第9章 第1节 椭 圆-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了椭圆的核心考点，涵盖定义、标准方程、离心率等知识，按概念推导、公式应用、问题解决的逻辑构建知识网络，通过探究式例题和任务设计引导学生自主推导a、b、c关系及离心率计算方法，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与真题演练结合，开篇设置基础填空题和高考真题选择题，学生可自主诊断薄弱点，培养数学思维与表达素养。每个考点配方法指导（如离心率两种解题思路）和错题归因分析，帮助学生个性化提升，教师能通过学情精准指导，实现因材施教。

第九章　圆锥曲线 第一节　椭　圆 1. 平面内到两个定点F1，F2的距离的和为定值(大于F1F2)的点的集合叫做椭圆，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形，参考下图，其他相关概念如下： 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，线段F1F2的中点O叫做椭圆的中心，椭圆与坐标轴的交点A1，A2，B1，B2叫做椭圆的顶点，A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴，OA1，OA2叫做椭圆的长半轴，OB1，OB2叫做椭圆的短半轴，OF1，OF2叫做椭圆的半焦距. 2. 如果椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别用a，b，c表示，我们从椭圆定义出发并利用其对称性(以图1为例)： (1)在椭圆上取一个特殊点A2，有，于是定义中的“定值”即为长轴长. 故如果点P为椭圆上任意一点，则有 |PF1||PF2|＝2a，……① 成立. (2)在椭圆上取一个特殊点B2，有＝2a⇒2＝2a⇒＝a⇒＝a， 将末尾的等式两边平方得到 a2＝b2＋c2，……② 上述关系式①②是在椭圆中进行各种计算的基石，是椭圆定义的升华. 3. 把中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程叫做椭圆的标准方程. 如果设椭圆长半轴长、短半轴长分别为a，b，则图1、图2中椭圆的标准方程如下： 图号 标准方程 备注 图1 ＝1 “谁大谁为a，谁小谁为b”，意思是在标准方程的两个分母里，大的那个代表a2，小的那个代表b2 图2 ＝1 4. 椭圆的离心率 如果椭圆的长半轴长和半焦距长分别用a和c表示，则椭圆的离心率e＝.离心率e刻画了椭圆的扁平程度：离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭圆越扁.由于在椭圆中a＞c＞0，所以在椭圆中有0＜e＜1. 5. 求离心率是椭圆中极为常见的题型，解题思路通常有两个： (1)由题设得出a，b之间或b，c之间的比值，再结合a2＝b2＋c2将e＝解出. (2)根据题设条件得出关于a，c的一个方程ma2＋nac＋pc2＝0(m，n，p为常数)，再两边同时除以a2，将用e代替，从而得到一个关于e的一元二次方程，解之即得. 在这两种解题思路中，第一种解题思路较为常见. 例1　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 例2　椭圆＝1的离心率为(　　) A. 3　 B. C. 　 D. 例3　如图，已知点F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点，点M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 例4　如图，已知椭圆的左、右焦点分别为点F1，F2，点P是椭圆在y轴上的一个顶点，在△PF1F2中，，求椭圆的离心率. 例5　一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　) A. 　　　 B. C. D. 一、填空题 1. 椭圆＝1的离心率是　　　　　；椭圆＝1的离心率是　　　　　.   2. 若焦点在x轴上的椭圆＝1的离心率为，则m＝　　　　　.   3. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 　　　　　.   4. 过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆标准方程为　　　　　.   二、选择题 1. (2022全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点. 若·＝－1，则C的方程为(　　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＋y2＝1 2. 椭圆＝1上一点P到一个焦点的距离为，则点P到另一个焦点的距离是(　　) A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 椭圆＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，点N是MF1的中点，则ON等于(　　) A. 4 B. 2 C. D. 8 4.(2023全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则·＝(　　) A.1 B. 2 C. 4 D. 5 5. 设椭圆的两个焦点分别为点F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. 2－ D.－1 6.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF. 若＝10，＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.过椭圆＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(点O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 8. 椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F到过顶点A(－a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 9.(2021新高考Ⅰ卷)已知点F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则·的最大值为(　　) A.13 B. 12 C. 9 D. 6 10. (多选)设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为点F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A. 当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为 C. 存在点P，使PF1⊥PF2 D. 的取值范围是[1，3] 第九章　圆锥曲线 第一节　椭　圆 典例精析 例1　把已知方程化为标准方程为＝1，于是a＝5，b＝4，c＝＝3. ∴椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，四个顶点的坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)，B2(0，4). 例2　依题意a2＝9(勿认为a2＝3，在公式a2＝b2＋c2和e＝中，a均指长半轴长)，b2＝3，∴a＝3，b＝，c＝，故离心率e＝，选C. 例3　由题设，MF1⊥F1F2，∠F1MF2＝60°，∴＝2，由椭圆的定义，＝2a，∴a.又＝tan60°，得2c＝a，整理得，选C. 例4　由题设，椭圆的焦点在x轴上，于是椭圆方程可设为＝1(a＞b＞0).∵点O是F1F2的中点，结合.又易知|PF1|＝|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a，∴，即所求离心率为. 例5　设椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距分别为a，b，c，则依题意2b＝a＋c， 又a2＝b2＋c2，将上两式联立有a2＝＋c2.整理得3a2－2ac－5c2＝0. 两边同除以a2并结合e＝得5e2＋2e－3＝0.解得e＝或e＝－1(舍去).故选B. 巩固练习 一、填空题 1.　　由椭圆方程＝1知a＝2，b＝，则e＝；由椭圆方程＝1知短半轴长为，长半轴长为，则e＝. 2. 　a＝，c＝，所以e＝，解得m＝. 3. ＝1　已知 ∴＝1为所求. 4. ＝1　椭圆＝1的焦点为(0，±4)，则所求椭圆的c＝4，可设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，则有a2－b2＝16，……①　再将点(，－)代入椭圆方程，得＝1，……②　由①②解得，a2＝20，b2＝4，则所求椭圆方程为＝1. 二、选择题 1.B　∵离心率e＝，解得，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，∴A1，A2，B为上顶点，∴B(0，b). ∴＝(－a，－b)，＝(a，－b).∵·＝－1， ∴－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＝1.故选B. 2.C　a＝2，由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴点P到另外一个焦点的距离为3. 3.A　根据椭圆方程，得长半轴a＝＝5，短半轴b＝＝3，设椭圆另一焦点为点F2. ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.∵在△MF1F2中，点N，O是MF1，F1F2的中点，∴根据中位线定理得|ON|＝|MF2|＝×8＝4. 4.B　方法一：∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan45°＝1＝×·，∴·＝2.故选B. 方法二：∵·＝0，∴∠FP1F2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， ∴＝42＝16，又＝2a＝2，平方得 ＋2＝16＋2＝20，∴·＝2.故选B. 5.D　设椭圆的标准方程为＝1，依题意可得点P的坐标为，∵△PF1F2为等腰直角三角形，∴＝2c，即＝2c，a2－c2－2ac＝0，化简可得1－e2－2e＝0(0＜e＜1)，解得e＝－1. 6.B　在△ABF中由余弦定理得－2cos∠ABF，解得＝6，设椭圆另外一个焦点为点Q，由椭圆的对称性有，由椭圆定义，＝2a，∴2a＝14，a＝7. 又由勾股定理的逆定理，△ABQ为直角三角形，于是＝10，∴c＝5，故e＝. 7.C　由题意可知，点P的纵坐标为，故P，∵OP与AB平行，∴kOP＝kAB，又B(0，b)， A(a，0)，于是，整理得b＝c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，故e＝. 8.A　依题意得，直线AB的方程为＝1， 即bx－ay＋ab＝0，设点F(－c，0)到直线AB的距离为d， ∴d＝，∴5a2－14ac＋8c2＝0，∴8e2－14e＋5＝0，∵e∈(0，1)，∴e＝或e＝(舍去). 9.C　由题得，a2＝9，b2＝4，则＝2a＝6，∴·≤＝9(当且仅当＝3时，等号成立)，故选C. 10.ABD　由椭圆方程可知，a＝2，b＝，从而c＝＝1. 据椭圆定义，＝2a＝4，又＝2c＝2， ∴△PF1F2的周长是6，A项正确. 设点P(x0，y0)(y0＞0)，∵＝2， 则·y0＝y0. ∵0＜y0≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B项正确. 当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大. 此时，＝a＝2，又＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，∴不存在点P，使PF1⊥PF2，C项错误. 当点P为椭圆C的右顶点时，取最大值，此时＝a＋c＝3； 当点P为椭圆C的左顶点时，取最小值，此时＝a－c＝1，∴∈[1，3]，D项正确，故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $