第2章 第6节 幂函数与二次函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了幂函数与二次函数核心考点，涵盖幂函数定义、图象性质及二次函数解析式、图象与性质，按“定义-性质-应用”层次构建知识网络，通过问题链和例题引导学生自主推导规律，形成完整认知框架。 亮点在于诊断性练习与方法指导结合，如设置幂函数性质判断、二次函数解析式求解等自测题，配合“三看”图象识别法培养数学思维，每个模块含一题多解示例和错题归因空间，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，落实因材施教。

第6节　幂函数与二次函数 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 　　 幂函数的图象与性质 1.定义：一般地，函数y＝　　　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　　　和　　　　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　　　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　　　　；当α为偶数时，y＝xα为　　　　. 结论：幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论： （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. （1）下列命题中正确的是（　　） A.当m＝0时，函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数，则y＝xm是定义域内的增函数 （2）〔多选〕幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　　） A.m＝3 B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 3.在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，其函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）；在区间（1，＋∞）上，幂函数的指数越大，其函数图象越远离x轴. 练1 （1）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞c＞a （2）如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　） A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 二次函数的解析式 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝　　　　　　； （2）顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为　　　　； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的　　　　. 〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求f（x）的解析式. 求二次函数解析式的方法 练2 （1）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），图象截x轴所得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）的解析式为　　　　； （2）已知函数f（x）为二次函数，f（x）的图象过点（0，2），对称轴为x＝－，函数f（x）在R上的最小值为，则f（x）的解析式为　　　　. 二次函数的图象与性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 单调性 在（－∞，－］上单调递减； 在　　　　　　上单调递增 在（－∞，－］上单调递增； 在　　　　　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　　　　对称 提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 角度1　二次函数图象的识别 〔多选〕二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下面结论中正确的是（　　） A.2a＋b＝0 B.4a－2b＋c＜0 C.b2－4ac＞0 D.当y＜0时，x＜－1或x＞4 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 （1）（2026·河南信阳模拟）若函数f（x）＝x2－（m－2）x＋1在区间［－，］上具有单调性，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[2，＋∞） C.（－∞，1]∪[3，＋∞） D.（－∞，0]∪[2，＋∞） （2）已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，则a的值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二次函数最值的类型及求解策略 （1）类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动； （2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解. 练3 （1）（2025·海南海口模拟）已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＜b＜c，且a＋b＋c＝0，则f（x）的图象可能是（　　） （2）设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是（　　） A.（1，2） B.[0，1] C.（0，2） D.[0，2] （3）已知f（x）＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a的值为（　　） A.2＋ B.3－ C.2＋或3－ D.1＋或2－ 提示：完成课后作业　第二章　第6节 答案 第6节　幂函数与二次函数 考点一 1.xα 3.（2）（1，1）　（0，0）　（3）（1，1）　（4）奇函数　偶函数 【例1】　（1）C　（2）ABD　解析：（1）对于A，当m＝0时，函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点（0，1），所以A项不正确；对于B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过点（0，0），所以B项不正确；对于C，幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；对于D，当m＝－1时，幂函数y＝xm为奇函数，但在定义域内不是增函数，所以D项不正确. （2）因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，所以解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增. 练1　（1）B　（2）B　解析：（1）因为y＝在第一象限内单调递增，所以a＝＞c＝，因为y＝是减函数，所以c＝＞b＝，所以a＞c＞b. （2）根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；当n＜0时，｜n｜越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2. 考点二 （1）ax2＋bx＋c（a≠0）　（2）（m，n）　（3）零点 【例2】　解：法一　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二　因为f（2）＝f（－1）， 所以抛物线的对称轴为x＝＝.又函数有最大值8， 所以可设f（x）＝a＋8. 因为f（2）＝－1，所以a＋8＝－1， 解得a＝－4，所以f（x）＝－4（x－）2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数f（x）有最大值8，所以＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 练2　（1）f（x）＝x2－4x＋3　（2）f（x）＝（x＋）2＋　解析：（1）因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称.又因为f（x）的图象截x轴所得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因为f（x）的图象过点（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3. （2）因为f（x）的对称轴为x＝－，函数f（x）在R上的最小值为，所以可设f（x）＝a（x＋）2＋，a＞0，将（0，2）代入f（x），得a（0＋）2＋＝2，解得a＝1，故f（x）＝（x＋）2＋. 考点三 　（－，＋∞）　 （－，＋∞）　－ 【例3】　ABC　因为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为x＝1，所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；由图可知，当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，故B正确；由图可知，该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故C正确；因为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为（－1，0），所以点A的坐标为（3，0），由图可知，当y＜0时，x＜－1或x＞3，故D错误.故选A、B、C. 【例4】　（1）C　（2）－1或2　解析：（1）依题意，若函数f（x）在区间［－，］上单调递增，应有≤－，解得m≤1；若函数f（x）在区间［－，］上单调递减，应有≥，解得m≥3.综上，实数m的取值范围是（－∞，1]∪[3，＋∞）. （2）函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a＝－（x－a）2＋a2－a＋1，对称轴为x＝a.当a＜0时，f（x）max＝f（0）＝1－a＝2，所以a＝－1.当0≤a≤1时，f（x）max＝a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝（舍去）.当a＞1时，f（x）max＝f（1）＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2. 练3　（1）A　（2）D　（3）C　解析：（1）若a＜b＜c，且a＋b＋c＝0，则a＜0＜c，故f（x）＝ax2＋bx＋c开口向下，故B、D错误；又f（0）＝c＞0，故C错误，A正确. （2）依题意a≠0，二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f（0）＝f（2），则当f（m）≤f（0）时，有0≤m≤2. （3）令f（x）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，因为y＝f（x）在区间[a，a＋1]上的最大值为4，当a＋≥3，即a≥时，f（x）max＝（a＋1－3）2＋1＝4⇒a＝2＋；当a＋＜3，即a＜时，f（x）max＝（a－3）2＋1＝4⇒a＝3－.综上，a＝2＋或a＝3－. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $