第2章 第12节 函数模型的应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数模型应用专题，涵盖指数、对数、幂函数增长差异及现实含义，按“图象刻画—已知模型—构建模型”逻辑构建知识网络，通过问题链和任务驱动引导学生自主归纳函数性质与应用规律，形成完整认知体系。 亮点在于诊断性练习与分层指导设计，如开篇散点图模型选择、正方形动点面积图象分析等自测题，培养学生用数学眼光观察变化规律的能力。真题演练结合2024北京高考题等实例，指导用数学思维推理模型参数，用数学语言表达实际问题的函数关系，助力学生自主诊断薄弱点，教师可依学情精准辅导，提升备考实效。

第12节　函数模型的应用 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实含义. 3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 　　 用函数图象刻画变化过程 　三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　　 y＝ax （a＞1） y＝logax （a＞1） y＝xα （α＞0） 在（0，＋∞） 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与　　平行 随x的增大逐渐表现为与　　平行 随α值的变化而各有不同 在一次实验中，某小组测得一组数据（xi，yi）（i＝1，2，…，11），并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用函数图象刻画变化过程的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 练1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是（　　） 已知函数模型解决实际问题 　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0） 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 幂函数模型 f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠0） （1）（2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（　　） A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.＝ D.＝ （2）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝·，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（　　） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知函数模型解决实际问题的关键 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； （2）根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数； （3）利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 练2 （1）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：天）近似满足函数关系式μ（t）＝λ＋0.05（λ∈R），则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6）（　　） A.32天 B.33天 C.34天 D.35天 （2）（2026·湖北襄阳模拟）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t∈N*）满足s＝当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝（　　） A.6　　　　B.7 C.8　　　　D.9 构建函数模型解决实际问题 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85％，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23）（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 构造函数模型解决实际问题的步骤 建模 抽象出实际问题的数学模型 推理、演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解 评价、解释 对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 练3 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P（单位：万元）与投入a（单位：万元）满足P＝3－6，乙城市收益Q（单位：万元）与投入A（单位：万元）满足Q＝A＋2，则投资这两座城市收益的最大值为　　　　万元. 提示：完成课后作业　第二章　第12节 双休检测6 答案 第12节　函数模型的应用 考点一 y轴　x轴 【例1】　B　由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 练1　D　依题意知，当0≤x≤4时，f（x）＝2x；当4＜x≤8时，f（x）＝8；当8＜x≤12时，f（x）＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求. 考点二 【例2】　（1）D　（2）B　解析：（1）由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝. （2）设火星的公转周期为T1，椭圆轨道的长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，椭圆轨道的长半轴长为a2，则T1＝8T2，且得＝＝8，所以＝4，即a1＝4a2. 练2　（1）C　（2）B　解析：（1）依题意可知当t＝0时，μ（t）＝6.05，即6.05＝λ＋0.05，解得λ＝6，所以μ（t）＝6＋0.05，由μ（t）＝6＋0.05≤0.1，得≤，即－≤ln，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天. （2）由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y＝ ＝当t＜8时，2t＋≥28，当且仅当t＝7时，等号成立，则－2t－＋50≤22，所以当t＝7时，取得最大值，且最大值为22.当t≥8时，－t2＋10t－2＝－（t－5）2＋23，所以函数在[8，＋∞）上单调递减，所以当t＝8时，取得最大值，且最大值为14，故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝7. 提能点 【例3】　C　设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又log0.850.3＝＝＝＝≈7.4，所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 练3　44　解析：设甲城市投资a万元，则乙城市投资（120－a）万元，由题意可知解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，则有y＝3－6＋（120－a）＋2＝3－a＋26，令＝t⇒t∈[2，4]，则有f（t）＝－t2＋3t＋26，该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝6∈[2，4]，所以f（t）max＝f（6）＝－×（6）2＋3×6＋26＝44.故投资这两座城市收益最大值为44万元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $