学案52 诱导公式二、公式三和公式四-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1 sin 0+cos 5 3 联立方程组 sin 0-cos5 解得sin0= 5,c0s0= 5 所以B正确； tan o=sin cos 0 3,所以C错误 故选ABD.] 5.0或1[由于sina=k,cosa=1一k.根据题意得到， sin2a十cos2a=1,即k2+(1-k)2-1,解得k1=0,k2=1. 满足{厂1区si血&=k≤1， 解得0k≤1， -1≤cosa=1-k≤1， 则k的值为0或1.] 6.- [由sin2a十cos2a=1,得1-cos2a=sin2a, sin a sin a (1-cos a) …1+cosa (1+cos a)(1-cos a) -sin a(1-cos a)1-cos a sin'a sin a sin a 2.1-cos a 2 1+cos a 3 sin a 3 即1-cosa 学案52诱导公式二、公式三和公式四 课堂活动 活动一探究诱导公式二四 新知导学 问题1(1)提示：相等. (2)提示：终边关于x轴对称. (3)提示：终边关于y轴对称 (4)提示：终边关于原点对称 问题2提示：点P(x,y)关于原点的对称点P1(一x,一y), 点P(x,y)关于x轴的对称点P,(x,一y), 点P(x,y)关于y轴的对称点P3(一x,y). 问题3提示：角π十α与角a的终边关于原点O对称， sin a=y,cos a=x,tan a=y, in(x+e)=-y,cos(xta）=-,un(x+e）)=是=2 问题4提示：角-口与角a的终边关于x轴对称，有 sin a=y,cos a=z,tan a-.sin(-a)=-y,cos(-a)= x,tan(-a)=二y=-y x x 问题5提示：角π一a与角a的终边关于y轴对称，故有sina =y,cos a=x,tan a=y sin(x-a)=y,cos(x-a)=-z,tan(n-a)=y =_y x 新知应用 解：1)c0s225°=c0s(180+45)=-c0s45°=- 21 (2)sm85=sm(2x+）=m5=m(。-）-sm君 2 8sm(-1）=-m1-m(x+）=-(←如音） (4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120)= tan120°=tan(180°-60)=-tan60°=-√3. (5)sin(-390°)+cos(-660°)+3tan405°-cos540°tan225° =sin(-360°-30)+cos(-720°+60)+3tan(360°+45) cos(360°+180)tan(180°+45)=sin(-30)+cos60°+ 3an45-ms180am45=-号+2+3-(-1)X1=4. 活动二求解给值（式）求值问题 新知应用 l.C[由sin(r-a)=- 得sa=-子丙a∈(-分0）小： 2 6>0于是oa-1a-(号T-5 所以cos(π十a)=一c0s&= 5 31 故选C.] 2.解：周为cos(g+e)=cos[-(倍-a] -s(倍-)=9， n(e-若）=sim[-(g-]=sim(后-a） -1-os(后-)-1-（停）‘-是， 所以m(借+)-如(-)=是- 3 母题变式：(1解：6os(。-1）=cos(”-） =co[2x+(后-a】=os(g-a）=号 (2)解：os(行-）-sim(。-1） -os[+(倍-】-sm[a-吾）-2 -(后-。）-r(）-g-号 =-5+2 3 活动三利用诱导公式化简 新知应用 1.解：(1)tan(-a-180)=tan[-(180°+a)]=-tan(180°+a) =-tan a, cos(-180°+a)=cos[-(180°-a)]=cos(180°-a) =一c0sa, -cos asin a 所以，原式=-tan二cosa)-cosa (2)tan(0)cos(2x0)cos (0-2x) cos(-0-3π)sin(-3π-0) =tan Ocos Ocos =-1. -cos 0sin 0 2.解：因为tan(π十a)=3,所以tana=3. 2cos(x-a)-3sin(x+a) 4cos(-a)+sin(2π-a) 65 --2cos a+3sin a 4cos a-sin a -2十3tana =-2+3X3=7. 4-tan a 4-3 课堂达标 1.D[sin(-390)=sin(-360°-30)=sin(-30)=-sin30° =故选D] 2.ACD[因为a+3=180°，所以a=180°-B. 对于A选项，cosa=cos(180°-3)=一c0s3,故A选项错误， B选项正确； 对于C选项，sina=sin(l80°-B)=sinB,故C选项错误； 对于D选项，由于sina=sin3, sinB=cosB显然不一定成立，故D选项错误.故选ACD.] 3.C[由题意可知c0s0=-5,es(x-9)=-os9= -(）-故选C] 4.A[因为sin150°=sin(180°-30)=sin30°= 2,sin135°= sin(180°-45)=sin45°=2 Γ2’ sin210°=sin(180+30y=-sin30*=-号， c0s225°=cos(180°+45)=-c0s45°=- 21 所以愿式=（合）°+（竖）+2×(）+()=是 -1+-] 5.B[原式=sin2a+(-cosa)·(-cosa)十1 =sin2a+cos2a+1=1+1=2.] 6.B[因为sin160°=a,所以sin(180°-20)=sin20°=a,而 cos340°=cos(360°-20)=cos20°=√1-a.] .c[sin(-a）=sin(x+-a） =m(经-a)=-im[-(e-] =sm(。-）-g] 4π 5π 7π 8π 11元 3 4 3 4 3 4 sin a 3 2 5 2 2 2 2 2 2 1 cos a ② 1 1 √2 2 2 3 2 2 tan a -1 5 1 √5 1 9.解：.'tan(7π十a)=2,∴.tana=2, 2cos(-a)-3sin(3+a) 4cos(-a)十sin(2π-a) -2cosa+3sim&=-2+3tane==2+3X2=2. 4cos a-sin a 4-tan a 4-2 166 学案53诱导公式五和公式六 课堂活动 活动一探究公式五、六 问题1提示：sin(经-a）)=cosa,cos(-a）=sina. 问题2提示：以OP,为终边的角Y都是与角-a终边相同 的角，即7=2kx+(经-d)∈2.设P,(x),由于P, 是点P1关于直线y=工的对称点， 可以证明x5=y1,y5=x1 根据三角函数的定义，得 sn(侵-a）-c(经-a）小= 问题3提示：设P6(x6y6),则x6=一y1y6=x1,以OP6为 终边的角都是与角受十口终边相同的角。 所以sim(经+a）=x1cos(受+a）=-n: 新知应用 1e[o(g2+）=o(12a+号+） =cos(经+)=-snx] 2证明(1m(经-。)-sm[x+(受-)]-m(受-） -cos a (2)os(竖+a)=os[+(经+a]=-os(受+a)= sin a. 3.解：设3=53°一a,Y=37°+a,那么3十Y=90°，从而y=90°- B,于是sinY=sin(90°-B)=cosB. 因为-270°<a<-90°，所以143°<R<323°，由sinB=5> 0,得143°<3<180°，c0s3<0, 所以8=--√（=-2，所以 sin(37'+a)=sin y=26 5 活动二诱导公式的综合应用 新知应用 角度1 1.解：f(a)= sin acos(-a) sin acos a cos(π十a) cos(a) -cos a -sin(5-a） -os(经- =-sina·cos=-cosa. sin a )因为o(-）=cos(受+a）)=-sina= 所以sina=一5诱导公式二、公式三和公式四 学案52 学案52诱导公式二、公式三和公式四 听 昆学习任务 记 1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.（逻辑推理） 2.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用.（数学运算） 课堂活动 问题4角α与一a的三角函数值之间有什么 关系？ 活动一探究诱导公式二一四 阄新知导学 阅读教材第188一189页，完成下列问题. 问题1(1)终边相同的角的同一三角函数值有 什么关系？ 问题5角π一α与角α的三角函数值之间有什 么关系？ (2)角一α与a的终边有何位置关系？ (3)角π一a与a的终边有何位置关系？ (4)角π十a与a的终边有何位置关系？ 厅新知生成 1.公式二 sin(π+a)=一sin, 问题2已知任意角α的终边与单位圆相交于点 cos(π十a)=-c0sa, P(x,y),请同学们思考回答点P关于原点、x tan(π十a)=tana. 轴、y轴对称的三个点的坐标是什么？ 2.公式三 sin(-a)=-sin a, cos(-a)=cos a, tan(-a)=-tan a. 3.公式四 问题3如图，角元十α的 sin(π-a)=sina, 三角函数值与a的三角 (x.Y cos(π-a)=-c0sa, 函数值之间有什么 +aX个 万 tan(π-a)=-tana. 关系？ P(-x,-y) 诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致， 符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角· 函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方 便，实际上α可以是任意角. 15910 人教A版数学必修第一册 听 新知应用 母题变式：(1)若第2题的条件不变，求 利用公式求下列三角函数值： 记 (1)cos225°； 8π (2)sin 16π (3)sin-39 (2)若第2题的条件不变，求cos(-） (4)tan(-2040); (5)sin(-390)+cos(-660)+3tan405°- sin2 (a- 13的值. cos540°tan225°. 「方法总结」解决条件求值问题的技巧 寻找差 「方法总结」利用诱导公式求任意角的三角函 解决条件求值问题，首先要仔细观察条件 异及联 与所求式之间的角、函数名及有关运算之 数值的步骤 间的差异及联系 （1)“负化正” 用公式一或三来转化. 可以将已知式向所求式变形转化，或将所 (2)“大化小”一用公式一将角化为0°到360°间 求式进行变形向已知式转化 的角 活动三利用诱导公式化简 (3)“小化锐”用公式二或四将大于90°的角转 化为锐角。 新知应用 （4)“锐求值” 得到锐角的三角函数后求值. 1.化简：(1)cos（-180°+a)sin(a+360°) 活动二 求解给值（式）求值问题 tan(-a-180)cos(180°+a)9 今新知应用 (2)tan()cos(2x0)cos(0-2x) cos(-0-3π)sin(-3π-0) l.若sin(x-a)=- 子，且。∈（，则 cos(π十a)的值为 A±6 B. 3 3 C、 2 3 D.3 2.已知tan(x十a)=3,求2cos(r-a)-3sin(x+a) 2.已知（-。）=，求o+ 4cos(-a)+sin(2π-a) 的值 sin(e-）的值， 11160 诱导公式二、公式三和公式四学案52 「方法总结」三角函数式化简的常用方法 4.sin150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的 听 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐 值是 角三角函数 (2)切化弦：一般需将式子中的正切函数转化为正 A. 4 记 弦、余弦函数。 c号 D. (3)注意“1”的代换：1=sin2a十cos2a=tan 4 5.sin2(2π-a)+cos(π十a)cos(π-a)+1的值是 ( 课堂小结 A.1 B.2 推导 c.0 D.-1 6.设sin160°=a,则cos340°的值是 ) 诱导公式二、三、四 A.1-a2 B.√1-a 公式形式 应用 C.-√1-a D.±√1-a2 5 课堂达标 7已知。-》-夏则s如（臣a)的值为 1.sin(-390)的值为 ( ( A写 B、3 2 A日 1 B.一2 c分 2 c停 D- 2.(多选)如果a十3=180°，那么下列等式中不成 8.填表： 立的是 ( ) 4π 5π 5π 7x 8π 11π A.cos a=cos B B.cosa=-cosβ 9 3 4 3 4 3 4 C.sin a=-sin B D.sin a=cos B sin a 3.如图所示，角0的终边与单位圆交于点 cos a P-与，2)，则osx一0)值为 tan a 9.已知tan(7π十a)=2, 求2cos（x-）-3sin63r+a的值。 4cos(-a)+sin(2π-a) A.一26 5 B. 5 D26 5 课后反思 16110