第2章 第5节 函数的对称性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数对称性专题，涵盖轴对称、中心对称及函数间对称三大核心考点，按定义推导、公式应用、综合解题的层次架构知识网络，通过填空引导自主推导对称公式，题组练透驱动知识内化，帮助学生构建完整认知体系。 亮点在于诊断性题组与反思性学习设计，如开篇设置对称性公式填空自测，题组练透中第3题通过函数交点对称求和强化推理能力，“听课记录”板块促进模型观念形成。学生可自主诊断薄弱点，教师通过错题分析精准指导，有效培养自主复习能力，支持因材施教。

第5节　函数的对称性 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 　　 轴对称 1.偶函数的图象关于　　　　对称. 2.若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线　　　　对称. 3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线　　　对称. 题组练透 1.若函数f（x）满足f（x＋1）＝f（3－x）对任意x∈R成立，则f（x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝2对称 C.关于直线x＝3对称 D.关于直线x＝－1对称 2.已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f（6）＝（　　） A.29 B.11 C.3 D.5 3.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（4－x），若y＝（x－2）2与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则x1＋x2＋x3＋x4＝（　　） A.－4 B.0 C.4 D.8 4.（2026·云南玉溪统考）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x＋3）是偶函数，当x≥3时，f（x）＝log2x，则不等式f（2x＋2）＞f（x－1）的解集为　　　　. 1.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（a－x）＝f（a＋x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. 中心对称 1.奇函数的图象关于　　　　对称. 2.若f（x＋a）是奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心为　　　　. 3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于点　　　　对称. 〔多选〕（2026·江苏苏州模拟）下列说法中，正确的是（　　） A.函数f（x）＝的图象关于点（－2，2）中心对称 B.函数f（x）满足f（2x－1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（－1，0）中心对称 C.若函数y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，则函数y＝f（x－1）＋1的图象关于（1，2）对称 D.函数y＝的图象关于点（3，c）中心对称，则b＋c＝2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝2b⇔2b－f（x）＝f（2a－x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点（，）成中心对称. 练1 （1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称，则b＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 （2）（2026·福建泉州模拟）已知y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝（　　） A.6 B.5 C.－6 D.－5 两个函数图象间的对称 1.函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于　　　　对称. 2.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于　　　对称. 3.函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于　　　对称. （1）下列函数中，其图象与函数y＝x2＋2x的图象关于点（1，0）对称的是（　　） A.y＝－x2－2x B.y＝－x2－2x＋2 C.y＝x2－6x＋8 D.y＝－x2＋6x－8 （2）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f（3）＋f（9）＝1，则实数m＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用. 练2 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点（3，0）对称 提示：完成课后作业　第二章　第5节 答案 第5节　函数的对称性 考点一 1.y轴　2.x＝a　3.x＝a 题组练透 1.B　∵对于∀x∈R满足f（x＋1）＝f（3－x）成立，则f（x）的图象是轴对称图形，设f（x）的对称轴为x＝a，则（x＋1）＋（3－x）＝2a，∴a＝2，故f（x）的图象关于x＝2对称，选B. 2.B　因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝4对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f（6）＝3｜6－4｜＋2＝11. 3.D　由f（x）＝f（4－x）可知y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，y＝（x－2）2的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 4.{x｜x＜－3或x＞}　解析：∵y＝f（x＋3）是偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝3对称.∵当x≥3时，f（x）＝log2x，∴f（x）在[3，＋∞）上单调递增，∴｜2x＋2－3｜＞｜x－1－3｜，即｜2x－1｜＞｜x－4｜，∴（2x－1）2＞（x－4）2，即3x2＋4x－15＞0，解得x＜－3或x＞. 考点二 1.原点　2.（a，0）　3.（a，0） 【例1】　ABC　对于A，f（x）＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f（x）＝的图象关于点（－2，2）中心对称，A正确；对于B，因为f（2x－1）为奇函数，所以f（2x－1）＝－f（－2x－1），所以f（x）＝－f（－x－2），所以函数f（x）关于点（－1，0）中心对称，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＋1的图象，由于y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，故函数y＝f（x－1）＋1的图象关于（1，2）对称，C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点（3，c）中心对称，所以解得所以b＋c＝4，D不正确. 练1　（1）C　（2）D　解析：（1）因为函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）＋f（2－x）＝0.又f（2－x）＝（2－x）3＋a（2－x）2＋（2－x）＋b＝－x3＋（a＋6）x2－（4a＋13）x＋10＋4a＋b，所以f（x）＋f（2－x）＝（2a＋6）x2－（4a＋12）x＋10＋4a＋2b＝0.所以解得 （2）由题y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（x）的图象关于（1，－1）对称，所以f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝[f（－1）＋f（3）]＋f（1）＋[f（0）＋f（2）]＝－2－1－2＝－5.故选D. 提能点 1.y轴　2.x轴　3.原点 【例2】　（1）D　（2）1　解析：（1）设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，则P关于点（1，0）对称的点为Q（2－x，－y），由点Q在y＝x2＋2x的图象上，可得－y＝（2－x）2＋2（2－x），整理得y＝－x2＋6x－8，即所求函数解析式为y＝－x2＋6x－8.故选D. （2）∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1. 练2　A　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $