福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷涵盖解析几何、立体几何及应用问题，以椭圆定义、空间向量、人脸识别距离等为载体，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|椭圆定义、两直线距离、空间向量表示|基础概念与几何直观结合| |多选题|3/18|空间基底、曲线方程分类|辨析推理能力分层考查| |填空题|3/15|抛物线准线、双曲线渐近线、椭圆光学性质|数学抽象与符号表达并重| |解答题|5/77|直线与圆、立体几何（垂直/距离/二面角）、人脸识别距离模型|综合应用与创新意识，如结合人脸识别技术考查距离计算|

2024-2025学年高二数学上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 2.和分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 3．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．6 7．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中错误的是（   ） A．任意向量满足 B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若为正四面体，G为的重心，则 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．直线与圆相切时， B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．的最大值为5 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 13. 已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． (1).若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； (2).若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则椭圆C的短轴长为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程. 15.（本小题满分13分） 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线平行. 已知直线过点，______________. （1）求直线的一般方程; （2）若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 16． （本小题满分15分） 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． (1)求证：； (2)当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； (3)当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 17.（本小题满分15分） 已知双曲线，，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 18. （本小题满分17分） 已知椭圆的方程为，直线． （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 19．（本小题满分17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2.，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 3．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ） A． B．  C． D． 4.已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】先求得点到直线的距离的表达式，然后根据二次函数的性质求得最小值. 【详解】，所以点到直线的距离为 ， 所以当时，距离有最小值为. 故选：C 7．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】运用作差法解决即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆的短半轴长为4. 故选：B 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，，， 其中为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为， 则， 解得，， 则圆形拱桥的水面跨度为， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中错误的是（   ） A．任意向量满足 B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若为正四面体，G为的重心，则 9.【答案】AB 【详解】对于A：因为与是一个数量，则与共线，与共线， 而向量不一定共线，所以不一定成立，故A错误； 对于B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误； 对于C：因为是空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在实数使得， 即，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 对于D：， 则，又为的重心， 所以，故，故D正确. 故选：AB. 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 10.【答案】BD 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．直线与圆相切时， B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．的最大值为5 【答案】AB 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2，即，解得，所以A选项正确. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以C选项错误. 又，是圆上的点， 所以的最大值为，D选项错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 【答案】 13. 已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可. 【详解】在中，，所以， 因为双曲线与椭圆的焦距相等， 所以在双曲线中，， 因为其中一个顶点坐标为，所以， 故，所以的渐近线方程为. 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 14.（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，， 由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则， 所以椭圆C的离心率为； （2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即， 延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接， 则是的中位线，于是， 而点H在圆上，则，短轴长. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线平行. 已知直线过点，______________. （1）求直线的一般方程; （2）若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 15.解:（1）选①;因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为…………………………………………2分 依题意，直线的方程为.即.…………………5分 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，…2分 依题意，直线的方程为，即;………………………………………5分 选③:因为直线的斜率为，又因为直线与平行， 所以直线的斜率为.…………………………………………2分 依题意，直线的方程为，即.…………………5分 （2）圆的圆心到直线的距离为分 由圆的半径为，可知.……………………………13分 16．（本小题满分15分）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． (1)求证：； (2)当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； (3)当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 16.（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，，， 则，，，，， 即，， 因为， 所以，所以. （2）如图，当E为棱AB的中点时，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，则，所以， 设点B1到平面ECD1的距离，， 所以， 所以点B1到平面ECD1的距离为. （3）设时，平面D1EC与平面AECD所成角为，则， 由图知，平面AECD法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，， 所以， 因为平面D1EC与平面AECD所成角为， 所以， 解得或（舍）. 所以当AE为时，平面D1EC与平面AECD所成角为. 17.（本小题满分15分）已知双曲线，，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 17.（1）当时，，则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组，得， ，解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线，则，，， 又点在双曲线上，即，即 ，在中，由余弦定理即，解得 ，的面积. 18. （本小题满分17分）已知椭圆的方程为，直线． （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 18. （1）由，可得，所以， 所以椭圆的焦距为2，离心率为； （2）当时，直线 联立方程： ，整理可得：， 根据韦达定理：， 根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为： ； （3）设，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， 根据韦达定理：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得. 19．（本小题满分17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1），.............................1分 ， ；.........................................................4分 （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、．................................................................6分 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得；.................8分 ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为．..............................................................12分 （3）易知，设，则..............14分 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和．.........................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $