暑假作业19 概率（巩固培优,3知识10题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以概率核心概念为统领，构建“知识点-题型”双维度训练体系，覆盖随机事件、古典概型等四大模块，通过10类题型强化推理能力与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心知识点|含事件分类、关系运算、概率性质等概念|从随机事件基础概念到古典概型、独立事件，形成“概念-模型-应用”递进链条| |题型|10类典型题型|涵盖事件判断、频率概率辨析、互斥对立事件计算等|题型与知识点一一对应，通过选择、填空、解答题综合考查概率应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业19概率 【知识点1 随机事件与概率】 1．事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件 随机 事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为. (3)不可能事件的概率为. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)． 【知识点2 古典概型】 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的特点 ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 【知识点3 相互独立事件的概率】 1．相互独立事件的定义 设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2． 相互独立事件的性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 【知识点4 频率与概率】 1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． 2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率． 【题型1 随机现象与随机事件】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】ABD 【详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确， B，对任意实数x，有，正确， C，下雨是随机事件，错误， D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确. 故选：ABD 【题型2 随机事件的频率和概率】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 2．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 【答案】D 【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此 是不可能事件，A正确. B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确. C选项： 表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确. D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 【题型3 事件的关系】 1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 2．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 【题型4 事件的运算】 1．（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 3．（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【答案】(1). (2). (3). 【详解】（1）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 . （2）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故. （3）由事件 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故. 事件 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球. 所以 个红球 2 个白球，2个红球 1 个白球 . 【题型5 互斥事件、对立事件的辨析】 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【详解】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误． 2．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确； 事件包含基本事件，事件包含基本事件， 因此，，B正确； 事件包含基本事件，故，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误． 故选：ABC 3．（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．B与D互斥 D．C与D对立 【答案】ABC 【详解】选项A：事件是“取出的鞋不成双”，事件是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的， 但不是一双鞋”，发生时一定发生，所以，A正确。 选项B：事件是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”； 事件是“一只左脚一只右脚但不成双”， （不成双）就是“都是一只脚（）”或“一只左脚一只右脚但不成双（）”， 即，B正确。 选项C：事件（都是左脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生， 所以与互斥，C正确。 选项D：事件（都是一只脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双），除了和的情况， 还有“取出的鞋是一双”的情况，所以与不对立，D错误。 故选：ABC 4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 【题型6 互斥事件、对立事件的概率】 1．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件和，其中．则__________． 【答案】/ 【详解】由概率的加法公式：, 代入已知条件得：， 解得：. 2．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（   ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 【答案】B 【详解】由题意得，，. 选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误； 选项B，，即B正确. 选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误. 选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误. 4．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 【题型7 相互独立事件及概率】 1．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 2．（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】/ 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 3．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 4．（2023·吉林·一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【答案】ACD 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 【题型8 简单的古典概型】 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】/ 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 2．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 4．（25-26高一下·云南·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正确，则（    ） A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为 B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为 C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为 D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为 【答案】BC 【详解】对于A，若小乐填涂三个选项，则为BCD，因该题在B、C、D中只有两个选项正确， 故涂三个选项必定得0分，即该题得2分的概率为，故A错误； 对于B，若小乐随机填涂一个选项，共有种方法，因该题在B、C、D中只有两个选项正确， 故错选的方法只有1种，所以该题得0分的概率为，故B正确； 对于C，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法，正确的选法只有1种，故该题得5分的概率为，故C正确； 对于D，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法，其中1种正确选法，另外2种选法均有错选，故该题得0分的概率为，故D错误. 【题型9 游戏中的概率】 1．（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为. 故选：D. 2．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ABCD 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 【题型10 频率与概率】 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 2．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 【答案】0.53/ 【详解】由表可以得出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53种结果， 所以取到号码为奇数的频率是. 故答案为：. 1．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 【答案】D 【详解】A：中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误； B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误； C：由10次掷骰子都出现1点，说明骰子的质地可能不均匀，错误； D：由题意，满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为，正确. 故选：D 3．（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 5．（25-26高三·全国·一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误； 事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确； 由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确； 故选：A. 6．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 7.（25-26高一下·全国·课后作业）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 【答案】AC 【详解】游戏1中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3），（黑1，白），（黑2，白），（黑3，白）， 所以甲胜的可能性为，故游戏是公平的，A正确； 游戏2中，显然甲胜的可能性为，游戏是公平的，C正确； 游戏3中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，白1），（黑2，白1），（黑1，白2），（黑2，白2），（白1，白2）， 所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的，B、D不正确． 故选：AC. 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， ，所以A正确； 所以B错误； ，所以C正确； ，， ，所以D错误. 9．（25-26高二下·浙江·阶段检测）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于B，因为是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确； 对于C，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故C错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 11．（25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________． 【答案】0.64 【详解】由题意得. 12．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______． 【答案】 【详解】因为事件与独立，事件发生的概率，事件发生的概率， ． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率. 【答案】0.95. 【详解】某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 14．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 1．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（多选）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 【答案】ABD 【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等. 第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形. 第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱， 所以，则，所以， 又，且不能同时大于3，所以或， 解得或或或或， 我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）. 故选：ABD 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业19概率 【知识点1 随机事件与概率】 1．事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件 随机 事件 在条件S下， 的事件叫做相对于条件S的随机事件 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B 事件A(或称事件A包含于事件B) (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的 (或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当 且 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： (2)必然事件的概率为. (3)不可能事件的概率为. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝ 【知识点2 古典概型】 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的特点 ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 【知识点3 相互独立事件的概率】 1．相互独立事件的定义 设A，B是两个事件，若P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立． 2． 相互独立事件的性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 【知识点4 频率与概率】 1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率． 2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的 稳定在某个常数上，把这个 记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率． 【题型1 随机现象与随机事件】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【题型2 随机事件的频率和概率】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 2．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【题型3 事件的关系】 1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 事件的运算】 1．（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 3．（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【题型5 互斥事件、对立事件的辨析】 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 2．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 3．（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．B与D互斥 D．C与D对立 4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【题型6 互斥事件、对立事件的概率】 1．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件和，其中．则__________． 2．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（   ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 4．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【题型7 相互独立事件及概率】 1．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 2．（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 3．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 4．（2023·吉林·一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【题型8 简单的古典概型】 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 2．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正确，则（    ） A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为 B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为 C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为 D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为 【题型9 游戏中的概率】 1．（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 4．（2026高三·全国·专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【题型10 频率与概率】 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 1．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 3．（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 5．（25-26高三·全国·一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 9．（25-26高二下·浙江·阶段检测）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 11．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 11．（25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________． 12．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率. 14．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 1．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（多选）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $