第1章 第5节 一元二次方程、不等式(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理一元二次方程、不等式核心考点，涵盖不含参数与含参数不等式解法、三个二次关系及恒成立问题，按“解法原理-分类讨论-综合应用”层次递进，通过问题链与任务驱动引导学生自主构建知识网络，形成从具体到抽象的认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练结合，开篇设置多选例题诊断基础，练1、练2分层次强化，融入数学思维与运算能力培养。含参数解法步骤总结、恒成立问题变式训练等方法指导，助力学生自主诊断薄弱点，教师可通过学情精准指导，提升备考实效，培养自主复习能力。

第5节　一元二次方程、不等式 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的实根的存在性及实根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 　　 一元二次不等式 1.（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）· （x－b）＞0 {x｜x＜a或 x＞b} （x－a）· （x－b）＜0 ⌀ {x｜b＜x＜a} 2.分式不等式 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.绝对值不等式 绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞）；｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 角度1　不含参数不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D.不等式－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组. 角度2　含参数不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 练1 （1）求不等式≤3的解集； （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 三个二次间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 有两个不相 等的实数根 x1，x2 （x1＜x2） 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝　 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 ⌀ ⌀ 提醒：解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形. （1）〔多选〕已知关于x的不等式a（x＋1）·（x－3）＋1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　） A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－3 C.－1＜x1＜x2＜3 D.x2－x1＞4 （2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值. 2.对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，m＜n. 练2 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－∞，1）∪（5，＋∞），则下列结论正确的是（　　） A.a＞0 B.a＋b＋c＞0 C.bx＋c＞0的解集是 D.cx2－bx＋a＜0的解集是{x｜x＞－，或x＜－1} 一元二次不等式恒（能）成立问题 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题〕当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立等价转化 （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 变式1 若不等式2kx2＋kx－＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值范围为　　　；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围为　　　　. 变式2 若不等式2kx2＋kx－＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第5节 双休检测2 答案 第5节　一元二次方程、不等式 考点一 1.{x｜x≠a}　{x｜x＜b或x＞a}　 {x｜a＜x＜b} 【例1】　BD　方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为－1≤0，即≤0，即（x＋3）（x－2）≤0且x－2≠0，解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于解得0≤x≤2，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 【例2】　解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞－1}； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－}. 练1　解：（1）由题意－3＝≤0， 可得 解得x≤或x＞1， 所以原不等式的解集为∪（1，＋∞）. （2）由题意知，Δ＝a2－4. ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以原不等式的解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 考点二 －　{x｜x＜x1，或x＞x2}　{x｜x≠－}　{x｜x1＜x＜x2} 【例3】　（1）ABD　（2）（－∞，－1]∪[3，＋∞）　解析：（1）由题意得，a＜0，且x1，x2是一元二次方程a（x＋1）（x－3）＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，所以x1＋x2＝－＝2，故A正确；x1x2＝＝－3＜－3，故B正确；x2－x1＝＝＝2＞4，故D正确；由x2－x1＞4，且x1＋x2＝2可得x2＞3且x1＜－1，故C错误. （2）根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 练2　CD　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，对于A，因为a＜0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即－6ax＋5a＞0，即6x－5＞0，得x＞，所以不等式bx＋c＞0的解集是，故C正确；对于D，由不等式cx2－bx＋a＜0，得a（5x2＋6x＋1）＜0，即5x2＋6x＋1＞0，则（5x＋1）（x＋1）＞0，得x＞－或x＜－1，即解集为{x｜x＞－，或x＜－1}，故D正确. 提能点 变式1　（ －∞，）　（ －∞，） 解析：不等式2kx2＋kx－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k＜对x∈[1，2]恒成立⇔k＜（ ）min，易知f（x）＝在x∈[1，2]时单调递减，f（x）min＝，即k＜.在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，又f（x）max＝，即k＜. 变式2　（ －，）　解析：若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－＜0，即解得－＜x＜. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $