第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了同角三角函数基本关系与诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系为基础，六组诱导公式为拓展，构建“概念-应用-综合”的知识网络，通过诊断自测问题链引导学生自主发现薄弱点，形成层次分明的知识体系。 亮点在于自主诊断与分层训练设计，开篇设置判断、选择等诊断题帮助学生定位问题，分“知一求二”“弦切互化”等考向设计例题与训练，培养数学思维的推理与运算能力。每个模块配有方法总结与错题归因表，助力学生个性化提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式（ α±，α±π的正弦、余弦、正切），并会简单应用. 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）； （2）商数关系：tan α＝（ α≠kπ＋，k∈Z）. 提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）. 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α sin α cos α 余弦 cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α 提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限. 1.同角三角函数关系式的常见变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）； （2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）； （3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； （4）sin α＝tan αcos α（ α≠＋kπ，k∈Z）； （5）sin2α＝＝，cos2α＝＝. 2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）； （2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.（　　） （2）sin（π＋α）＝－sin α成立的条件是α为锐角.（　　） （3）若α∈R，则tan α＝恒成立.（　　） （4）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sin α＝.（　　） 2.若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝（　　） A.2　　B.－2 C.　　D.－ 3.〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　） A.sin（－x）＝sin x　　B.sin（ －x）＝cos x C.cos（ ＋x）＝－sin x D.cos（x－π）＝－cos x 4.sin 2 490°＝　　　　　，cos＝　　　　. 5.已知＝－5，则tan α＝　　　　. 同角三角函数基本关系式 （定向精析突破） 考向1　知一求二 已知tan α＝－，α∈（ ，π），则sin α－2cos α＝（　　） A. B. C.1 D.－1 听课记录 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 考向2　弦切互化 若sin θ＝－2cos θ，则sin θ（sin θ＋cos θ）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 听课记录 　　形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切. 考向3　和（差）积转换 〔多选〕已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则（　　） A.θ∈（ ，π） B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 听课记录 “sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用 　　sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝. 训练1 （1）已知＝2，则tan α＝（　　） A. B. C.－ D.－ （2）（2026·陕西西安模拟）若θ∈（0，π），tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝（　　） A. B.－ C.± D. 诱导公式的应用 （师生共研过关） （1）（2025·山东烟台一模）已知tan α＝－2，则＝（　　） A.－ B. C.－2 D.2 （2）（2026·江西上饶清源学校段考）已知cos（ －θ）＝a（｜a｜≤1），则cos（ ＋θ）＋sin（ －θ）＝　　　　. 听课记录 1.利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角； （2）角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 （1）互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等； （2）互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等. 训练2 （1）（2026·河北衡水模拟）已知cos（75°＋α）＝，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝　　　　； （2）（2026·山西临汾质检）已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合为　　　　. 同角关系与诱导公式的综合应用 （师生共研过关） （1）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos（ ＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　） A. B. C. D. （2）已知0＜α＜，且sin（ α－）＝，则sin（ －α）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 听课记录 　　利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响. 训练3 （1）已知sin（ －α）＋cos（π－α）＝sin α，则2sin2α－sin αcos α＝（　　） A. B. C. D.2 （2）〔多选〕已知sin（ x＋）＝－，x∈（ ，π），则（　　） A.cos（ x＋）＝－ B.tan（ x＋）＝2 C.cos（ －x）＝－ D.sin（ －x）＝ 提示：完成课后作业　第四章　第2节 答案 第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【夯实必备知识】 知识梳理 2.－sin α　cos α　－cos α　－tan α　 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.D　3.CD　4.－　－　5.－ 【研透核心考点】 考点1 【例1】　A　因为α∈（ ，π），所以sin α＞0，cos α＜0，又解得所以sin α－2cos α＝＋＝. 【例2】　C　因为sin θ＝－2cos θ，所以cos θ≠0，且tan θ＝－2，所以sin θ·（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝. 【例3】　ABD　∵sin θ＋cos θ＝　①，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－，∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴θ∈（ ，π），故A正确；（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝　②，故D正确；由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；tan θ＝＝－，故C错误. 训练1　（1）B　（2）A　解析：（1）因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝4，即4sin αcos α＝3cos2α，所以tan α＝.故选B. （2）因为tan θ＋＝＋＝＝＝6，所以sin θcos θ＝，所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝.又θ∈（0，π），sin θcos θ＝＞0，sin θ＞0，则cos θ＞0，所以sin θ＋cos θ＝.故选A. 考点2 【例4】　（1）C　（2）0 解析：（1）＝＝＝＝－2.故选C. （2）由题知cos（ ＋θ）＝cos［π－（ －θ）］＝－cos（ －θ）＝－a，sin（ －θ）＝sin［＋（ －θ）］＝cos（ －θ）＝a，∴cos（ ＋θ）＋sin（ －θ）＝0. 训练2　（1）0　（2）{－2，2}　解析：（1）因为（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－＋＝0. （2）由题意得A＝＋，k∈Z，当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.∴A的值构成的集合是{－2，2}. 考点3 【例5】　（1）C　（2）C　解析：（1）由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，则sin α＝. （2）因为0＜α＜，所以－＜α－＜，又sin（ α－）＝，所以cos（ α－）＝＝，sin（ －α）＝sin（ ＋－α）＝cos（ －α）＝cos（ α－）＝.故选C. 训练3　（1）D　（2）AC　解析：（1）由诱导公式可得sin α＝sin（ －α）＋cos（π－α）＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此，2sin2α－sin αcos α＝＝＝＝2. （2）因为x∈（ ，π），所以x＋∈（ ，），又sin（ x＋）＝－，所以x＋∈（ π，），所以cos（ x＋）＝－＝－，故A正确；所以tan（ x＋）＝＝，故B错误；又cos（ －x）＝cos［－（ x＋）］＝sin（ x＋）＝－，故C正确；sin（ －x）＝sin［－（ x＋）］＝cos（ x＋）＝－，故D错误. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $