知对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足：f(x)十f(y)=∫(x十y)一y 一l,若f(1)=1,则满足f(n)=n(n∈N)的n的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 听课记录 目以幂函数为模型的抽象函数 例3 〔一题多解]已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(y)=f(x)f(y)，且f(-1)=1,f (27)=9,当0≤x<1时，f(x)∈[0,1).若a≥0且f(a十1)≤9，则a的取值范围为 听课记录 四以指数函数为模型的抽象函数 圆4〔一题多解]已知函数∫(x)对于一切实数x,y满足f(0)≠0，f(x+y)=∫(x)∫()， 且当x<0时，f(x)>1.则当x>0时，f(x)的取值范围为 听课记录 国以对数函数为模型的抽象函数 圆5〔一题多解]已知函数f(x)是定义域为(0，十∞)的增函数，满足f(4)=1,∫(xy)=∫ (x)十f(y),若f(x)+f(x一3)≤1，则x的取值范围为 2/7 ·独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 听课记录 六以余弦函数为模型的抽象函数 例6 〔一题多解]已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)+f(x一y)=f(x)f(y),f(1) 22 =1,则f()=（） A.-3 B.-2 C.0 D.1 听课记录 强化训练 1.〔一题多解]定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)十2xy,f(1)=2,则f (-3)=() A.2 B.3 C.6 D.9 2.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意1，∈R都有f(x十x2)=100f(x1)f(x2),则下列 结论一定正确的是（) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x) D.对任意m∈R,存在o∈R,使得f(x)=m 3.〔多选]〔一题多解]已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)=f(x)十f(y),当x>0时， f(x)>0,且满足f(2)=1,则下列说法正确的是() A.f(x)为奇函数 B.f（-2)=-1 3/7 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.zxxk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.不等式f(2x)一f(x-3)>一2的解集为（一5，+∞） D.f(-2026)+f(-2025)+…+f(0)+…+f(2025)+f(2026)=2025 4.已知函数y=∫(x)对于任意实数x,y都有f(x十y)=∫(x)f(y)，当x>0时，f(x)>1,则f (x)的解析式可以是·（写出一个即可） 答案 微突破抽象函数求解模型化 【例1】{a|a<-1或a>6} 解析：法一（常规解法）设<，则一>0，.当x>0时，∫(x)>2,f(一)>2，则f(x) =f孔(3-x)+x]=f(-x)+f()一2>2+f()-2=f(),即f()>f(x),f(x)为增 函数.f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f(1)-2=3f(1)-4,又f(3) =5,f(1)=3.f(d2-5a-5)>f(1),.a㎡-5a-5>1,即ad2-5a-6>0,解得不等式的解集为{a a<-1或a>6}. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=2+f(x+y)，即f(x十y)=∫(x)+∫(y)一2，可设函数f(x)= x+2(≠0)，由f(3)=5,得3k+2=5,k=1,即f(x)=x十2，满足当x>0时，f(x)>2,则不等式 f(a2-5a-5)>3可化为a2-5a-5+2>3,即a㎡2-5a-6>0,解得a<-1或a>6,故不等式的解集为{a a<-1或a>6}. 【例2】A法一（常规解法）令y=1,则f(x+1)=∫(x)+x+2,即f(x+1)-f(x)=x十2，所 以f(x)-f(x-1)=x+1,f(x-1)-f(x-2)=,…,f(2)-f(1)=3,累加得f(x)-f(1)= X+3x-4,则f(x)=X（X+3)-1,所以f()=n（n+3）-1,又财(0)=，解得n=-2或1= 2 2 2 1,又n∈N,所以n=1.故选A. 1 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=f(x+)-y-1,可设函数f(x)=22+bx-1,由f(1)=1,得 b-多故灯)=克+2-1，了m)=mp吃+-1=n部得n=-2或a=1.文eN所以n 3 1,3 =1.故选A. 4/7 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【例3】[0,2]解析：法一（常规解法) 设000名1f0)f旁)1克f X2 ),0≤1时，j0）e0.1),0克)<1，)5)，数灯m在0，+o)上 单调递增.f(27)=9,又f(3×9)=f(3)×f(9)=f(3)×f(3)×f(3)=[f(3)]3,.9=[f (3)]3,时(3)=9，f(a+1)≤9，∴f(a+1)≤f(3)，a+1≤3，即a≤2，又a≥0，故a的 取值范围为[0,2]. 由f(w)f()fy)，可设函数∫()=，由f(-1)=1,f区 ，即fx)=x,满足当0≤x<1时，f(w)∈[0,1).由f(a+1)≤9，即(a+1)≤g,即(a+1 )≤3，即a+1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0,21. 【例4】(0,1)解析：法一（常规解法）对于一切x,y∈R,f(x十y)=∫(x)f(y)且f(0) ≠0，令x=y=0,则f(0)=1,设x>0,则一x<0,f(一x)>1,又f(0)=f(x一x)=∫(x)f(一x) 1 =1,f(-W=fx)>1,0<fm)<1. 法二（模型解法）由∫(x十y)=∫(x)f(y)，可设函数f(x)=d(a>0,且a≠1)，由当x<0时，f (x)>1,结合指数函数的国象特征知0<a<1,取a=克则（①）=宁)满足题意，故当x>0时，了 (x)的取值范围为(0,1). 【例5】(3,4]解析：法一（常规解法）f(x)+f(x-3)=f孔x(x-3)]≤1=∫(4)，又f(x)是 0<x(X-3)≤4， 定义域为(0，十∞)的增函数，. x-3>0, →3<≤4，∴.x的取值范围为（3,4]. X>0 法二（模型解法）由f(y)=f(x)+f(y)，可设函数f(x)=logx(a>0,且a≠1).由f(4)=1, 得a=4,则f(x)=log4x,由f(x)+f(x-3)≤1，得log4r+log4(x-3)≤1，即log4[x(x-3)]≤1， x(x-3)≤4， 效 X一3>0，解得3<x≤4，故x的取值范围为（3,4]. x>0, 【例6】A法一（常规解法）因为f(1)=1,所以在f(x十y)+∫(x-y)=∫(x)∫(y)中，令y= 1,得f(x+1)+f(x-1)=∫(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)①，所以f(x+2)+f (x)=f(x+1)②.由①②相加，得f(x十2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3) 5/7 ·独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.zxxk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 =-f(x),所以f(x十6)=一f(x十3)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x十y)+f(x y)=f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得 f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x)，得(3)=-f(0)=-2,f (4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1 22 -1-2-1+1+2=0,根据函数的周期性知，(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=一 3.故选A. 法二（模型解法）由f(x十y)+∫(x-y)=f(x)f(y)，可设函数∫(x)=2 cos ox,由∫(1)=1，得 Tπ πX 2c0s0=1,取0=3+2，k∈Z,令k=0,得0=3，则f(x)=2c0s3满足题意，可得∫(x)的周期T 2π 22 ==6,且f1)+f(2)++f(6)=0.由于22除以6余4，所以f()寸(1)f(2)+f(3) 3 +f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 强化训练 1.C法一（常规解法）f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(-1)+6,f(0)=f(0)+f(0)+0,f (0)=0,又f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2=f(-1),所以f(-3)=6. 法二（模型解法）由f(x+y)=∫(x)+f(y)十2y,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2,得b=1, 所以f(x)=x2+x,f(-3)=6. 2.C令f(x)=10-7,因为f(x+)=10+-2,100f()f()=100X101+-4=10+-2,所以 f(x)=102满足∫（十）=100f()f().对于A,因为f(x)=102不是偶函数，故A错误；对于 B,因为f(x)=102不是周期函数，故B错误；对于C,令=x,=1,则f(x十1)=100f(x)f (1),令k=100f(1),所以存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=付(x),故C正确；对于D,因 为f(x)=102>0,故m<0时，不存在∈R,使得f(o)=m,故D错误. 3.AB法一（常规解法）对于A,令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0, 令y=一x,得到f(-x)+f(x)=∫(0)=0，即f(-x)=一f(x),所以f(x)为奇函数，故A正确： 对于B,因为f(x)为奇函数，所以f(一2)=一f(2)=一1，故B正确；对于C,设x>,x=,y=一 ,可得∫（一）=f(x)+f(一)，所以f(x)一f()=∫()+f(一)=∫（一），又因为 >,所以一>0，所以f(一3)>0，即f()>f()，所以f(x)在R上是增函数，因为f(一2) =-1,所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2,由f(2x)-f(x-3)>-2,可得f(2x)>f(x 6/7 *独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.zxxk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 3)+f(-4),所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x-7),所以2x>x-7,得到x>-7,所以f(2x)-f(x 一3)>一2的解集为（一7，十∞），故C错误；对于D,因为f(x)为奇函数，所以f(一x)十f(x)= 0,所以f(-2026)+f(2026)=f(-2025)+f(2025)=…=f(-1)+f(1)=0,又f(0)=0, 故f(-2026)+f(-2025)+…+f(0)+…+f(2025)+f(2026)=0,故D错误. 法二（模型解法）由∫(x+y)=∫(x)+f(y)，设∫(x)=c,由∫(2)=1，得∫(x)=2x,满足当x 1 >0时，f(x)>0.对于A,由f(x)=x,得∫(x)为奇函数，A正确；对于B,f(-2)=2×(-2)= -1,B正确：对于C,不等式可化为2+2>-2.解得-7，故C错误：对于D,固为∫①为奇函数。 所以f(一x)+f(x)=0,且f(0)=0,故原式=0，D错误.故选A、B. 4.f(x)=2(答案不唯一)解析：令x=0,y=1,则f(1)=f(0)f(1),又当x>0时，f(x)>1, 所以f(0)=1.任取1,3∈(0，十∞)，且<，则f(x)=f(十一x1)=f(x)f(x3一)，即 （》=一)，因为>0，即（X》>1,所以)>f),所以函羲f)在(0，+ f(x1) f(x1) ∞)上单调递增.令f(x)=2,满足f(0)=1,且f(x)在(0，+∞)上单调递增，且∫(x)f(y)= 2.2y=2y=f(x十y).所以满足条件的f(x)的解析式可以是f(x)=2. 7/7 ·独家授权侵权必究