第2章 第8节 指数函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了指数函数专题，涵盖概念、图象与性质、性质应用（比较大小、解指数方程或不等式）及综合问题（单调性、奇偶性），按基础到应用的逻辑构建知识网络，通过问题链（如例1图象辨析、例2大小比较）和任务驱动（练题、变式训练）引导学生自主梳理，体现考点的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与方法指导结合，开篇设置典型例题与练题（如练1函数图象判断、练2大小比较），培养学生数学思维（推理运算）和数学语言（规范表达）。每个考点配方法总结（如比较大小三法），学生可自主诊断薄弱点，教师通过学情精准指导，助力学生构建个性化知识体系，提升自主复习能力。

第8节　指数函数 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 　　 指数函数的图象及应用 1.指数函数的概念 一般地，函数y＝　　　　（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒：形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，只有k＝1时，y＝ax才是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为　　　，值域为　　　　 图象过定点　　　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　　函数 　　　函数 提醒：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 结论：（1）函数y＝ax与y＝（）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称； （2）作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点： （1，a），（0，1），（－1，）； （3）底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. （1）已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝ax－b的图象可能是（　　） （2）若直线y＝2a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个交点，则a的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除. 2.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 3.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 练1 （1）（2025·山东德州调研）函数y＝图象的大致形状是（　　） （2）〔多选〕已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为（　　） A.a＝b B.0＜b＜a C.a＜b＜0 D.0＜a＜b 指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 比较指数式的大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小（也可化成同指数，利用幂函数的单调性进行比较）； （2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小； （3）在同一坐标系中作出它们的函数图象，借助图象得出大小关系. 角度2　解简单的指数方程或不等式 若≤，则函数y＝2x的值域是（　　） A. B. C. D.[2，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解指数不等式的常用方法 （1）性质法：解形如af（x）＞ag（x）的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论； （2）隐含性质法：解形如af（x）＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解； （3）图象法：解形如af（x）＞bf（x）的不等式，可利用对应的函数图象求解. 练2 （1）若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.b＞c＞a D.a＞c＞b （2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 指数型函数性质的综合问题 教材母题：〔人A必修一P161 复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－（a∈R）， （1）探索函数f（x）的单调性； （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ 细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝是单调的奇函数. 变式1　若f（x）＝是奇函数，则a＝（　　） A.－1　　　B.0 C.1　　　D.±1 变式2　已知函数f（x）＝a－是R上的奇函数，则f（x）的值域为　　　　. 变式3　已知函数f（x）＝. （1）试判断函数f（x）的奇偶性和单调性； （2）当x∈[0，ln 5]时，求函数f（x）的最值. 提示：完成课后作业　第二章　第8节 答案 第8节　指数函数 考点一 1.ax 2.R　（0，＋∞）　（0，1）　增　减 【例1】　（1）C　（2）（0，）　解析：（1）根据函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象可知0＜b＜1＜a，再由指数函数的图象及性质可知，g（x）＝ax－b单调递增，可排除A、B；且与y轴交点为（0，1－b），又0＜b＜1，所以1－b∈（0，1），即交于y轴正半轴上，排除D.故选C. （2）y＝｜ax－1｜的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 练1　（1）C　（2）ABC　解析：（1）∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断选项C符合. （2）由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k，当k＞1时，若3a＝6b＝k，则0＜b＜a，故B正确；作出直线y＝m，当0＜m＜1时，若3a＝6b＝m，则a＜b＜0，故C正确；当0＜a＜b时，易得2b＞1，则3a＜3b＜2b·3b＝6b，故D错误. 考点二 【例2】　D　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D. 【例3】　B　＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为. 练2　（1）B　（2）B　解析：（1）因为函数y＝0.3x，y＝0.7x在R上是减函数，所以0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，0.70.3＜0.70＝1，又因为幂函数y＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，0.3＜0.7，所以0＜0.30.3＜0.70.3，所以0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，所以c＝1.20.3＞1.20＝1，所以c＞b＞a.故选B. （2）∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p：{x｜x＜0}.对于不等式＜x＋2，作出函数y＝与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p是q的必要不充分条件. 提能点 变式1　D　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，解得a＝±1. 变式2　（－1，1）　解析：易知a＝1，则f（x）＝1－，因为2x＋1＞1，所以0＜＜2，则－1＜1－＜1，即f（x）的值域为（－1，1）. 变式3　解：（1）因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以函数f（x）的定义域为R， 又f（－x）＝＝－＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数. f（x）＝＝＝1－，函数y＝ex＋1是增函数， 所以函数y＝是减函数，函数y＝－是增函数，故f（x）＝＝1－是增函数. （2）由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0， 当x＝ln 5时，f（x）max＝f（ln 5）＝＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $