第2章 第2节 函数的单调性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数单调性专题，将定义、判断方法、单调区间求解及含参单调性分析等核心考点按认知逻辑构建体系，通过定义填空、证明任务等问题导向设计，引导学生从符号语言到图象特征自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与进阶式练习结合，如开篇定义符号语言填空、多选例题诊断理解偏差，练1到练3分层提升，培养数学思维与数学语言表达素养。每个考点配方法指导（如定义法证明步骤）和错题归因空间，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依学情精准指导，助力因材施教。

第2节　函数的单调性 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义. 　　 函数单调性的判断 定 义 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　　　x1，x2∈I，当x1＜x2时 f（x1）与 f（x2） 都有　　　 都有　　　 结论 函数f（x）在区间I上　　　 函数f（x）在区间I上　　 ♝ 图象描述 自左向右看图象是　　　 自左向右看图象是　　　 结论：若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. （1）〔多选〕下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0（x1≠x2）”的是（　　） A.f（x）＝－ B.f（x）＝－3x＋1 C.f（x）＝x2＋4x＋3 D.f（x）＝x－1 （2）已知函数f（x）＝，判断f（x）在[0，＋∞）上的单调性，并证明. 1.函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法. 2.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 练1 （1）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明. 求函数的单调区间 单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　或　　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　　　　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒：（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）当函数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接. （1）定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[－5，5]上没有单调性 （2）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，0）∪（2，＋∞） C.（－∞，0）和（2，＋∞） D.（2，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数单调区间的方法 　　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法. 练2 （1）下列说法正确的是（　　） A.若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递增 B.若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数 C.若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞） D.若函数f（x）在区间I上单调递增且f＜f，则x1＜x2 （2）〔多选〕下列四个选项中，能使函数f（x）＝－x单调递减的区间是（　　） A.（ 0，） B.（0，1） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 含参函数的单调性 （1）（2026·湖南长沙模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　　） A.[1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（－∞，1] （2）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用单调性求参数范围（或值）的策略 练3 试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 提示：完成课后作业　第二章　第2节 答案 第2节　函数的单调性 考点一 ∀　f（x1）＜f（x2）　f（x1）＞f（x2）　单调递增　单调递减　上升的　下降的 【例1】　（1）ACD　因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0（x1≠x2），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.对于A，根据反比例函数性质可知，f（x）＝－在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于B，根据一次函数性质可知f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意；对于C，根据二次函数性质可知f（x）＝x2＋4x＋3在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于D，根据一次函数性质可知f（x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.故选A、C、D. （2）解：f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 证明如下：任取0≤x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝. 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0， 故f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 练1　（1）B　若函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，则对于∀x1，x2∈[2，8]，且x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），∴f（2）＞f（8），故后者为前者的必要条件，然而，由f（2）＞f（8），无法推出函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，因此，“f（2）＞f（8）”并非充分条件.综上，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的必要不充分条件. （2）解：函数f（x）＝在（－1，1）上为增函数. 证明如下：任取－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝. 因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0， 则有f（x1）－f（x2）＜0，故f（x）在（－1，1）上为增函数. 考点二 单调递增　单调递减　区间I 【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）同一函数的两个单调区间一般不能用“∪”连接，故C表示错误.其余选项很明显都是正确的. （2）f（x）＝（x－4）·｜x｜＝函数图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为（－∞，0）和（2，＋∞），故选C. 练2　（1）D　（2）CD　解析：（1）无穷多对x1，x2不等价于对任意x1，x2，A错误；设函数f（x）＝则f（x）在（－∞，0]上单调递增，在（0，＋∞）上也单调递增，但f（0）＞f（1），不符合增函数的定义，B错误；若f（x）＝x，则f（x）在[1，＋∞）上单调递增，但f（x）的单调递增区间是R，C错误；由函数单调性的定义，知D正确. （2）令t＝，显然t＝在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2＝－（ t－）2＋（t≥0）在上单调递减，由≥得x≥，所以f（x）的单调递减区间是［，＋∞），即四个选项中能使f（x）单调递减的区间为C、D. 提能点 【例3】　（1）B　（2）B　解析：（1）因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1.故选B. （2）因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 练3　解：设－1＜x1＜x2＜1， f（x）＝a（）＝a（1＋）， 则f（x1）－f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $