精品解析：山东东营市东营区2025-2026学年第一学期期末教学质量反馈九年级数学试题

2025-2026学年第一学期教学质量反馈 九年级数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知半圆 以 为直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点 在半圆上，斜边经过点 ，一条直角边交半圆 于点 ．则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（ ） A. 不变 B. 扩大至倍 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 5. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点 对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 7. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，则这个物体的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边 中， 为 边上一点， 为 边上一点，且．若，，则 的边长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 9. 刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连结 ， 交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 如图，在面积为的正方形 中， 是对角线的交点，过点 作射线分别交于点，且交于点．下列结论：；；③四边形的面积为．其中结论正确的序号有（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．要求只填写最后结果． 11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为_________； 12. 如图，在Rt 中，，，，则的值为_______． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，， 与 相交于点D．测得，，，则树高______． 14. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦 的长为___________cm． 15. 如图，在 中，，，，，则 的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在 轴上，顶点 在反比例函数的图象上，若菱形的面积为4，则 的值为___________． 17. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为_____． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点 重合）．点，，，，，，，，，…，则点的坐标________________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的整数解． 20. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 21. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 22. 如图，在 中， ，点D是 上一点，且，点O在 上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求 的长． 23. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺． 【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离 ． 测出所站地方到古树底部的距离 ． ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度 ．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 24. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ，，且，请你判断的值为___________； （2）如图2，在矩形 中，，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，求的值； （3）如图3，在四边形 中，，点 为 上一点，连接 ，过点作 的垂线交的延长线于点，交 的延长线于点 ，且．求 的长． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期教学质量反馈 九年级数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 3. 已知半圆 以 为直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点 在半圆上，斜边经过点 ，一条直角边交半圆 于点 ．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 4. 在 中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（ ） A. 不变 B. 扩大至倍 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的定义，根据题意画出图形，求出扩大后的值，比较即可，解题的关键是正确理解三角函数的定义． 【详解】如图， 设，，，则扩大后三边长是，，， ∵， ∴扩大后， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点 对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点， ∴点坐标为或， 即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 7. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，则这个物体的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知：该物体是一个圆锥，其轴截面是高为的等边三角形，从而求出该圆锥的底面圆的半径和母线长，设这个物体的侧面展开图的圆心角为n°，然后根据弧长公式列出方程即可求出结论． 【详解】解：由三视图可知：该物体是一个圆锥，其轴截面是高为的等边三角形 ∴该圆锥的底面圆的半径为，母线长为 设这个物体的侧面展开图的圆心角为n° ∴ 解得：n=180 故选D． 【点睛】此题考查的是根据三视图判断几何体的形状、锐角三角函数和弧长公式，掌握锐角三角函数和弧长公式是解决此题的关键． 8. 如图，在等边 中， 为 边上一点， 为 边上一点，且．若，，则 的边长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．设 的边长为 ，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设 的边长为 ，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即 的边长为18， 故选：C． 9. 刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连结 ， 交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合、平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设其中一个12等分分割的三角形为，过点 作于点，根据圆的基本性质可得，， ，，推出四边形 是平行四边形，利用含角的直角三角形的性质计算出，从而得到，最后利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设其中一个12等分分割的三角形为，过点 作于点， 由题意得，， ，， 四边形 是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 四边形 是平行四边形， ，， ． 故选：C． 10. 如图，在面积为的正方形 中， 是对角线的交点，过点 作射线分别交于点，且交于点．下列结论：；；③四边形的面积为．其中结论正确的序号有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①由正方形证明OC=OB，∠ODF=∠OCE=45°，∠BOE=∠COF，便可得结论； ②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可； ③先证明S△COE=S△DOF，∴S四边形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD便可； ④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC=OE2，再证明OG•AC=EF2，再证明BE2+DF2=EF2，得OG•AC=BE2+DF2便可． 【详解】解：①如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OB，AC⊥BD，∠OCF=∠OBE=45°， ∵∠MON=90°， ∴∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF（ASA）；故①正确； ②∵∠EOF=∠ECF=90°， ∴点O、E、C、F四点共圆， ∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG， ∴△OGE∽△FGC；故②正确； ③易证△COE≌△DOF， ∴S△COE=S△DOF， ∴S四边形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD=1；故③正确； ④∵△COE≌△DOF， ∴OE=OF， 又∵∠EOF=90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴∠OEG=45°=∠OCE， ∵∠EOG=∠COE， ∴△OEG∽△OCE， ∴OE：OC=OG：OE， ∴OG•OC=OE2， ∵OC=AC，OE=EF， ∴OG•AC=EF2， ∵CE=DF，BC=CD， ∴BE=CF， 又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2， ∴BE2+DF2=EF2， ∴OG•AC=BE2+DF2， ∴2OG•OC=BE2+DF2；故④正确， 故选：D． 【点睛】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．要求只填写最后结果． 11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为_________； 【答案】m＞2 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴＞0， 解不等式即可得结果：m＞2. 故答案是：m＞2． 12. 如图，在Rt 中，，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理求出 ，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，， 与 相交于点D．测得，，，则树高______． 【答案】5m##米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦 的长为___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得 ，进而完成解答． 【详解】解： 如图， 连接， 由题意得： ， 、， 由条件可知， 由勾股定理得 ， ． 截面圆中弦 的长为． 故答案为． 15. 如图，在 中，，，，，则 的长度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，，判断出，再根据，，得出 ，，便可求解了． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 又， 又 ， ， ， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在 轴上，顶点 在反比例函数的图象上，若菱形的面积为4，则 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，反比例函数系数 的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数 的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 交于点 ， 四边形是菱形，在 轴上，， ，， ∴， 解得：， ， ， 故答案为： ． 17. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′， 由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°， ∴∠COD′=90°， ∴， 的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点 重合）．点，，，，，，，，，…，则点的坐标________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，…， 观察可知，每4个点为一组， 点， ∵， ∴点的纵坐标是0，横坐标是， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（ ）；（）不等式组的解集为，它的整数解为 ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，负整数指数幂，零指数幂和不等式组的整数解问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （ ）分别计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简和绝对值的计算，然后合并即可； （）分别求出每个不等式的解集，然后求不等式组的解集，再找出整数解即可． 【详解】解：（ ） ； （）， 解不等式： ， 解不等式： ， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为 ， ， ． 20. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）50人；； 补条形统计图如下． （2）80人 （3）； 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人）， 故答案为：50人；． 【小问2详解】 解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校 名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校 名八年级学生中填报C类研学项目的学生有 人． 【小问3详解】 解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 21. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数 的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或 ． 22. 如图，在 中， ，点D是 上一点，且，点O在 上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求 的长． 【答案】（1） 解：直线 与 相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为 的半径， ∴直线 与 相切； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出 与 相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出 的长，再解直角三角形，求出 的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 23. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺． 【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离 ． 测出所站地方到古树底部的距离 ． ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度 ．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【答案】， 【解析】 【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得 的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，， 在 中，， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键． 24. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ，，且，请你判断的值为___________； （2）如图2，在矩形 中，，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，求的值； （3）如图3，在四边形 中，，点 为 上一点，连接 ，过点作 的垂线交的延长线于点，交 的延长线于点 ，且．求 的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数． （1）利用可证明，根据全等三角形的性质得到 ，得到答案； （2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交 的延长线于点 ，根据可证明，列出比例式，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：如图1，设 与交于点， ∵四边形 是正方形， ， ∵， ， ， ， 在 和 中， ， ∴， ， ∴ ， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图2，设与 交于点， ∵四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴， 即 ∵， ∴， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3，过点作交 的延长线于点 ， ∵， ， ∴四边形为矩形， ， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为 （2） （3）存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点 的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点 作轴于点 ，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接 ， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点 作轴于点 ， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点 的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $