第8章 微专题 解析几何中减少运算量的常见技巧(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

 微专题　解析几何中减少运算量的常见技巧

　　解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支，解题的第一步通常是把几何条件转化为代数语言；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步骤，减少运算量，实现多想少算之目的，下面就从几种技巧入手，予以例析.

妙借向量

平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.

已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线C：－y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.

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直线方程的正设与反设

常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和圆相切亦是如此.

如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（ 0，）作直线l与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点.

关联设元

关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法的常见类型：

（1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－（注意讨论特殊情况，下同）；

（2）关于x轴或y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）；

（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量少，形式尽量一致；

（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.

 

已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－.

①求·的最值；

②求证：四边形ABCD的面积为定值.

非对称化处理

形式不对称：例如＋，（x1＋1）（x2＋1），＝，，，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？

（1）配凑：如＋＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，（＋）2＝x1＋x2＋2，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1；

（2）曲线代换：若两点均在曲线＋y2＝1和直线y＝kx－上，那么形如的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到＋＝1⇒＝9－9⇒＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可以得到；若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立可以得到y2－4ty－4＝0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更简单，则x1x2＝·＝1；

（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非对称式转化为对称式处理.

已知椭圆x2＋＝1短轴的左、右两个端点分别为A，B，直线l：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点.

（1）若＝，求直线l的方程；

（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.

1.已知抛物线y＝x2－1上一定点B（－1，0）和两个动点P，Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是（　　）

A.（－∞，3]

B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）

C.（－∞，－3]

D.（－∞，－3]∪[－1，＋∞）

2.在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的方程为　　　　.

3.若椭圆E1：＋＝1（a1＞b1＞0）和椭圆E2：＋＝1（a2＞b2＞0），满足＝＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比.

（1）求经过点（2，），且与椭圆＋＝1相似的椭圆方程；

（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中点A在线段OB上），求｜OA｜·｜OB｜的取值范围.