暑假作业18 概率统计（9大巩固提升练+4大能力培优练+3大创新题型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业18 概率统计 【知识点1 统计中的常见结论】 1.随机抽样中的常见结论 (1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. (2)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比. 2.频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 3.平均数、方差公式的推广 ⑴若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a． ⑵若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 4．分层随机抽样中的平均数与方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则=xi，s2=(xi-)2，=yi，t2=(yi-)2.若记总的样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出=xi+yi)=，b2==. 【知识点2 概率中的常见结论】 1．任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． 2.任一事件A的概率的取值范围为： 3.事件的和与积： (1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B． (2)A，B都发生的事件为AB． (3)A，B都不发生的事件为． (4)A，B恰有一个发生的事件为 (A)∪(B)． (5)A，B至多有一个发生的事件为． 4.互斥事件的概率公式的推广： 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 5.任意两事件和的概率公式： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：普查与抽样调查（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．选择普查与抽样调查的大体标准是：当总体容量很大时，通常是通过科学的抽样方法抽取具有代表性的样本进行抽查；当总体容量较小时，如果所进行的调查没有破坏性，那么可以选择普查，但是，如果所进行的调查具有破坏性，无论总体容量是多少，都只能选择抽样调查． 2．在总体和样本的相关概念中，要注意所调查的对象是什么,其中的每一个个体指的是其中的每一个调查对象. 1．在下列调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B 【解析】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 2．在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【解析】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 3．(多选)为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（   ） A．1000名运动员是总体 B．每名运动员的年龄是个体 C．样本容量为100 D．所抽取的100名运动员的年龄是样本 【答案】BCD 【解析】对于A，所抽取的1000名运动员的年龄是总体，A错误； 对于B，每名运动员的年龄是个体，B正确； 对于C，样本容量为100，C正确； 对于D，所抽取的100名运动员的年龄是样本，D正确. 故选：BCD. 【题型二：抽样方法（重点）】 ⭐【知识讲解】 1．应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． 2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1)抽样比＝＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 4．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【解析】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 5．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【答案】A 【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，分别为：253（第1个），313（第2个），457（不在范围内，不符合要求），860（不在范围内，不符合要求），736（不在范围内，不符合要求），253（重复，不符合要求），007（第3个），328（第4个）， 故选：A． 【易错警示】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到400内的数，特别要注意重复的数只取一次，读取到第4个即可． 6．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（   ） A．60 B．80 C．100 D．50 【答案】A 【解析】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为： 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为$200$的样本，根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为：（人），从高一年级抽取的学生人数为60人. 故选：A. 7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（   ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 【答案】ACD 【解析】因为三种型号轿车的产量具有明显的差异性，所以应采用分层随机抽样抽取，故A正确；B错误； 又因为三种型号轿车的产量之比为， 所以三种型号的轿车依次应抽取辆，辆，辆，故C正确； 根据随机抽样可知：每个个体被抽到的可能性均等，即每一辆被抽到的概率都是相等的，故D正确； 故选：ACD. 【方法总结】分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况． 8．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 【答案】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【解析】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 【题型三：统计图表（重点）】 ⭐【知识讲解】 对于统计图表题，其求解的关键是读图，要注意正确读图，并从图中读取所需的信息，再用来解决问题. 9．年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【解析】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 10.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（   ） A．老年男性志愿者人数为90 B．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C．青年女性志愿者人数为72 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 【答案】C 【分析】根据各个年龄层的人数，结合等高堆积条形图即可结合选项逐一求解. 【解析】由图1可知300名主播中，青年人有人， 中年人有人，老年人有人， 对于A,由图2可知样本老年男性志愿者人数为人，故A错误； 对于B,由图2可知老年女性志愿者人数为人； 中年女性志愿者有人；故B错误， 青年女性志愿者有人，故C正确， 中年男性志愿者人数为，青年男性志愿者人数，故D错误， 故选：C 11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【解析】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 【题型四：样本数字特征的计算与应用（高频）】 ⭐【知识讲解】 1．利用样本的数字特征解决决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 12．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【解析】将这组数据从小到大排列为：12，14，16，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C 13．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2 【答案】C 【解析】根据题意，数，，，的平均数是，方差， 则，，，的平均数为， 方差为.故选C. 【规律总结】一组数据的平均数为,方差为s2,将这组数据分别加上(减去)同一个常数a,所得数据的平均数为-a),方差不变;将这组数据分别乘同一个常数b(b≠0),所得数据的平均数为b,方差为b2s2. 14．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　) 甲　　　　　　　　乙 A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】C 【解析】根据条形统计图可知甲的中靶情况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为5环、5环、5环、6环、9环．甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，乙＝(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为 ＝2，乙的成绩的方差为＝2.4；甲的成绩的极差为4环，乙的成绩的极差为4环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为5环，综上可知C正确，故选C. 15.某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩; (2)现要从中选派一人参加国赛，从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 【答案】（1）甲、乙同学的平均成绩均为85分；（2）甲. 乙同学的平均成绩. 【解析】（1）根据题中数据可知： 甲同学的平均成绩， 乙同学的平均成绩. （2）由（1）可知， 甲同学成绩的方差： ， 乙同学成绩的方差： ， 所以， 综上所述，甲、乙两名同学平均成绩相同，所以两名同学水平相当； 又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，所以甲比乙的发挥更加稳定. 所以应该选择甲同学作为参加国赛的集中强化培训对象. 【方法总结】导师点睛 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究样本数据的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明样本数据分散性大，方差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中、稳定． 【题型五：频率分布表与频率分布直方图的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 1．频率分布直方图的性质 （1）因为小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. （3）=样本量. 2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 16．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 【答案】C 【分析】先求出中位数落在内，设中位数为，从而得到方程，求出答案. 【解析】，， 故中位数落在内， 设中国动漫市场受众群体年龄的中位数为，则， 解得. 故选：C. 【易错警示】频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率，切莫与条形图混淆． 17．某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 【答案】C 【解析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 18．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 【答案】 【解析】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 19．为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】(1)；(2)90（人） (3)众数为，平均数，中位数为. 【分析】（1）根据频率和为1计算求参即可； （2）先求出的频率再计算频数即可； （3）应用频率分布图计算众数，平均数及中位数定义分别计算求解即可. 【解析】（1）根据题意， ， 解得. （2）运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） （3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 20．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1)；(2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 (3)第70的分位数为75.83 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； （3）由百分位数的计算公式即可求解； 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 【题型六：随机事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 21.下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于①,随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确； 对于②,某人打靶，射击次，击中次，那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③,是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误； 对于④,是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 故选B. 【易错警】示 用频率作为概率时，随机事件发生的概率针对的是大量重复试验，对单独的一次或几次试验而言，很有可能结果与经过大量重复试验得出的概率相差很大. 22.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【解析】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选D. 23. （多选）某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（    ） A．估计平均每天销售50杯酸皮奶（同一组区间以中点值为代表） B．若当天准备55杯酸皮奶，则售罄的概率为 C．若当天准备45杯酸皮奶，则卖不完的概率 D．这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯 【答案】BCD 【解析】对于A，平均每天酸皮奶的销售量为（杯），A错误； 对于B，日销售量不小于55杯的概率为，B正确； 对于C，日销售量小于45杯的概率为，C正确； 对于D，，因此这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确. 故选BCD. 24.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】（1）0.6；（2）0.8. 【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y的所有可能值为900，300，－100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 【关键点拨】求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系． 【题型七：古典概型（重点）】 ⭐【知识讲解】 计算古典概型事件的概率可分3步 (1)计算基本事件总个数n； (2)计算事件A所包含的基本事件的个数m； (3)代入公式求出概率P. 25.下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【解析】在A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型.故选B. 【易错警示】古典概型必须满足以下两个条件，缺一不可： （1）有限性：试验中样本空间的样本点总数有限；（2）等可能性：每次试验中，样本空间中各个样本点出现的可能性相等. 26.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知．故选C． 27.在某次国际围棋比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为　　　　.  【答案】 【解析】记另外3位棋手分别为A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共10个样本点,设事件E为“甲和乙分在不同小组”,则E={(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A)},共6个样本点,所以P(E)=. 28．有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率. (1)恰有两名同学拿对了书包; (2)至少有两名同学拿对了书包; (3)书包都拿错了. 【答案】（1）；（2）；(3). 【解析】设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的样本空间Ω={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(B,A,D,C),(B,C,A,D),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(B,D,C,A),(C,A,B,D),(C,A,D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,A,C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共24个样本点. (1)记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M,则M={(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共6个样本点, 故P(M)=. (2)记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N,则N={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共7个样本点,故P(N)=. (3)记“书包都拿错了”为事件E,则E={(B,A,D,C),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(C,A,D,B),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共9个样本点,故P(E)=. 【题型八 互斥事件与对立事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 利用互斥事件与对立事件求概率 (1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便． 29.(多选)下列四个命题中,假命题有(　　) A.对立事件一定是互斥事件 B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 【答案】BCD 【解析】易知A是真命题; 对于B,当A与B为互斥事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),B是假命题; 对于C,不妨令事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C彼此互斥,但P(A∪B∪C)=,C是假命题; 对于D,例如,袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”, 则P(A)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题. 故选BCD. 30.已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，又，所以，解得，，所以.故选D. 31.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【解析】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．故选C． 32．国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示: 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 若该射击队员射击一次,求: (1)命中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率. 【答案】(1)0.60;(2)0.78;(3)0.22 【解析】记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥. (1)记“射击一次,命中9环或10环”为事件A,则当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60. (2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,则当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78. (3)事件B:“射击一次,至少命中8环”的对立事件为“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得P()=1-P(B)=1-0.78=0.22. 【题型九 相互独立事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.判断两个事件是否相互独立的方法： （1）定性法：由事件本身的实际意义，直观判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件； （2）定量法：利用P（AB）=P（A）P（B）是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 33.（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【解析】 对于A项，把一枚硬币掷两次，第一次和第二次的结果互不影响，故事件是相互独立事件，A项正确； 对于B项，不放回地摸球，显然第一次是否摸到白球将影响第二次摸到白球的概率，故事件A与事件不是相互独立事件，故B项错误； 对于C项，掷一枚骰子的样本点空间为，A={1，3，5}，B={1,3},所以， ，而，所以，于是得，所以事件相互独立，故C项正确； 对于D项，可知事件A，B是互斥事件，故D错误．故选AC. 34.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设第次拨号拨对号码.拨号不超过两次就拨对号码可表示为， 所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为. 故选B. 35.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率. 故选B. 36.在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿轴正方向移动的概率是，沿轴正方向移动的概率是，则该智能汽车移动3次恰好移动到点的概率为 . 【答案】 【解析】该智能汽车移动3次恰好移动到点，需沿轴正方向移动1次，沿轴正方向移动2次， 有三种方式：先沿轴移动一次，再沿轴移动两次；先沿轴移动一次，再沿轴移动一次，再沿轴移动一次；先沿轴移动两次，再沿轴移动一次，概率为． 36在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】 【解析】 由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 37.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育,某校组织了一次国家安全知识竞赛,已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为,p,且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率; (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对此题的概率为,求p的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)设事件A为“甲答对”,B为“乙答对”, 则P(A)=, “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为A∪B,且A与B互斥, 因为三人答题互不影响,所以A与B相互独立,则A与与B均相互独立, 则P(A∪. 所以甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率为. (2)设事件C为“丙答对”,则P(C)=p,P()=1-p, 设事件D为“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”, 则P(D)=1-P(,解得p=. 所以p的值为. 38.“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出每个员工“优秀”的概率，再乘以总人数即可得解； （2）设调出人，分别求出调整期和调整后的利润，再根据题意建立不等式，解之即可. 【解析】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ， 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个， 按去尾法取整，有人； （2）设调出人， 调整前的利润为（万元）， 调整后的利润为， 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，解得， 因为为整数，所以最大值为， 即部门最多可以调人到其他部门. 【题型一：分层随机抽样中的平均数与方差（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.平均数相同,方差小说明成绩比较稳定.平均数大且方差小说明成绩比较优秀而且稳定. 2.计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重，然后运用公式计算即可． 3.计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重，然后代入公式计算即可． 1.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，合肥六中高三（1）班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有人，女生有人，根据统计分析，男、女生成绩的方差分别为、，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于，若该班成绩的方差为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设男生、女生成绩的平均数分别为、，全班成绩的平均数为，则，由题意，利用分层抽样的方差公式可求出的最大值. 【解析】设男生、女生成绩的平均数分别为、，全班成绩的平均数为，则， 由题意， ，即的最大值为. 故选：D. 2．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和24，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和36，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为 . 【答案】 【解析】样本中50人的身高平均数为， 方差. 3．某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； (2)分别求图中的值与的值； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】(1)0.01；85%；(2)，；(3)72；59.2 【分析】（1）先求出a，再根据频率算出及格率即可；（2）根据及格率和平均值构造方程组计算即可；（3）根据分层抽样的平均值和方差公式计算即可. 【解析】（1）， 所以及格率为. （2）由题意可知：0.85， 得， 平均分， 解得，. （3）由频率分布直方图知，这400份答卷分数在的份数为， 分数在的份数为，所以， 总方差. 【题型二：求复杂事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 求复杂事件的概率的方法： (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积、和公式求解． (4)有时也可利用对立事件的概率公式求解，这体现了正难则反的思想. 4.已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用.重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立. (1)若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率； (2)求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率； (3)求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】对于（1）（2），由题意，利用列举法，结合古典概型的概率公式求； 对于（3），由（2）可得每次操作之后和的情况，再利用概率的乘法公式求解. 解析（1）设第次操作后A，B两个盒子里球的个数分别为， 列举所有8种可能的情形： ，，，，，，，， 满足的有3种情形，所以第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率. （2）设，，在第次操作结果有8种等可能的情形， ①当，或，，或，或，时， ②当，或，时，； ③当，或，时，； 仅有③中所述2种情形是减少的， 故一次操作后A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率为. （3）由（2）的讨论知，每一次操作，A，B两个盒子里球的个数之和有3种可能的变化： 增加1个、不变、减少1个，要满足本次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为， 即比初始值增加个，则只可能是每一次操作均增加1个小球. 由（2）知，每次操作小球增加1个的概率为， 由于每一次操作结果均独立，本次操作均增加1个的概率为 故A，B两个盒子里球的个数之和为的概率为. 5.近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 思路点拨 （1）A获得冠军→AB组A获胜，由A与CD组胜者决赛并胜出，C获得冠军→CD组C获胜，由C与AB组胜者决赛并胜出； （2）淘汰赛制下A胜→AB组A获胜，A胜C或A胜D，双败赛制下A胜→分A进入胜者组、A进入败者组讨论求解. (3)记“双败赛制”下A胜的概率与淘汰赛制下A胜的概率之差为函数f（p）→f（p）＞0→双败赛制下对强者更有利. 【答案】（1）；（2）；（3）对强者有利 【解析】（1）由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 则A获得冠军的概率为， 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 则C获得冠军的概率为. （2）淘汰赛制下，A获得冠军的概率为， “双败赛制”下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率. （3）令 若A为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【题型三：统计图表与概率的综合（高频）】 6．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】(1)；平均数；中位数；(2)；(3) 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 7．为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【答案】(1)答案见解析，中位数为6.4，平均数为6.2.；(2)0.51． 【分析】（1）根据频率之和为1，可求出这一组的频率，进而求出矩形的“高度”，补全频率分布直方图，再根据中位数和平均数的概念，用评率分布直方图估计中位数和平均数. （2）利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解. 【解析】（1）第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为，故补全频率分布直方图如下： 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． （2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 【题型四：概率统计与函数的综合（难点）】 8.将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是(　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】B 【解析】由题意可知m,n∈{1,2,3,4,5,6}, 若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增,则-≤1,即m≥2n. 以(m,n)表示抛掷两次所得的点数,则所有的情况有62=36种, 满足m≥2n的有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9种, 故所求概率P=. 故选B. 9.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完. （1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式； （2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差； （3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由. 【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，理由见 【分析】（1）当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润，由此能求出当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式. （2）由题意，利用平均数和方差的公式，即可求出这30天的日利润的平均数和方差. （3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产. 【解析】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润， 当天需求量时，当天的利润. 故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为:，. （2）由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 54 57 60 60 60 60 频数 3 4 6 6 7 4 所以这30天的日利润的平均数为（元）， 方差为. （3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下： 由， 可得， 所以（，，），所以， 由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产. 10．数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． (1)当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； (2)用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）的最大值为 【分析】（1）利用事件独立性即可求解； （2）（ⅰ）分别把概率表示出来，理解事件表示1传输错误，且两个0传输都正确，理解包含以下两种情况，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值； （ⅱ）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围． 【解析】（1）记事件：“收到的所有数字都正确”， 由已知且可知， 所以； （2）（ⅰ）由发送的数据为“100”可知，事件表示1传输错误，且两个0传输都正确， 所以， 事件包含以下两种情况； ①1传输正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②1传输错误，且只有一个0传输都正确，其概率为， 所以； 又， 所以， 即， 整理得， 把代入上式，化简得， 解得：或， 因为，且，， 所以，， 所以； （ⅱ）当发送的数据为“1100”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为， 所以， 令，则，从而， 所以， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递增， 所以得最大值为， 即的最大值为． 【方法总结】本题主要考查古典概型，随件事件独立性等知识，需要充分理解事件的独立性求概率，需要理解问题中的事件是哪些事件的和事件，需要不重不漏的表示出来，把问题利用函数的思想来求解． 【题型一：数学文化题（高频）】 1.如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 2．我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有 石. 【答案】232 【解析】这批米内所夹的谷有， 3．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为 ． 【答案】 【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为，田忌的上等马，中等马，下等马分别为， 每一局双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或者两场以上者获胜， 基本事件有6个，分别为：， 田忌获胜的基本事件有1个，所以田忌获胜的概率为. 4．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为， 【题型二：学科交叉题（难点）】 5.如图所示的电路有a,b,c,d四个开关,每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】C 【解析】记“c,d至少有一个闭合”为事件M,则P(M)=1-,所以灯泡亮的概率P=.故选C. 6．某种细胞如果不能分裂就死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为.现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先考虑一个母细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率，再根据对立事件和相互独立事件的概率公式求出两个这样的细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率； 【详解】先考虑一个母细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率是，故两个这样的细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率为. 故选：A 7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件，，，，.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（    ）      A．，两个盒子串联后畅通的概率为 B．，两个盒子并联后畅通的概率为 C．，，三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】D 【分析】串联电路中，同时畅通电路才畅通；并联电路中，同时断电才断电；故利用对立事件，相互独立事件同时发生的概率判断选项． 【解析】对于A：，两个盒子串联后畅通的概率为，故A错误． 对于B：，两个盒子并联后畅通的概率为，故B错误． 对于C，，两个盒子串联后不畅通的概率为， 所以，，三个盒子混联后畅通的概率为，故C错误； 对于D：当开关合上时，整个电路畅通的概率为，故D正确． 故选：D． 【题型三：新定义题（重点）】 8．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和． （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【解析】（1）， ， ， . （2）依题意，，， ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 9.某校数学兴趣班将10名成员平均分为甲､乙两组进行参赛选拔，在单位时间内每个同学做竞赛题目若干，其中做对题目的个数如下表： 同学个数 组别 1号 2号 3号 4号 5号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （1）分别求出甲､乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的数学水平； （2）学校教务部门从该兴趣班的甲､乙两组中各随机抽取1名学生，对其进行考查，若两人做对题目的个数之和超过12个，则称该兴趣班为“优秀兴趣班”，求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率. 【答案】（1），，，，两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大；（2）. 【解析】（1）依题中的数据可得： ，， ， ， ∵，， ∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大. （2）设事件表示：该兴趣班获“优秀”， 则从甲､乙两组中各抽取1名学生做对题目个数的基本事件为： ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，，共25种. 事件包含的基本事件为： ，，，，，，，，，，，，，，，，共17种. ∴. 答：即该兴趣班获“优秀”的概率为. 10．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】(1)，； (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可； （2）根据公式计算出的值，和比较大小即可. 【详解】（1）， ， ， 的值分别为: ， 故 （2）由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 11．希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm） 序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4 序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 长度 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0 (1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差； (2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立． （记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立） 参考数据：，，，． 【答案】(1)平均数和方差分别为12.5，0.43 (2)不成立，理由见解析 【分析】（1）根据统计数据表，利用平均数与方程的计算式，求解蔬菜果实长度的平均数和方差即可； （2）结合已知等式与条件，求解，从而做出判断即可. 【解析】（1）由题意知， ， 所以， ． 所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43． （2）结合已知，由（1）得，， 所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业18 概率统计 【知识点1 统计中的常见结论】 1.随机抽样中的常见结论 (1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. (2)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比. 2.频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 3.平均数、方差公式的推广 ⑴若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a． ⑵若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 4．分层随机抽样中的平均数与方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则=xi，s2=(xi-)2，=yi，t2=(yi-)2.若记总的样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出=xi+yi)=，b2==. 【知识点2 概率中的常见结论】 1．任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． 2.任一事件A的概率的取值范围为： 3.事件的和与积： (1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B． (2)A，B都发生的事件为AB． (3)A，B都不发生的事件为． (4)A，B恰有一个发生的事件为 (A)∪(B)． (5)A，B至多有一个发生的事件为． 4.互斥事件的概率公式的推广： 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 5.任意两事件和的概率公式： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：普查与抽样调查（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．选择普查与抽样调查的大体标准是：当总体容量很大时，通常是通过科学的抽样方法抽取具有代表性的样本进行抽查；当总体容量较小时，如果所进行的调查没有破坏性，那么可以选择普查，但是，如果所进行的调查具有破坏性，无论总体容量是多少，都只能选择抽样调查． 2．在总体和样本的相关概念中，要注意所调查的对象是什么,其中的每一个个体指的是其中的每一个调查对象. 1．在下列调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 2．在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 3．(多选)为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（   ） A．1000名运动员是总体 B．每名运动员的年龄是个体 C．样本容量为100 D．所抽取的100名运动员的年龄是样本 【题型二：抽样方法（重点）】 ⭐【知识讲解】 1．应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． 2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1)抽样比＝＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 4．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 5．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 6．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（   ） A．60 B．80 C．100 D．50 【答案】A 【解析】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为： 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为$200$的样本，根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为：（人），从高一年级抽取的学生人数为60人. 故选：A. 7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（   ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 8．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 【题型三：统计图表（重点）】 ⭐【知识讲解】 对于统计图表题，其求解的关键是读图，要注意正确读图，并从图中读取所需的信息，再用来解决问题. 9．年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 10.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（   ） A．老年男性志愿者人数为90 B．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C．青年女性志愿者人数为72 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【题型四：样本数字特征的计算与应用（高频）】 ⭐【知识讲解】 1．利用样本的数字特征解决决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 12．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 13．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2 14．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　) 甲　　　　　　　　乙 A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 15.某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩; (2)现要从中选派一人参加国赛，从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 【题型五：频率分布表与频率分布直方图的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 1．频率分布直方图的性质 （1）因为小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. （3）=样本量. 2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 16．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 17．某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 18．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 19．为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 20．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【题型六：随机事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 21.下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 23. （多选）某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（    ） A．估计平均每天销售50杯酸皮奶（同一组区间以中点值为代表） B．若当天准备55杯酸皮奶，则售罄的概率为 C．若当天准备45杯酸皮奶，则卖不完的概率 D．这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯 24.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【题型七：古典概型（重点）】 ⭐【知识讲解】 计算古典概型事件的概率可分3步 (1)计算基本事件总个数n； (2)计算事件A所包含的基本事件的个数m； (3)代入公式求出概率P. 25.下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 26.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 27.在某次国际围棋比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为　　　　.  28．有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率. (1)恰有两名同学拿对了书包; (2)至少有两名同学拿对了书包; (3)书包都拿错了. 【题型八 互斥事件与对立事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 利用互斥事件与对立事件求概率 (1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便． 29.(多选)下列四个命题中,假命题有(　　) A.对立事件一定是互斥事件 B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 30.已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 31.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 32．国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示: 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 若该射击队员射击一次,求: (1)命中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率. 【题型九 相互独立事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.判断两个事件是否相互独立的方法： （1）定性法：由事件本身的实际意义，直观判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件； （2）定量法：利用P（AB）=P（A）P（B）是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 33.（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 34.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 35.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 36.在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿轴正方向移动的概率是，沿轴正方向移动的概率是，则该智能汽车移动3次恰好移动到点的概率为 . 36在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 37.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育,某校组织了一次国家安全知识竞赛,已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为,p,且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率; (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对此题的概率为,求p的值. 38.“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【题型一：分层随机抽样中的平均数与方差（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.平均数相同,方差小说明成绩比较稳定.平均数大且方差小说明成绩比较优秀而且稳定. 2.计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重，然后运用公式计算即可． 3.计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重，然后代入公式计算即可． 1.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，合肥六中高三（1）班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有人，女生有人，根据统计分析，男、女生成绩的方差分别为、，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于，若该班成绩的方差为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和24，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和36，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为 . 3．某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； (2)分别求图中的值与的值； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【题型二：求复杂事件的概率（重点）】 ⭐【知识讲解】 求复杂事件的概率的方法： (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积、和公式求解． (4)有时也可利用对立事件的概率公式求解，这体现了正难则反的思想. 4.已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用.重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立. (1)若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率； (2)求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率； (3)求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率. 5.近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 思路点拨 （1）A获得冠军→AB组A获胜，由A与CD组胜者决赛并胜出，C获得冠军→CD组C获胜，由C与AB组胜者决赛并胜出； （2）淘汰赛制下A胜→AB组A获胜，A胜C或A胜D，双败赛制下A胜→分A进入胜者组、A进入败者组讨论求解. (3)记“双败赛制”下A胜的概率与淘汰赛制下A胜的概率之差为函数f（p）→f（p）＞0→双败赛制下对强者更有利. 【题型三：统计图表与概率的综合（高频）】 6．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 7．为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【题型四：概率统计与函数的综合（难点）】 8.将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是(　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 9.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完. （1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式； （2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差； （3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由. 10．数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． (1)当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； (2)用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 【题型一：数学文化题（高频）】 1.如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有 石. 3．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为 ． 4．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【题型二：学科交叉题（难点）】 5.如图所示的电路有a,b,c,d四个开关,每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6．某种细胞如果不能分裂就死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为.现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（    ）. A． B． C． D． 7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件，，，，.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（    ）      A．，两个盒子串联后畅通的概率为 B．，两个盒子并联后畅通的概率为 C．，，三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【题型三：新定义题（重点）】 8．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和． （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 9.某校数学兴趣班将10名成员平均分为甲､乙两组进行参赛选拔，在单位时间内每个同学做竞赛题目若干，其中做对题目的个数如下表： 同学个数 组别 1号 2号 3号 4号 5号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （1）分别求出甲､乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的数学水平； （2）学校教务部门从该兴趣班的甲､乙两组中各随机抽取1名学生，对其进行考查，若两人做对题目的个数之和超过12个，则称该兴趣班为“优秀兴趣班”，求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率. 10．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 11．希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm） 序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4 序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 长度 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0 (1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差； (2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立． （记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立） 参考数据：，，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$