第2章 第11节 函数的零点与方程的解(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数零点与方程的解专题，将零点概念、零点存在定理、二分法及零点应用等核心考点按“概念-定理-方法-应用”逻辑构建知识网络，通过问题链和任务单引导学生自主推导零点与方程解的关系，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，如设置“练1”“练2”等梯度练习题，学生可通过真题演练（如2025天津高考题）自主诊断薄弱点，结合方法指导（如零点个数判定三法）提升数学思维。每个模块配有听课记录与反思空间，帮助学生个性化构建知识体系，教师可通过学情精准指导，培养学生自主复习能力。

第11节　函数的零点与方程的解 1.了解函数的零点与方程的解的关系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 　　 函数的零点 1.概念 对于一般函数y＝f（x），我们把使　　　　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　　　　　，那么，函数y＝f（x）在区间　　　　内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　　　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 角度1　函数零点所在区间的判定 （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　　） A.（0，0.3） B.（0.3，0.5） C.（0.5，1） D.（1，2） （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　） A.（a，b）和（b，c）内 B.（－∞，a）和（a，b）内 C.（b，c）和（c，＋∞）内 D.（－∞，a）和（c，＋∞）内 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 角度2　函数零点个数 （1）函数f（x）＝的零点个数为（　　） A.5　　　　B.4 C.3　　　　D.2 （2）函数f（x）＝2x｜log2x｜－1的零点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 函数零点个数的判定方法 直接求 零点 令f（x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 练1 （1）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 （2）已知x0是函数f（x）＝＋ln x的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　） A.f（x1）＜0，f（x2）＜0 B.f（x1）＞0，f（x2）＞0 C.f（x1）＞0，f（x2）＜0 D.f（x1）＜0，f（x2）＞0 二分法 （求函数零点近似值） 1.定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）. 用二分法求方程－＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经过　　　　次二分后精确度达到0.1. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二分法求函数零点的关注点 （1）验证零点所在的区间是否符合精确度要求； （2）区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值. 练2 已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　） x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7 函数零点的应用 角度1　由零点个数求参数 已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－2只有两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2） B.（－3，4） C.（－3，6） D.（－∞，－3]∪{6} 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度2　由零点的范围求参数 函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－5） B.（－5，－1） C.（1，5） D.（5，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数（范围）； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 练3 （1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，） B.（0，） C.（－∞，0） D.（，＋∞） （2）设c∈R，函数f（x）＝ 若f（x）恰有一个零点，则c的取值范围是（　　） A.［－，0） B.［，＋∞） C.{0}∪［，＋∞） D.[0，＋∞） 提示：完成课后作业　第二章　第11节 答案 第11节　函数的零点与方程的解 考点一 1.f（x）＝0 2.x轴　f（x）＝0 3.f（a）f（b）＜0　（a，b）　f（c）＝0 【例1】　（1）B　（2）A　解析：（1）易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－＝－＜0，所以f（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B. （2）函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点. 【例2】　（1）D　（2）C　解析：（1）当x≤0时，由x2－1＝0，解得x＝－1；当x＞0时，f（x）＝x－2＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln 1＝－1＜0，f（2）＝2－2＋ln 2＝ln 2＞0，即f（1）f（2）＜0，所以函数f（x）在区间（1，2）内必有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2. （2）令f（x）＝0，得｜log2x｜＝，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝｜log2x｜与y＝的图象如图所示，由图可知，函数y＝｜log2x｜与y＝的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.故选C. 练1　（1）B　（2）D　解析：（1）法一　因为f（0）·f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B. 法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B. （2）在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝的图象，如图所示.由图象易知，＞ln x1，从而ln x1－＜0，故ln x1＋＜0，即f（x1）＜0.同理f（x2）＞0.故选D. 考点二 1.一分为二 【例3】　4　解析：∵开区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有＜0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 练2　B　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f（0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在（0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似值为0.57. 提能点 【例4】　D　当x≥1时，由f（x）－2＝ln x－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点，所以当x＜1时，y＝f（x）－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在（－∞，1）上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点.作出y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象如图所示，由图象可知：当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，所以实数a的取值范围为（－∞，－3]∪{6}. 【例5】　B　由y1＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，y2＝x2＋m在（0，＋∞）上单调递增，得函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（0，＋∞）上单调递增.因为函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，所以即解得－5＜m＜－1，所以实数m的取值范围是（－5，－1）. 练3　（1）B　（2）C　解析：（1）由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g（x）＝3x－，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由于函数y＝3x，y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x－＜g（－1）＝3－1＋1＝，又g（x）＝3x－＞0，所以函数g（x）在（－∞，－1）上的值域为（0，）.因此，实数a的取值范围是（0，）. （2）画出函数g（x）＝的图象如图所示，函数f（x）＝可由g（x）＝分段平移得到，易知当c＝0时，函数f（x）恰有一个零点，满足题意；当c＜0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c＞0时，图象向下平移，当0＜2c＜1时，函数有两个零点；当2c≥1时，f（x）恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $