专题03 函数的图象与性质10大考点（云南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 云南2026年各地二模函数专题汇编，涵盖10大考点，以扎染方巾销售、野生菌采购等地方特色情境设计问题，注重函数性质应用与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比超60%|一次函数与实际问题、二次函数综合|结合云南特产（普洱茶、鲜花饼）设计利润最值问题，体现应用意识| |选择填空|基础题为主|平面直角坐标系、反比例系数k的几何意义|融入恺撒密码、机器人队形等创新情境，考查抽象能力|

专题03 函数的图象与性质 10大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02求自变量的取值范围 考点03 一次函数的图象与性质 考点04一次函数与实际问题 考点05 反比例函数的图象与性质 考点06 反比例系数k的几何意义 考点07 二次函数的图象与性质 考点08 二次函数与实际问题 考点09 二次函数图象与各项系数的关系 考点10 二次函数综合 平面直角坐标系 考点01 1．（2026 云南昆明 二模）已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026 云南楚雄 二模）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点M的坐标为_____． 3．（2026 云南丽江 二模）点到轴的距离为______． 4．（2026 云南大理 二模）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 5．（2026·云南曲靖·二模）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示． “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是__________． 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“”，左起奇数位密钥为，偶数位密钥为． 信息二：密钥隐于坐标：已知点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5． 6．（2026·云南楚雄·二模）信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为________． 7．（2026 云南红河 二模）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为______ ． 求自变量的取值范围 考点02 1．（2026·云南大理·二模）函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南楚雄·二模）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量的取值范围是_______． 4．（2026·云南楚雄·二模）函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一次函数的图象与性质 考点03 1．（2026·云南临沧·二模）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昭通·二模）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南临沧·二模）图1是变量与变量的函数关系图象，图2是变量与变量的函数关系图象，则变量与变量的函数关系图象可能是（   ） A．B． C． D． 4．（2026·云南昭通·二模）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 5．（2026·云南文山·二模）如图，直线与直线相交于点，直线过点，则关于的不等式 的解集为（   ）    A． B． C． D． 6．（2026·云南文山·二模）将函数的图象向下平移2个单位长度后，其对应的函数关系式为_______． 一次函数与实际问题 考点04 1．（2026·云南普洱·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： (1)任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ (2)任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 2．（2026·云南临沧·二模）阅读以下素材，完成任务挑战． 如何制订扎染方巾的销售方案 素材1 云南白族扎染是国家级非物质文化遗产的代表性项目之一，这项技艺以其独特的蓝白图腾和天然植物染色工艺闻名．大理某旅游景点的一家服饰店正在销售一款扎染方巾，成本价为80元/件． 素材2 据调查发现：该店每天销售这款扎染方巾的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足如图所示的函数关系：    素材3 现受市场因素的影响，该款扎染方巾的销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍． 任务挑战 (1)任务1：确定销售量模型 求该店每天销售这款扎染方巾的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (2)任务2：拟定最优方案 当这款扎染方巾的销售单价定为多少元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 3．（2026·云南曲靖·二模）云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． (1)任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； (2)任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 4．（2026·云南楚雄·二模）商店计划从工厂购进大号、中号两种型号的春晚吉祥物“龙辰辰”．已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元． (1)求大号、中号两种型号“龙辰辰”的进价． (2)该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价为70元/个，中号“龙辰辰”的定价为60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 5．（2026·云南保山·二模）云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元． (1)求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； (2)若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 6．（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 7．（2026·云南临沧·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 8．（2026·云南曲靖·二模）某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． (1)求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； (2)若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 9．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 反比例函数的图象与性质 考点05 1．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 3．（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南临沧·二模）若点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则k的值为（     ） A．8 B． C．2 D． 5．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南白族自治区·二模）已知与成反比例，且当时，，则该函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 8．（2026·云南保山·二模）已知反比例函数，写出该函数图象经过的一个点为______． 9．（2026·云南楚雄·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么k的值是________． 10．（2026·云南昆明·二模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 反比例系数k的几何意义 考点06 1．（2026·云南昭通·二模）如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·云南昆明 二模）如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南临沧 二模）如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 4．（2026·云南·二模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 5．（2026·云南昆明·二模）如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南丽江 二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 7．（2026·云南保山 二模）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（　　） A．2个不相等的实数根 B．2个相等的实数根 C．1个实数根 D．无实数根 8．（2026·云南昭通·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则________． 二次函数的图象与性质 考点07 1．（2026·云南大理·二模）已知抛物线，该抛物线经过点． (1)求的值； (2)将该函数的图象沿着轴平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是35，求平移的距离． 2．（2026·云南丽江·二模）已知m是不为0常数，函数，记． (1)当，求抛物线的顶点坐标． (2)当抛物线经过点时，比较T与的大小． 3．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线（，，为常数，）． (1)若拋物线的对称轴为直线，试说明； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为和，且，，求证：． 4．（2026·云南曲靖·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． (1)求的值； (2)若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 5．（2026·云南楚雄·二模）已知抛物线，直线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求该抛物线的解析式． (2)若抛物线与直线只有一个交点，求代数式的值． 6．（2026·云南楚雄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线记为，将抛物线记为，与合起来的图象记为．对于上的两点和，当，时，总有，求的取值范围． 7．（2026·云南楚雄·二模）已知二次函数（，是实数，）． (1)求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点． (2)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 8．（2026·云南临沧·二模）设抛物线（实数为常数且）的图象为图象． (1)求证：图象与轴总有两个公共点； (2)点，均在抛物线上，且为整数，若的值为整数，求点的坐标． 9．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 二次函数与实际问题 考点08 1．（2026·云南昆明·二模）某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品去年每个月的销售情况后发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品去年第（为整数）个月每台的销售价格为元，关于的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数解析式； (2)设该产品去年第个月的销售数量为万台，且．求第几个月的销售收入最多？最多为多少万元？ 2．（2026·云南楚雄·二模）某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 3．（2026·云南昭通·二模）春暖花开，昭通樱桃上市啦！为了把家乡的优质水果推向市场，某创业实践小组决定开展“爱心助农”推广活动． 【已知信息】 ①该批次樱桃的进货成本为12元／千克．结合市场监督要求规定售价不低于进货成本，也不高于30元每千克． ②市场调研发现，销售量（千克）与销售单价（元）呈一次函数关系． ③该小组记录了前3天的销售数据： 20 25 30 60 50 40 【任务挑战】 请你作为团队的“首席定价策划师”，解决以下问题： (1)【数据分析·构建模型】请根据表格数据，求出日销售量与销售单价之间的函数关系式． (2)【利润优化·数学建模】为了获得最大的利润以支持公益活动，该小组需要制定最佳的售价方案．请求出该小组销售樱桃所获得的总利润（元）与销售单价之间的函数关系式并分析：当销售单价定为多少元时，该项目能获得的最大日利润是多少？ 4．（2026·云南曲靖·二模）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 5．（2026·云南楚雄·二模）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价元 50 60 70 月销量台 90 80 70 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 二次函数图象与各项系数的关系 考点09 1．（2026·云南楚雄·二模）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·云南昆明·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2026·云南文山·二模）如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 4．（2026·云南红河·二模）如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤当时，不等式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二次函数综合 考点10 1．（2026·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．已知点从点运动到的过程中，的长随长的增大而增大，求的取值范围． 2．（2026·云南曲靖·二模）如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·云南昭通·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·云南临沧·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 6．（2026·云南·二模）如图，抛物线与轴交于，且对称轴是直线，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴，与抛物线交于点．求的面积； (3)如图，点是抛物线上位于对称轴左侧轴上方的一个动点，且点横坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，四边形的周长为：  ①求关于的函数解析式；  ②如图，当周长最大时，点，的位置分别记为，，将抛物线平移，使其顶点始终在直线上，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求的值． 4/18 5/18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的图象与性质 10大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02求自变量的取值范围 考点03 一次函数的图象与性质 考点04一次函数与实际问题 考点05 反比例函数的图象与性质 考点06 反比例系数k的几何意义 考点07 二次函数的图象与性质 考点08 二次函数与实际问题 考点09 二次函数图象与各项系数的关系 考点10 二次函数综合 平面直角坐标系 考点01 1．（2026 云南昆明 二模）已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，利用该规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， 点关于x轴对称的点为． 2．（2026 云南楚雄 二模）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点M的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标特征，熟练掌握x轴上的点的坐标特征是解题的关键．因为点在x轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 则， 故答案为：． 3．（2026 云南丽江 二模）点到轴的距离为______． 【答案】2 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求得点P到x轴的距离． 【详解】解：点到轴的距离是2， 故答案为：2． 4．（2026 云南大理 二模）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：由题意作出平面直角坐标系， 故点的坐标是．    故选A． 5．（2026·云南曲靖·二模）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示． “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是__________． 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“”，左起奇数位密钥为，偶数位密钥为． 信息二：密钥隐于坐标：已知点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5． 【答案】 【详解】解：∵点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5， ∴，， ∴奇数位密钥，偶数位密钥， 密文是“”，共8位， 奇数位(1、3、5、7位)用密钥解密， 偶数位(2、4、6、8 位)用密钥解密； 1．第1位：r(第 18个字母)，密钥； 2．第2位：d(第4个字母)，密钥； 3．第3位：y (第 25个字母)，密钥； 4．第4位： k(第 11 个字母)，密钥； 5．第5位： q(第17个字母)，密钥； 6．第6位：r(第18个字母)，密钥； 7．第7位：a(第1个字母)，密钥； 8．第8位：h(第8个字母)，密钥； 将解密后的字母依次组合：． 6．（2026·云南楚雄·二模）信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．先根据点，的坐标建立平面直角坐标系，再结合图形得出答案． 【详解】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系 由图可知机器人的坐标是， 故答案为：． 7．（2026 云南红河 二模）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为______ ． 【答案】 【分析】根据点在第二象限和第二象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式组，从而可以得到的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 由得：， 由得：， 解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组． 求自变量的取值范围 考点02 1．（2026·云南大理·二模）函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数，函数才有意义， ∴， 解得． 2．（2026·云南楚雄·二模）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，分析原式，即可得出答案． 【详解】解：函数有意义， ， ， 故选：A． 3．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 4．（2026·云南楚雄·二模）函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故选B． 5．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件；根据分式有意义的条件：分母不为0，即可求解． 【详解】解：由题意知：， 即； 故选：A． 一次函数的图象与性质 考点03 1．（2026·云南临沧·二模）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 2．（2026·云南昭通·二模）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的函数值y随x的增大而增大，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的函数值y随x的增大而增大， 得到， 解得． 故选：C． 3．（2026·云南临沧·二模）图1是变量与变量的函数关系图象，图2是变量与变量的函数关系图象，则变量与变量的函数关系图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象及函数自变量的取值范围，能根据题意得出一次函数及正比例函数解析式中各系数的正负是解题的关键． 根据所给函数图象，分别设出一次函数及正比例函数的解析式，得出各系数的正负，最后得出与之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令图1中直线的函数解析式为， 则，， 令图2中的直线的函数解析式为， 则， ∴． ∵，， ∴关于的函数图象经过第一、二、四象限， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 4．（2026·云南昭通·二模）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 5．（2026·云南文山·二模）如图，直线与直线相交于点，直线过点，则关于的不等式 的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就可求关于的不等式的解集． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， ， ， 关于的不等式的解集是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求得两函数图象的交点坐标． 6．（2026·云南文山·二模）将函数的图象向下平移2个单位长度后，其对应的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移法则上加下减可得出解析式． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后， 其对应的函数关系式为：， 故答案为：． 一次函数与实际问题 考点04 1．（2026·云南普洱·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： (1)任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ (2)任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】(1)买支郁金香需要元，买支满天星需要元 (2)费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元 【分析】（1）根据“买支郁金香和支满天星共需元”“支满天星的价格比支郁金香的价格多元”，设未知数并列出二元一次方程组，求解得到两种花的单价； （2）设购买郁金香的数量为支，根据“郁金香和满天星共支”表示出满天星的数量，结合单价列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性以及“郁金香不超过支”的限制条件，求出费用的最小值及对应的购买方案． 【详解】（1）解：设买支郁金香需要元，买支满天星需要元， 根据题意得， 解得， 答：买支郁金香需要元，买支满天星需要元； （2）解：设小明买支郁金香，则买支满天星．买这两种花的总费用为元， 根据题意，得， ， 随的增大而减小， ，且， 当时，取最小值，最小值为， 此时， 答：费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元． 2．（2026·云南临沧·二模）阅读以下素材，完成任务挑战． 如何制订扎染方巾的销售方案 素材1 云南白族扎染是国家级非物质文化遗产的代表性项目之一，这项技艺以其独特的蓝白图腾和天然植物染色工艺闻名．大理某旅游景点的一家服饰店正在销售一款扎染方巾，成本价为80元/件． 素材2 据调查发现：该店每天销售这款扎染方巾的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足如图所示的函数关系：    素材3 现受市场因素的影响，该款扎染方巾的销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍． 任务挑战 (1)任务1：确定销售量模型 求该店每天销售这款扎染方巾的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (2)任务2：拟定最优方案 当这款扎染方巾的销售单价定为多少元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)销售单价定为120元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润为2400元 【分析】（1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先列出关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设（）， ∵图象过，， ∴ 解得 由题意得， （）； （2）解：由题意得， ． ， ∴开口向下， ∵当时，随的增大而增大， ∴当时， 元． 答：销售单价定为120元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润为2400元． 3．（2026·云南曲靖·二模）云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． (1)任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； (2)任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 【答案】(1)“特级松茸”的单价为元/，“一级牛肝菌”的单价为元/． (2)共有种采购方案，需要的最少费用是元． 【分析】（1）设两种野生菌的单价为未知数，根据题干给出的总花费和差价关系列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）先根据数量限制条件列出不等式组，得到采购特级松茸质量的取值范围，再根据为正整数的条件化简，得到符合条件的的取值，最后列出总费用的一次表达式，根据一次函数的单调性求出最少费用． 【详解】（1）解：设“特级松茸”单价为元/，“一级牛肝菌”单价为元/． 根据题意得： ， 化简得： ， 解得 ， 答：“特级松茸”单价为300元/，“一级牛肝菌”单价为100元/． （2）解：设第二次采购特级松茸 kg，则第二次采购一级牛肝菌 ． 两次采购后，特级松茸总质量为 ，一级牛肝菌总质量为 ． 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式： 解得： 解第二个不等式： 解得： 即． 由题意，为正整数，化简： 因此为正整数， 设，为正整数，则． 代入得： 解得，即约． 因为是正整数，所以或． 对应或，均满足条件，因此共有2种采购方案． 设总采购费用为元， 根据题意得： 因为，所以随的减小而减小， 当时，取得最小值． （元） 答：共有2种采购方案，需要的最少费用是元． 4．（2026·云南楚雄·二模）商店计划从工厂购进大号、中号两种型号的春晚吉祥物“龙辰辰”．已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元． (1)求大号、中号两种型号“龙辰辰”的进价． (2)该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价为70元/个，中号“龙辰辰”的定价为60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号“龙辰辰”的进价为55元，中号“龙辰辰”的进价为40元 (2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是1100元 【分析】（1）设大号“龙辰辰”的进价为a元，中号“龙辰辰”的进价为b元．根据2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元列方程组求解即可； （2）设购进大号“龙辰辰x个，利润为w元，求出w的函数解析式，根据大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半求出x的取值范围，进而根据一次函数的性质作答． 【详解】（1）解：设大号“龙辰辰”的进价为a元，中号“龙辰辰”的进价为b元， 依题意，得， 解得， 答：大号“龙辰辰”的进价为55元，中号“龙辰辰”的进价为40元； （2）解：设购进大号“龙辰辰”x个，利润为w元，则购进中号“龙辰辰”个， 依题意，得． ， 随着x的增大而减小． ∵大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半， ， 解得． ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是1100元． 5．（2026·云南保山·二模）云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元． (1)求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； (2)若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 (2)购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【分析】（1）通过列二元一次方程组求出两种产品的单位利润； （2）先列出总利润关于进货量的一次函数，再根据题目限制条件求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出最大利润． 【详解】（1）解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 由题意得， 解得， 故每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元． （2）解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，销售总利润为元， 由题意得， ∵普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的， ， 解得， ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时，鲜花饼的数量为（盒）， 故购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 6．（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 【答案】(1) (2)48000元 【分析】（1）设与的函数解析式为，由题意得：，求解即可； （2）根据题意，得，根据二次函数的最值求解即可； 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 由题意得：， 解得：， 与的函数解析式为； （2）解：由（1）得：， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，元 7．（2026·云南临沧·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【答案】(1)甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克 (2)租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克 【分析】（1）设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克， 由题意，得解得 答：甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克； （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克， 由题意，得， ∵总租金不超过3000元， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（千克）， 此时，乙型无人机的数量为（架）， 答：租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克． 8．（2026·云南曲靖·二模）某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． (1)求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； (2)若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 【答案】(1)每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元 (2)采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 为 9250元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键． （1）设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，根据购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可； （2）设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可． 【详解】（1）解：设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元， 由题意得， 解得， 答：每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元； （2）解：设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元， 由题意得， ∵T型设备数量不超过R型数量的， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ，最低 为 9250元． 9．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 【答案】(1)当时， (2)到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元 【分析】（1）根据函数图象和x的取值范围，用待定系数法，即可求解； （2）设日销售额为W元，分别求出当和时，W关于x的解析式，根据函数的性质求出最大值，比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，； 当时，设函数解析式为， 过点和， ，解得， ， 综上所述：当时，； （2）解：设日销售额为W元， 当时，，，， ，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）； 当时，，， ， ，开口向下，对称轴为直线，即时，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）， ， 到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元． 反比例函数的图象与性质 考点05 1．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵反比例函数图象经过点． ∴． 又∵点也在反比例函数图象上． ∴． 解得． 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵ ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限 3．（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果. 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象分布在第二、四象限 ， ∴ 根据反比例函数的图象性质可得 ． 4．（2026·云南临沧·二模）若点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则k的值为（     ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入解析式，得，解得 即的值为． 5．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 6．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 7．（2026·云南白族自治区·二模）已知与成反比例，且当时，，则该函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题关键． 根据反比例函数的定义设，利用待定系数法求解． 【详解】解：∵与成反比例函数， 设， 把代入，解得：， 所以该函数表达式是． 故选：C． 8．（2026·云南保山·二模）已知反比例函数，写出该函数图象经过的一个点为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，只需找出横纵坐标乘积为的点即可． 【详解】解：令，代入得， ∴点在该反比例函数图象上． 9．（2026·云南楚雄·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么k的值是________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于的一元一次方程，再解方程即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， ， 解得：． 10．（2026·云南昆明·二模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3) 证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）略 反比例系数k的几何意义 考点06 1．（2026·云南昭通·二模）如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】因为平行于x轴，且，所以与平行且相等，四边形是平行四边形，设点A的坐标为，因为A在反比例函数上，所以满足，根据平行四边形面积公式，结合长度等于点A的横坐标，长度等于点A的纵坐标，可建立面积与k的关系． 【详解】∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， 设点坐标为， ∵在上， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， 且平行四边形的高等于的纵坐标， ∴， 解得． 2．（2026·云南昆明 二模）如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知， ∴，即， 又∵反比例函数的图像在二、四象限， ∴，即． ∴反比例函数的解析式是． 3．（2026·云南临沧 二模）如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2026·云南·二模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 5．（2026·云南昆明·二模）如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质及k的几何意义．作轴于，根据等边三角形的性质求出的面积，即可得到k值． 【详解】解：作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：A． 6．（2026·云南丽江 二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，首先求出，，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∴，， ∵轴， ∴． 故选：A． 7．（2026·云南保山 二模）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（　　） A．2个不相等的实数根 B．2个相等的实数根 C．1个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，可得，再由反比例函数比例系数的几何意义，可得，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， ∵A、P关于原点成中心对称，轴，轴，的面积大于12， ∴， 即， ∴． ∴， ∴关于x的方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义， 一元二次方程根的判别式，根据反比例函数比例系数的几何意义得到是解题的关键． 8．（2026·云南昭通·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则________． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 根据比例系数k的几何意义得到，然后即可计算出． 【详解】解：根据题意得 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 二次函数的图象与性质 考点07 1．（2026·云南大理·二模）已知抛物线，该抛物线经过点． (1)求的值； (2)将该函数的图象沿着轴平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是35，求平移的距离． 【答案】(1) 1 (2) 平移的距离为2或4 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时；当时；当时三种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）得：二次函数为， ∴设平移后得到的新函数为，其中为平移量（表示向右平移；表示向左平移）， ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或， ∴或； ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去； ③当时，即， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去； 综上，或， ∴向右平移4个单位或向左平移2个单位时，新函数在的最大值是35，即平移的距离为2或4． 2．（2026·云南丽江·二模）已知m是不为0常数，函数，记． (1)当，求抛物线的顶点坐标． (2)当抛物线经过点时，比较T与的大小． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)当时， ；当时， 【分析】（1）将代入抛物线解析式并化为顶点式，即可解答； （2）将点代入抛物线，得到，继而化简，得，由，求出，分类讨论：当时， 当时， 逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当抛物线经过点时， ， ∴， ∴ ． ∵， ∴， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴． 3．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线（，，为常数，）． (1)若拋物线的对称轴为直线，试说明； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为和，且，，求证：． 【答案】(1)证明：抛物线的对称轴为直线， ， ； (2)证明：∵抛物线与轴的两个交点分别为和，且， ∴由根与系数的关系得：，， ， ， ， ， ，解得， ， ． 【分析】（1）根据拋物线对称轴的公式及拋物线的对称轴为直线，得到等量关系，化简即可； （2）由根与系数的关系得：，，进而得，再由，，得，最后，将，，代入等式左边进行化简证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·云南曲靖·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． (1)求的值； (2)若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 【答案】(1) (2) 或或 【分析】（1）把原点的坐标代入解析式即可求出的值； （2）把点与的坐标代入二次函数中，可得：或，从而可得：或或，分情况代入求值即可． 【详解】（1）解：二次函数（常数）的图像经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知二次函数的解析式为 点与在二次函数, 可得：， 可得：， 整理得：， 可得：， 或， 可得：， 整理得：， 当时， 可得：， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：或， 当时， 可得：； 当时， 可得：； 当时， 可得：； 综上所述，或或． 5．（2026·云南楚雄·二模）已知抛物线，直线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求该抛物线的解析式． (2)若抛物线与直线只有一个交点，求代数式的值． 【答案】(1) (2)211 【分析】（1）结合抛物线的对称轴为直线进行列式计算，即可作答． （2）根据抛物线与直线只有一个交点，得出，即，再整理得出，最后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，对称轴为直线， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，联立， 得， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·云南楚雄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线记为，将抛物线记为，与合起来的图象记为．对于上的两点和，当，时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或 【分析】（1）将代入可得答案； （2）在平面直角坐标系中作出抛物线和，再求出与轴交于点，与轴交于点，分两种情况：①当点在轴右侧和点之间时，总有，并 根据可得，，然后求出解集；②当点在点的左侧时，总有，并结合可得，求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意，将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：根据题意在平面直角坐标系中作出抛物线和，如图1， 当时，或， ∴与轴交于点，与轴交于点， 时，． ①当点在轴右侧和点之间时，总有． ． ， ，， 解得； ②当时，代入得， 解得或． 结合图象可知应舍去． 当点在点的左侧时，总有． ， ， ， ． 综上，的取值范围是或． 7．（2026·云南楚雄·二模）已知二次函数（，是实数，）． (1)求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点． (2)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为 【分析】（1）要证明二次函数的图象与轴有两个不同的交点，只需证明其对应的一元二次方程的判别式，将函数系数代入判别式公式，结合平方的非负性即可完成证明； （2）先将已知点代入二次函数解析式，得到与的等量关系；再根据 “时，总有随的增大而减小”的条件，结合二次函数的开口方向和对称轴位置，确定、的取值范围；最后将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质在取值范围内求出最小值即可． 【详解】（1）证明：令，得一元二次方程， ， ， ， ∴， 又∵， ∴，即， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数的图象与轴一定有两个不同的交点； （2）解：∵图象过点， ，即， 时，总有随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在轴左侧或与轴重合，即，且对称轴， ， 将代入，得 ， ∵该式是关于的二次函数，二次项系数，开口向上，对称轴为， ∴当时，的值随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为−， 的最小值为． 8．（2026·云南临沧·二模）设抛物线（实数为常数且）的图象为图象． (1)求证：图象与轴总有两个公共点； (2)点，均在抛物线上，且为整数，若的值为整数，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为：或或或 【分析】（1）求得判别式并分解得到平方，得到判别式大于0即可证明； （2）由点在抛物线上，可得．则，由在抛物线上，为整数， 的值为整数，可得或或或．则可分别求b的值，可得点的坐标． 【详解】（1）证明： ． ， ． 图象与轴总有两个公共点． （2）解：点在抛物线上， ． ． ， 点在抛物线上， ． ． 的值为整数，且为整数， 或或或． 或或或． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 或或或 综上所述，点的坐标为：或或或． 9．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据垂线的定义得到，可知，根据可知四边形是平行四边形； （2）先证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而可知平行四边形是菱形，得到，根据三角函数得到，根据菱形面积公式即可求出与的函数关系式． 【详解】（1）证明：中，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：中，，， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形 ， 中，， ， 四边形的面积y与x的函数关系式为． 二次函数与实际问题 考点08 1．（2026·云南昆明·二模）某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品去年每个月的销售情况后发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品去年第（为整数）个月每台的销售价格为元，关于的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数解析式； (2)设该产品去年第个月的销售数量为万台，且．求第几个月的销售收入最多？最多为多少万元？ 【答案】(1)与的函数解析式为 (2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【分析】（1）根据函数图象，分段求得解析式，即可求解； （2）设月销售收入为万元，分情况讨论，①当时，②当时，根据题意列出函数关系式，根据函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，设与的函数解析式为， 图象过点，， ，解得：． 当时，． ②当时，． 答：与的函数解析式为． （2）解：设月销售收入为万元， ①当时，， ． ，， 当时，最大，且的最大值为3375． ②当时，，. ， 随的增大而增大． 又， 当时，最大，且的最大值为3300． ， 的最大值为3375． 答：第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 2．（2026·云南楚雄·二模）某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元 【分析】（1）将点与点代入函数解析式求解即可； （2）先表示出日销售利润与售价x之间的函数关系式，再由二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， ∵点与点在函数图象上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：设该枇杷的售价为a元/千克时，日销售利润为w元， 根据题意得， ∵，函数图象开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1800元， 答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元． 3．（2026·云南昭通·二模）春暖花开，昭通樱桃上市啦！为了把家乡的优质水果推向市场，某创业实践小组决定开展“爱心助农”推广活动． 【已知信息】 ①该批次樱桃的进货成本为12元／千克．结合市场监督要求规定售价不低于进货成本，也不高于30元每千克． ②市场调研发现，销售量（千克）与销售单价（元）呈一次函数关系． ③该小组记录了前3天的销售数据： 20 25 30 60 50 40 【任务挑战】 请你作为团队的“首席定价策划师”，解决以下问题： (1)【数据分析·构建模型】请根据表格数据，求出日销售量与销售单价之间的函数关系式． (2)【利润优化·数学建模】为了获得最大的利润以支持公益活动，该小组需要制定最佳的售价方案．请求出该小组销售樱桃所获得的总利润（元）与销售单价之间的函数关系式并分析：当销售单价定为多少元时，该项目能获得的最大日利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为30元时，利润取得最大，为720元 【分析】（1）设函数关系式为，将和代入计算、的值得与之间的函数关系式； （2）列出利润和销售单价之间的函数关系式，结合时，函数增减性求出最值即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 由题意得， ，   解得， ； （2）解：由题意得：， ，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当售价为30元时，利润取得最大，为720元． 4．（2026·云南曲靖·二模）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)每件商品的售价应定为40元 (2)商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的关系式，再根据总利润（售价进价）销售量建立方程求解即可； （2）根据总利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与之间函数关系式为， 把和代入中得： 解得， 与之间函数关系式为； 根据题意，得，即， 整理得， 解得，（舍去）． 答：每件商品的售价应定为40元． （2）解：由题意得：． ， ∴当时，w有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 5．（2026·云南楚雄·二模）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价元 50 60 70 月销量台 90 80 70 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为80元时，最大月利润为2400元． 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及二次函数的性质， 根据题意设，将和求解，注意函数x的取值范围即可； 根据利润为销量乘以售价减去进价得到二次函数，化为顶点式，求最值时注意x的取值范围即可； 【详解】（1）解：设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为， 把和代入得 ， 解得， ∴； ∵销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴， 则； （2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元， 根据题意得， ∵ ∴开口向下，越靠近对称轴所对应的值越大， ∵， ∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大， 此时 即最大月利润为2400元． 二次函数图象与各项系数的关系 考点09 1．（2026·云南楚雄·二模）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，，再由可知；当时，函数有最大值；再由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确，符合题意；    ∵抛物线的对称轴，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值． ∴为任意实数， ∴为任意实数，故③正确，符合题意； ④∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 将点代入， ∴． ∴．， 过点Q作轴交于点P， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴当时，的面积最大， 故④正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 3．（2026·云南文山·二模）如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴与的函数值相等，即：，故②正确； ∵点关于的对称点为， ∴当时，或；故③正确； ∵图象过点，， ∴， ∴；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， 即：， ∴；故⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤； 故选：D． 4．（2026·云南红河·二模）如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤当时，不等式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． ①观察图象发现对称轴在y轴的右侧可判断a、b符号，同理根据抛物线与y轴的位置关系可判断c的符号，即可得出结论； ②根据抛物线的对称性找出兑成点即可得出结论． ③根据抛物线与x轴交点的个数判断时根的情况，再根据判别式即可得出结论． ④由图象可知当时开口向上有最小值，结合图象不难发现当有最小值，再将代入函数解析式得出从而进行比较即可得出结论． ⑤观察图象发现时，抛物线在负半轴可判断，即． 【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向上， ∴，， ∴． 又∵抛物线交y轴于负半轴． ∴，即，故①错误； ②由图象可知：对称轴且与x轴的一个交点是， 另一个交点坐标为． 当时，． 即，即，故②正确． ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根． ∴． 即，故③错误． ④由图象知：当有最小值，当时． ∴当时有， 即：，故④错误． ⑤由图象可知：时，． 即，故⑤正确． 故选A． 二次函数综合 考点10 1．（2026·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．已知点从点运动到的过程中，的长随长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）把点代入，进行求解即可； （2）根据题意，得到关于的二次函数，分和两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得： ， 整理得； （2） 解：由（1）得抛物线解析式为， ∵过点作x轴垂线， ∴，， ∴， 分两种情况讨论： 当时， 令，则， ∴当时，直线在抛物线的上方， ∵点P从运动到，可得，且的长随长的增大而增大， 故此时， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴在对称轴的左侧，随（即）的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，点P从运动到，可得， 此时， ∴， ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∵，随增大而减小， ∵点P运动过程中，增大对应减小，故随减小而增大，符合要求， ∴所有都满足条件； 综上，的取值范围是或. 2．（2026·云南曲靖·二模）如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在点，使得的值最大，点的坐标为 【分析】（1）根据顶点坐标设解析式为，把代入，求出可求出抛物线解析式，令，求出的值，即可求出与轴的交点，的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设，则，可得，根据平行证明，可得，利用二次函数的性质即可求出的最大值和点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线点与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 当时，， 解得：，． ∵点在点的左侧， ∴点A，B的坐标为：，． （2）解：存在点，使得的值最大，理由如下： 如图，过点P作，交的延长线于点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：． 设点的坐标为：， ∵，且点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵时，， ∴此时点的坐标为． 3．（2026·云南昭通·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 5．（2026·云南临沧·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图图形的综合，正切值的计算，掌握待定系数法，正切值的计算方法是关键． （1）根据题意得到，把，分别代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，设，由面积的计算得到，过点作于点，如图，则，，根据正切值的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 把，分别代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ， 设， ， ， 整理得， 解得舍去，， ， 过点作于点，如图，则，， 在中，， 即的值为． 6．（2026·云南·二模）如图，抛物线与轴交于，且对称轴是直线，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴，与抛物线交于点．求的面积； (3)如图，点是抛物线上位于对称轴左侧轴上方的一个动点，且点横坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，四边形的周长为：  ①求关于的函数解析式；  ②如图，当周长最大时，点，的位置分别记为，，将抛物线平移，使其顶点始终在直线上，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的面积 (3)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出点H的坐标，再求出点B的坐标，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． （3） ①由（1）物线的对称轴为直线设点的横坐标为，由对称性可知，点的横坐标为，再得出，最后根据矩形的性质列出函数关系式即可． ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出平移后抛物线的解析式为，分两种情况：当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上，求出m取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，且对称轴是直线， ，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：的顶点为，且， ； 轴，对称轴为， 的面积． （3）解：由（1）物线的对称轴为直线设点的横坐标为， 由对称性可知，点的横坐标为， 当时，， ， 由题意可得：四边形是矩形， ， ． ， 在抛物线上， 令时，得：， 解得，， ，， 当时，取最大值，此时． 当最大时，点的坐标为由对称性可知， 设直线的解析式为：， 把点，点代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 同理由，可求得直线的解析式为， 平移过程中抛物线的顶点始终在直线上，当时，， 平移后抛物线的顶点坐标为，， 平移后抛物线的解析式为． 当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，， 整理得， ，解得：； 当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上不包括点，当在平移后的抛物线上时， ， 解得舍去，， ． 综上可知，或． 68/68 67/68 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $