专题06 不等式（3年汇编）（全国通用）2024-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2024-2026年北京、天津、上海、全国卷等高考不等式真题，涵盖不等式性质、求解、应用及函数导数综合题，适配高考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|2026北京卷结合学生参观情境考不等式性质，2025全国II卷考一元二次不等式解集|基础题多以选择填空呈现，覆盖核心考点| |填空题|10/40|2026上海卷考基本不等式求最值，2025天津卷考不等式恒成立求参数范围|注重运算能力与推理意识考查| |解答题|3/48|2026上海卷结合函数切线考不等式应用，2024上海卷以“最近点”新定义融合导数与不等式|综合题与函数、导数等模块结合，呼应高考压轴题命题趋势|

专题06 不等式 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 不等式 2026年：北京卷、天津卷、上海卷 2025年：北京卷、全国II卷、天津卷、上海卷 2024年：上海卷、全国甲卷、北京卷 1. 核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用； 2. 题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置； 不等式 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 4．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 5．（2025·全国II卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 6．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 9．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 10．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 11．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 12．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 13．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 15．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 16．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 17．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 18．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 19．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 20．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 21．（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【详解】（1）因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06不等式 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 2026年：北京卷、天津 1. 核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次 卷、上海卷 不等式的求解、基本不等式的应用： 不等式 2025年：北京卷、全国 2.题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基 I卷、天津卷、上海卷 础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导 2024年：上海卷、全国 数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位 甲卷、北京卷 置： 二 3年真题·精准练 不等式 1.(2026北京高考真题）)学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前 往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， 则() A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 2.(2026天津高考真题)(c+x+的员小值为《) A.10 B.9 C.8 D.6 3.(2026上海高考真题)已知x>y>1,则下列不等式恒成立的是() A.x>y2 B x>x+y C.x>y D.x+y>xy 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2025北京高考真题)已知Q>0,b>0,则() 1+1>1 A.2+b>2ab B.1 a b ab ↓+s2 C.a+b>ab D.a'b√ab x-4 5.(2025全国Ⅱ卷高考真题)不等式x-一2的解集是() {-2≤x≤1} B.dx≤-2y {x-2≤x<1} D.x> 6.(2024上海高考真题)a,b,c∈R,b>C,下列不等式恒成立的是() A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+c C.ab2>ac? D.a'b>a'c 4x-3y-3≥0 x-2y-2≤0 7.(2024全国甲卷·高考真题)若满足约束条件 。的最小值为() x,y 2x+6y-9s0'则。 Z=x-5y 7 A.2 B.0 C.-2 D.2 8.(2024北京高考真题)已知低，），（任，）是函数=2的图象上两个不同的点，则《） A”<5 2 。.2>5 2 C.log; 2 D.1g,9》>写+ 9.(2026上海高考真题)已知a2+4b2=1,则ab的最大值为 10.(2026上海高考真题)关于x的不等式3<0的解集为 x+2 11.(2026上海高考真题)若a>0,b>0,且a+2b=4,则ab的最大值是 12.(2025天津高考真题)若a6eR,对r∈-22刃，均有2a+br+-a-15 恒成立，则2a+b 的 最小值为 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2025上海高考真题)设a,b>0,a+方=，则b+。的最小值为 b t-1 14. (2025上海高考真题)不等式-3 <0的解集为， 15. (2025:上海高考真题)不等式x一<0的解集为一· (x)=x2,g(x)= f(x),x20 16.(2024上海高考真题)已知 -f(-x),x<0,求g(x)≤2-x的x的取值范围 17. (2024·上海高考真题)已知ab=1,4a2+9b的最小值为 18. (2024上海高考真题)已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为 19. (2026上海高考真题)已知aER,西数了)=r+ar+3,g)=4+. ①)已知f)=4,求f()+三>8(x)的解集： 包已知a≠0，‘是（④在点Q3》处的切线，是过点03）且垂直于的直线，8)与、4在第一象限 内均无公共点，求a的取值范围. 20,(2024上海高考真题》对于7个函数0和一个 Ma,)0=c-a+U国-，若 s(x) ,令 在 =时取得最小值的点，则称气，》是M的最近点” 仙对于西数)=xe0+四，求证：对于点M0,0,存在点p·使得点p是M的“了最近点”： (x)=e,x∈RM(l,0) (2)对于函数 请判断是否存在一个点P,使它是M的。∫最近点”，且直线MP 与曲线f(x)在点P处的切线垂直？ 3)已知函数f(xx∈R)可导，函数g()>0在x∈R上恒成立，对于点M,-l,f0-g)与点 M2 4,+10+g0》,若对任意实数，均存在点P同时为点M与点M:的厂最近点”，说明 的单调 性。 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21. (2024全国甲卷·高考真题)已知实数a,b满足a+b≥3 2a+2b2>a+b (1)证明： (2)证明： la-2b2|+b-2a2≥6 专题06 不等式 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 不等式 2026年：北京卷、天津卷、上海卷 2025年：北京卷、全国II卷、天津卷、上海卷 2024年：上海卷、全国甲卷、北京卷 1. 核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用； 2. 题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置； 考点01 不等式 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 4．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 5．（2025·全国II卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 6．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 9．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 10．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 11．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 12．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 13．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 15．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 16．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 17．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 18．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 19．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 20．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 21．（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【详解】（1）因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $