第1章 第3节 不等式及其性质(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了不等式及其性质专题，将比较大小的方法、不等式基本性质及性质应用等核心考点按逻辑关系构建知识网络，通过问题导向的例题和任务驱动的练习题，引导学生自主归纳比较方法和性质应用规律，形成完整的知识体系。 亮点在于诊断性练习和分层任务设计，如设置多选、一题多解等题型，学生通过练1、练2的自测发现薄弱点，结合变式训练提升性质应用能力，培养数学思维和数学语言表达素养。每个考点配有方法指导和反思记录，帮助学生自主诊断提升，教师可依据学情精准辅导，支持因材施教。

第3节　不等式及其性质 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 　　 比较两个数（式）的大小 1.作差法（a，b∈R）. 2.作商法 （1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 （2）（2026·山西晋城模拟）若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（　　） A.p＜m＜n B.p＜n＜m C.m＜p＜n D.n＜p＜m 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 比较大小的常用方法 练1 （1）〔多选〕下列不等式中正确的是（　　） A.x2－2x＞－3（x∈R） B.a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R） C.a2＋b2＞2（a－b－1） D.＜（b＞a＞0） （2）〔一题多解〕已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x　　　y（填“＞”“＜”或“＝”）. 不等式的基本性质 性质1　对称性：a＞b⇔b　　　a； 性质2　传递性：a＞b，b＞c⇒a　　　c； 性质3　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质4　可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　　　bc；a＞b，c＜0⇒ac　　　bc； 性质5　同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c　　　b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac　　　bd； 性质7　同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； 性质8　可开方性：a＞b＞0⇒＞（n∈N，n≥2）. 结论：（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜；③a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. （2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； ②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　） A.若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d⇒ac＞bd C.若bc－ad＞0，－＞0⇒b＜0 D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞ 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断不等式成立的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证；（2）利用特殊值法排除错误选项；（3）作差法；（4）构造函数，利用函数的单调性. 2.证明不等式成立的策略 利用不等式的性质证明不等式成立的实质是根据性质把已知条件不断变形最后推出待证结论成立.注意每个性质成立的条件. 练2 （1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　） A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0 （2）已知a，b，c，d均为实数，若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 不等式性质的应用 教材母题：〔人A必修一P43习题5题〕已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围. 细研教材：该母题的实质是已知部分量的取值范围，求整体的取值范围.解决该类问题的关键是充分利用不等式的性质，对给定的条件进行整合进而求出某整体范围.其求解策略为：建立待求范围式的整体与已知范围式的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 提醒　（1）不等式性质成立的条件；（2）如若多次使用不等式的可加性，会扩大待求式的取值范围. 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 变式 若将例3已知条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为　　　　. 练3 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数，则该微信群人数的最小值为（　　） A.20 B.22 C.26 D.28 提示：完成课后作业　第一章　第3节 双休检测1 答案 第3节　不等式及其性质 考点一 1.＞　＝　＜　 2.＞　＜　＜　＞ 【例1】　（1）A　（2）A　解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. （2）由题意知，m＞0，n＞0，p＞0，且＝＝＜1，∴m＜n，又＝＝·＞1，∴m＞p，∴p＜m＜n.故选A. 练1　（1）AD　（2）＜　解析：（1）∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.∵（a－b）2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，∴a2＋b2≥2（a－b－1），故C错误；－＝，∵b＞a＞0，∴＞0，∴＜，故D正确. （2）法一　由题设，易知x＞0，y＞0，又＝＝＜1，所以x＜y. 法二　设f（x）＝－，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f（c），即x＜y. 考点二 ＜　＞　＞　＜　＞　＞　 【例2】　D　对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0，－＝＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0，可得＞＞0，则＞＞0，所以＞，故D正确.故选D. 练2　（1）BD　对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D. （2）证明：已知a，b，c，d均为实数， ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， 又∵bd＞0，∴＞0，∴≥， ∴－1≥－1，∴≤. 提能点 【例3】　（－，2）　解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以＜＜，当0＜x＜4时，0＜＜2；当x＝0时，＝0；当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，0＜－＜，－＜＜0.综上可得－＜＜2. 变式　（，）　解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（，）. 练3　B　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x＞x＋3，解得x＞3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $