第8章 微专题 隐圆问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案聚焦隐圆问题专题，系统整合几何关系（定角、定理）与数量关系（阿波罗尼斯圆、向量定值）两大确定路径，通过例题解析与方法总结构建知识网络，以问题链引导学生自主归纳“形”与“数”的转化逻辑，形成层次分明的解题框架。 亮点在于自主诊断与思维进阶设计，开篇设置典型例题引导学生用数学眼光观察轨迹特征，通过听课记录表格梳理“PA⊥PB则P在以AB为直径的圆上”等结论培养数学思维，强化训练题分层设置，学生可通过错题归因自主提升，助力教师精准把握学情，实现因材施教。

微专题　隐圆问题 　　有这样一类有关圆的题目，条件中没有直接给出有关圆的信息，而是以隐性的形式出现，处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”找出来，一方面可以利用圆的几何性质，从“形”的角度找出来，例如：定义法、定角（动点P对两定点A，B的张角是直角）、定理（四点共圆定理）等；另一方面，可以从“数”的角度找出来，例如：圆的方程、定值法（ 已知两定点A，B，动点P满足·是定值、是定值）等. 利用几何关系确定隐圆 （1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是（　　） A.[4，6] B.（4，6） C.（0，4）∪[6，＋∞） D.（0，4）∪（6，＋∞） （2）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝，P是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝上的动点，则｜＋｜的取值范围是　　　　. 听课记录 1.对于动点的轨迹问题，可以利用圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义识别动点的轨迹，也可以利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹. 2.利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点. 利用数量关系确定隐圆 （1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程为（　　） A.（x＋1）2＋y2＝4 B.x2＋（y＋1）2＝4 C.（x＋1）2＋y2＝2 D.x2＋（y＋1）2＝2 （2）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是　　　　； （3）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录 1.两定点A，B，动点P满足·＝λ，确定隐圆.特别地，若A，B为定点，且·＝0，则点P的轨迹是以AB为直径的圆. 2.两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ确定隐圆. 3.两定点A，B，动点P满足＝λ（λ＞0，λ≠1）确定隐圆（阿波罗尼斯圆）. 1.已知平面内一个动点A和两个定点B（0，0），C（5，0）满足△ABC的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为　　　　. 2.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为　　　　. 3.已知点A（2，3），点B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是　　　　. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是　　　　. 5.已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），O为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为　　　　. 6.已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点A（ －，0）和点B（ 0，），M为圆O上的动点，则2｜MA｜－｜MB｜的最大值为　　　　. 答案 微专题　隐圆问题 【例1】　（1）A　（2）[2－4，2＋4] 解析：（1）由题意知，点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），可得以PQ为直径的圆的方程为（x－2）2＋y2＝t2，则圆心C1（2，0），半径R＝t.又由圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，可得圆心C（－2，3），半径r＝1，两圆的圆心距为｜CC1｜＝＝5，要使得圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆存在公共点，则满足即解得4≤t≤6，所以实数t的取值范围是[4，6].故选A. （2）取AB的中点D.因为｜AB｜＝，所以｜OD｜＝＝，从而点D的轨迹方程为x2＋y2＝，所以点D的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆.因为C（2，1），所以｜OC｜＝.如图，又圆C的半径为，所以－2≤｜｜≤＋2，而＋＝2，所以｜＋｜＝2｜｜，从而2－4≤｜＋｜≤2＋4. 【例2】　（1）A　（2）[－5，1]　（3）[0，3] 解析：（1）如图所示，设动点M（x，y），连接MO，MA，有｜MA｜＝2｜MO｜，即＝2，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4. （2）设P（x，y），由·≤20，易得2x－y＋5≤0，由可得或由2x－y＋5≤0得P点在直线2x－y＋5＝0所分圆的左边圆弧上，结合限制条件－5≤x≤5，可得点P的横坐标的取值范围为[－5，1]. （3）设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，可得x2＋（y－1）2＝4，∴点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，故圆x2＋（y－1）2＝4和圆（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3. 强化训练 1.（x－10）2＋y2＝36（y≠0）　2.3　 3.（－∞，2）　 4.［－，］　解析：设M（x，y），因为｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，所以（x－2）2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C'：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆的方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－≤y≤，所以点M的纵坐标的取值范围是［－，］. 5.10　解析：假设A'（m，n），使得｜PO｜＝2｜PA'｜，设P（x，y），则＝2，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为（ ，），由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆（x－4）2＋（y－4）2＝8是同一个圆，所以＝4，＝4，解得m＝n＝3，即A'（3，3）.所以｜PO｜＋2｜PA｜＝2（｜PA'｜＋｜PA｜）≥2｜A'A｜＝2＝10，即｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为10. 6.　解析：设M（x，y），令2｜MA｜＝｜MC｜，则＝，由题知圆O：x2＋y2＝1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝，设点C（m，n），则＝＝，整理得x2＋y2＋x＋y＝，与x2＋y2＝1比较，可得＝0，＝0，＝1，即m＝－2，n＝0，点C（－2，0）， 当点M位于图中M1的位置时，2｜MA｜－｜MB｜＝｜MC｜－｜MB｜的值最大，最大值为｜BC｜＝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $