第2章 第3节 函数单调性的应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统整合函数单调性应用的三大核心考点，按“比较函数值大小-解函数不等式-求函数最值”逻辑递进，通过问题链设计引导学生自主梳理单调性判定、对称性转化等方法，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性例题与个性化学习支持，开篇设置对称函数单调性比较、复合函数不等式求解等例题，配套“听课记录”留白区与方法总结表（如单调性比较“转化-单调区间判定”四步法），培养学生逻辑推理与数学抽象素养，帮助学生自主诊断提升，教师可通过学情精准指导。

第3节　函数单调性的应用 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 　　 比较函数值的大小 （1）已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c （2）已知f（x）＝2x－，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.c＞b＞a 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小.若未知函数解析式，需构造相应的解析式. 练1 （1）设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（　　） A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a） C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a） （2）（2026·浙江金华质检）若a，b＞0，且3a－4b＝ln b－ln a，则有（　　） A.a＜b B.＜1 C.a2＞b2 D.a－b＞1 解函数不等式 （1）（2026·山东济宁模拟）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的减函数，且f（a＋1）＜f（2a），则实数a的取值范围是（　　） A.[－1，0） B.（－1，0） C.[－1，1） D.（－1，1） （2）已知函数f（x）＝2－x－2x－x，则不等式f（x2－3）＋＜0的解集为（　　） A.（－2，2） B.（－∞，－2）∪（2，＋∞） C.（－，） D.（－∞，－）∪（，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 练2 （1）（2026·黑龙江大庆调研）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6－a2），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2）∪（3，＋∞） B.（－2，3） C.（－∞，－3）∪（2，＋∞） D.（－3，2） （2）（2026·浙江湖州模拟）已知函数f（x）＝ex－e－x，则使f（｜x｜）＜f（－3x2＋4）成立的实数x的取值范围是（　　） A.（－1，0） B.（－1，＋∞） C.（－1，1） D.（1，＋∞） 求函数最值（值域）的方法 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　　　　　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　　　　　 ①∀x∈D，都有　　　　　 　　　； ②∃x0∈D，使得　　　　　　　　 结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值 基本初等函数的值域 （1）y＝kx＋b（k≠0）的值域为R； （2）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域：当a＞0时，值域为［，＋∞）；当a＜0时，值域为（－∞，］； （3）y＝（k≠0）的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）； （4）y＝ax（a＞0，且a≠1）的值域为（0，＋∞）； （5）y＝logax（a＞0，且a≠1）的值域为R. （1）已知函数f（x）＝（a＞0）在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝（　　） A.2 B.3 C.15 D.3或15 （2）函数f（x）＝2x2－的最小值为　　　　； （3）函数f（x）＝的最大值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数最值（值域）的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题； （4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”； （5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 练3 （1）函数y＝的值域为（　　） A.（0，2） B.（－1，0） C.（－1，1） D.（－1，2） （2）记实数x1，x2，…，xn的最小值为min{x1，x2，…，xn}，若f（x）＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，则函数f（x）的最大值为（　　） A.4 B. C.1 D.5 提示：完成课后作业　第二章　第3节 双休检测3 答案 第3节　函数单调性的应用 提能点一 【例1】　（1）D　（2）D　解析：（1）∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－）＝f（）.又∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜＜e，∴f（2）＞f（）＞f（e），∴b＞a＞c. （2）易知f（x）＝2x－在（1，＋∞）上单调递增，又＞＞＞1，故f（）＞f（）＞f（），即c＞b＞a. 练1　（1）D　（2）C　解析：（1）∵a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，∴f（a2＋1）＜f（a）.故选D. （2）由3a－4b＝ln b－ln a，可得3a＋ln a＝4b＋ln b，又a，b＞0，4b＞3b，因此3a＋ln a＞3b＋ln b，令f（x）＝3x＋ln x，又因为函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，所以a＞b，因此a2＞b2.故选C. 提能点二 【例2】　（1）C　（2）B　解析：（1）依题意得⇒－1≤a＜1.所以实数a的取值范围是[－1，1）. （2）函数f（x）的定义域为R，且由于y＝2－x在R上单调递减，y＝2x在R上单调递增，y＝x在R上单调递增，所以f（x）在R上单调递减，不等式f（x2－3）＋＜0可化为f（x2－3）＜－＝f（1），即f（x2－3）＜f（1），由题意得x2－3＞1，解得x＜－2或x＞2.故选B. 练2　（1）D　（2）C 解析：（1）函数f（x）的图象如图，由图可知f（x）在R上单调递增.因为f（a）＜f（6－a2），所以a＜6－a2，解得－3＜a＜2.故选D. （2）函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f（x）＝ex－e－x为增函数，所以f（｜x｜）＜f（－3x2＋4）⇔｜x｜＜－3x2＋4，即3｜x｜2＋｜x｜－4＜0，（｜x｜－1）（3｜x｜＋4）＜0，得0≤｜x｜＜1，解得－1＜x＜1，所以实数x的取值范围为（－1，1）. 提能点三 ①f（x）≤M　②f（x0）＝M　 ①f（x）≥M　②f（x0）＝M 【例3】　（1）B　（2）－1　（3）2 解析：（1）（分离常数法）f（x）＝＝＝2＋.因为a＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]上的最大值为f（2）＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3. （2）（换元法）　令＝t，t≥1，则x2＝t2－1，∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）.∵y＝2t2－t－2的对称轴为t＝，∴当t≥1时，ymin＝2×12－1－2＝－1，∴函数f（x）的最小值为－1. （3）作出函数f（x）＝的图象（如图所示），由函数图象可知，f（x）max＝f（0）＝2. 练3　（1）C　（2）B　解析：（1）（分离常数法）　y＝＝－1＋，因为2x＞0，所以1＋2x＞1，0＜＜2，－1＜－1＋＜1.所以值域为（－1，1）. （2）如图所示，在同一个平面直角坐标系中，分别作出函数y＝x＋1，y＝x2－2x＋1，y＝－x＋8的图象，而f（x）＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}的图象即是图中勾勒出的实线部分，要求的函数f（x）的最大值即图中最高点A的纵坐标.联立，解得故所求函数f（x）的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $