专题05 二元一次方程组 期末复习讲义 -2025-2026学年苏科版数学七年级下册.

专题05二元一次方程组期末复习讲义 期末复习◆重点 核心必背重点：二元一次方程、二元一次方程组精准定义；代入、加减消元法核心逻辑；方程组解的概念与标准书写格式。 解题必考重点：二元一次方程组基础化简计算；含参数方程组、同解方程组、看错系数类经典题型；配套、行程、工程、几何四大实际应用大题。 易错规避重点：判定方程忽视整式、未知数项次数双重限制；消元、去括号运算符号易出错；方程组解遗漏大括号；应用题忽略未知数实际取值约束。 核心题型◆归纳 题型1.二元一次方程定义 题型2.二元一次方程的解判定 题型3.二元一次方程组定义 题型4.二元一次方程组的解判定 题型5.已知二元一次方程组的一组解，求参数 题型6.代入消元法解二元一次方程组 题型7.加减消元法解二元一次方程组 题型8.二元一次方程组特殊解法 题型9.二元一次方程组错解复原问题 题型10.构造二元一次方程组求解 题型11.根据方程组解的情况求参数 题型12.同解方程组求参数 题型13.三元一次方程组定义与求解 题型14.三元一次方程组实际应用 题型15.方案问题 题型16.行程问题 题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售、利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息题 题型25.古代问题 题型26.其他问题 重点知识◆梳理 【知识点一、二元一次方程（组）概念】 1.二元一次方程定义：含有两个未知数，常用x、y表示，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的方程，叫做二元一次方程。 三重判定标准： ① 整式方程，分母、根号内不含未知数； ② 方程仅含 2 种不同未知数； ③ 无(x2、xy、y3)等高次项。 性质：单个二元一次方程有无数组解。 2.二元一次方程组定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：单个方程可只含一个未知数，整体满足双未知数即可。 3.二元一次方程组的解：使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。。 【知识点二、两大消元解法】 核心统一思想：消元，化二元方程组为一元一次方程 ✅代入消元法:方程组中至少一个方程可轻松变形为“x=ay+b”或“y=ax+b”（一个未知数能用另一个未知数表示）。 步骤:(1)解：选系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y=kx+b）； (2)代：将变形后的方程代入另一个方程，消元得一元一次方程； (3)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (4)回代：将所求值代入变形后的方程，得另一个未知数的值； (5)验：代入原方程组检验。 ✅加减消元法:两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，可乘适当数转化。 步骤:(1)找：找出同一未知数的系数特点（相等或互为相反数）； (2)配：系数不满足时，乘适当数使同一未知数系数相等或互为相反数； (3)消：相加（系数互为相反数）或相减（系数相等），消元得一元一次方程； (4)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (5)回代：代入原方程求另一个未知数的值； (6)验：代入原方程组检验。 【知识点三、方程组的解方法选择技巧】 1.如“x=...”“y=...”形式的方程，优先用代入消元法（步骤简洁）； 2.同一未知数系数易配平，优先用加减消元法（计算量小）； 3.系数含分数、小数，先化为整数系数，再选方法（减少错误） 【知识点四、三元一次方程（组）】 1.定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的三个方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 2.关键词：三个未知数、次数为1、整式方程、三个方程（可含化简后为三元一次的方程）。 易错提醒：① 未知数个数必须为3；② 未知数的项的次数为1（无xy、x²等项）；③ 分母不含未知数（整式方程）。 3.核心思想与解法 （1）核心思想：消元（三元→二元→一元），转化为二元一次方程组求解；常用解法：代入消元法、加减消元法（优先消系数最简单的未知数）。 4.解题步骤 （1）消元：选两个方程消去一个未知数，得二元一次方程； （2）再消元：用第三个方程与上一步结果，消去同一个未知数，得另一个二元一次方程； （3）解二元：联立两个二元一次方程，求出两个未知数的值； （4）回代：代入原方程，求出第三个未知数的值； （5）检验：代入原方程组及结合实际意义检验（应用题型必做） 【知识点五、特殊题型通用解题模板】 已知解求参数：把方程组的解代入原式，构造关于参数的二元一次方程组求解。 同解方程组：联立不含参数的方程，先求公共解，再代入含参方程计算字母。 看错系数错题：未看错的方程可正常代入计算；看错系数的方程仅作排除条件。 整体换元简化运算：将(x+y、x-y)视作整体，减少复杂计算。 【知识点六、二元一次方程组实际应用】 ✅标准解题六步法：审题→设双未知数→提取两组等量关系→列方程组→求解→检验（符合实际意义）→规范作答 ✅四大高频应用模型 配套问题：依据零件配比建立数量等量关系，两类部件数量成固定倍数。 行程问题：相遇用路程和等于全程；追及用路程差等于初始距离。 利润工程问题：利润 = 售价 - 进价；工作总量 = 效率 × 时间，分别构建两组等式。 几何问题：借助周长、边长、角度、图形边长等量关系列方程组。 【知识点七、高频易错清单】 判断二元一次方程，误将未知数次数相加当作项的次数； 加减消元、去括号过程符号漏变，计算失误； 方程组的解未使用大括号联立，书写格式直接扣分； 应用题只列方程不求解，未检验未知数为正数、整数等实际限制； 含参数题型忽略二元一次方程系数不能为0的隐含条件； 检验方程组的解时，仅代入单个方程就判定成立. 题型解析◆精准备考 题型1.二元一次方程定义 1．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，可得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 关于的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解方程，可得或， 即或， 又， ． 2．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为____． 【答案】 【分析】根据二元一次方程定义，未知数最高次数为1，且对应未知数系数不为0，列出关于的关系式求解即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 3．某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 【答案】(1)的关系式为，且； (2)见解析； (3)笔记本本，笔支时奖品总数最多．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出二元一次方程组即可； （）由（）得，则，然后求出的正整数解即可； （）根据（）得结果进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的关系式为，且； （2）解：由（）得，， ∴， ∵均为正整数， ∴，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支； （3）解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， ∴笔记本本，笔支时奖品总数最多． 题型2.二元一次方程的解判定 1．已知是方程的解，则k的值为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，方程的解满足方程，将给定的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入方程得， 解得， 因此的值为. 2．小明打算用36元钱购买A，B两种黑水笔，且两种黑水笔均需购买，已知A种每支3元，B种每支4元，若36元恰好用完，则购买方案有________种． 【答案】2 【分析】设购买两种黑水笔的数量分别为，，根据总费用列出二元一次方程，结合，均为正整数的条件，求解方程正整数解的个数即可得到购买方案数． 【详解】解：设购买A种黑水笔支，B种黑水笔支，其中，均为正整数 根据题意列方程得 ∴， ∵两种黑水笔必须都买， ∴x、y都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴一共有2种购买方案． 3．已知，请用含的代数式表示，则________． 【答案】 【详解】解： ∴ 题型3.二元一次方程组定义 1．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵二元一次方程组需同时满足：方程组共含两个未知数，所有方程均为整式方程，所有未知数的最高次数为1， ① 符合所有条件，是二元一次方程组； ② 方程中的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组； ③ 方程组含三个未知数，不符合要求，不是二元一次方程组； ④ 符合所有条件，是二元一次方程组； ⑤ 符合所有条件，是二元一次方程组； ∴符合条件的二元一次方程组共3个. 2．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型4.二元一次方程组的解判定 1．实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 【详解】代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 2．下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是________． 【答案】③ 【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确． 【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解． ①不正确 ②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是的整式方程．而②中未知数的指数不一定为． ②不正确 ③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二元一次方程都有无数对方程的解． 方程是二元一次方程，故它的解有无数个． ③正确． ④解为的方程组不是唯一的，有无数个． ④正确． 【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解． 3．已知三对数值： (1)哪几对数值能使方程的左、右两边的值相等？ (2)哪几对数值是方程组的解？ 【答案】(1)和能使方程左右两边的值相等 (2)是方程组的解 【分析】（1）把三组、数值依次代入方程，验证等式左右是否相等，相等即为该方程的解； （2）方程组的解需要同时满足方程组里两个方程，即在（1）满足第一个方程的数值里，再代入第二个方程验算． 【详解】（1）解：①， 左边，不符合； ② 左边右边，符合； ③， 左边右边，符合， 故、能使左右相等． （2）解：方程组， 从（1）得：，满足①式，分别代入： ：左边，不满足； ：左边右边，满足， 所以只有是方程组的解． 题型5.已知二元一次方程组的一组解，求参数 1．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 2．小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 【答案】 【分析】已知方程组解中的的值，先将代入第一个方程求出的值，再将和代入第二个方程即可求出表示的数． 【详解】解：将代入得， 解得， 将，代入第二个方程得． 3．若方程组与有公共解，求的值． 【答案】 【分析】先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到、的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于、的二元一次方程组求解得到、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：方程组与有公共解， 方程组的解也是方程组的解， 解方程组得， 把代入方程组，得， 解得， ． 题型6.代入消元法解二元一次方程组 1．解二元一次方程组时，若将方程①代入方程②后消去，则得到的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需将代入方程②，化简整理即可得到结果，掌握代入消元法是解题关键． 【详解】解：，将其代入方程， ， 整理得． 2．已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】通过移项，将的系数化为1，即可得到用含的代数式表示的结果． 【详解】解：移项，得：， 系数化为1，得：． 3．解二元一次方程组（用代入消元法）：． 【答案】 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为． 题型7.加减消元法解二元一次方程组 1．若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 2．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，再联立含有、的两个方程，把、的值代入，两方程相加即可求得的值． 【详解】解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，先将含分母的第二个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法转化为一元一次方程求解，熟练掌握消元法即可解题． 【详解】解： 将②两边同乘去分母，得 ③①得： 整理得， 解得 把 代入①得： 解得 ∴原方程组的解为 题型8.二元一次方程组特殊解法 1．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将已知的方程组的解代入原方程组，得到关于和的二元一次方程组，利用加减消元法即可直接求出的值，不需要分别解出和的具体值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴把代入方程组，得 由，得 化简得． 2．若方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【分析】对所求方程组变形后，通过整体换元对应得到新未知数的方程，即可求解． 【详解】解：将所求方程组两边同时除以7，整理得， ∵已知原方程组的解是， ∴对比原方程组可得， 解得． 3．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：观察例题和(1)中方程组的形式及解可得结论，验证如下， ， 得，， 所以，③， 将③，得④， ，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 题型9.二元一次方程组错解复原问题 1．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】甲看错①中的，但未看错②中的，因此甲的解满足方程②，可求出正确的；乙看错②中的，但未看错①中的，因此乙的解满足方程①，可求出正确的． 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 3．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了中的m，解得，乙解题时看错中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】甲看错了方程中的，说明他没有看错方程，因此，甲的解满足方程，将该解代入方程，可得到一个关于，的方程；乙看错了方程中的，说明他没有看错方程，因此，乙的解满足方程，将该解代入方程，可得到另一个关于，的方程；联立上述两个关于，的方程，组成一个新的二元一次方程组，解出和的值，将求得的，值代回原方程组，得到具体的方程组，最后解出原方程组的正确解． 【详解】解：甲看错了方程中的，说明他看对了方程， 因此，解满足方程 将代入方程中，得： 整理得 乙看错了方程中的，说明他看对了方程， 因此，解满足方程， 将代入方程中，得： ， 整理得 联立和： 解得：，， 将代入原方程组： 得： ， 解得： 将代入得： 解得： 原方程组的解为． 题型10.构造二元一次方程组求解 1．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 2．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值后，再根据新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， 整理得， 第二个方程减第一个方程得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴． 3．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 题型11.根据方程组解的情况求参数 1．已知关于x和y的方程组的解满足，则k的值（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】可通过原方程组两个方程作差，直接得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 又∵方程组的解满足， ∴， 解得． 2．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【分析】先解方程组得，根据方程组的解是整数，且a是正整数，可得或4，再将a的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 3．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 题型12.同解方程组求参数 1．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【详解】解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 2．若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 3．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2） 解：． 题型13.三元一次方程组定义与求解 1．已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：B． 2．三元一次方程组，的解为________． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组．利用消元法求解三元一次方程组即可． 【详解】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型14.三元一次方程组实际应用 1．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 2．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 3．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1)3 (2) 购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1），即可得出结果； （2）设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元，根据题意，列出方程组，利用整体求值法求解即可. 【详解】（1）解：， ，得， ∴； （2）解：设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元， 由题意， ，得， ∴（元）； 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元. 题型15.方案问题 1．学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：． 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 3．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 【答案】上周六咖啡店使用无人机配送了20单 【分析】设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据“咖啡店共发出了50单外卖和该店当天的总运费支出为380元”列出关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据题意可得： ， 解得， 答：上周六咖啡店使用无人机配送了20单． 题型16.行程问题 1．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 2．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km．第一天的平均速度为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用. 设第一天行军的平均速度为x，第二天行军的平均速度为y，列二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设第一天行军的平均速度为x，第二天行军的平均速度为y， 由题意得，， 解得：， 即第一天行军为平均速度为12，第二天行军为平均速度为10 故答案为：12 3．甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车速度为，乙车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 通过同向而行和相向而行的两车的行驶路程关系建立方程组，求解得到两车速度． 【详解】解：设乙车速度为 ，甲车速度为 ．根据题意得： 解得： 答：甲车速度为，乙车速度为． 题型17.工程问题 1．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 2．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 3．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 题型18.数字问题 1．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 2．如图，是我们七年级上学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 【答案】 【分析】通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， ∴． 3．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 题型19.年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 2．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 【答案】 26 13 【解析】略 3．小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 【答案】小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁 【分析】设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得 解得 答：小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁． 题型20.分配问题 1．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 2．第十四届三国文化旅游周吸引了大量的游客，游客们品读三国文化，赏鉴花都美景，感受许昌盛情，共赴了一场“许”久“魏”见的美好时光，旅游周期间，一家酒店接待了一个35人的旅游团，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚140元（说明：三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付140元）．已知该旅游团一晚的住宿房费为1740元，则他们租住了______间一人间． 【答案】2 【分析】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+140×租住三人间的间数，可得关于x，y的二元一次方程，结合x均为自然数且，即可得出结论； 【详解】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，依题意 ， ， 又， 此时只有符合题意， 所以他们租住了2间一人间； 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程整数解得应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程是解题的关键． 3．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 题型21.销售、利润问题 1．根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 【答案】C 【分析】先理解题意，设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本，根据对话内容进行列方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本， 依题意，列方程组：， 解得， ∴笔的价格为元/支，笔记本为元/本， 2．张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角尺作为奖品，购买明细见下表： 圆规（个） 三角尺（副） 总费用（元） 张老师 14 8 120 李老师 6 12 90 王老师也在该店购买了这种圆规和三角尺各15件，共需要用________元． 【答案】 【分析】设每个圆规x元，每副三角尺y元，根据张老师和李老师的购买费用求出进而求出即可得到答案． 【详解】解；设每个圆规x元，每副三角尺y元， 由题意得 ，得： ，即， ∴， ∴王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各15件共用元， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键． 3．列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张， 根据题意可得， 解得， 即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 题型22.和差倍分问题 1．班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 【答案】20 g，30g 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，根据题图，可得3块巧克力的质量2个果冻的质量；1块巧克力的质量＋1个果冻的质量50 g，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，则， 解得； ∴每块巧克力的质量为20 g，每个果冻的质量为30g； 故答案为：20 g，30g． 3．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元 (2)方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型 【分析】（1）设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元，根据“2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元； （2）解：设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，； ∴所有购买方案如下： 方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型； 方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型． 题型23.几何问题 1．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 【答案】B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 2．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 【答案】 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是． 3．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 【答案】(1)木箱的体积为立方厘米 (2) 【分析】（1）先表示出甲乙丙三块木板面积，再由题意列二元一次方程组求解即可； （2）由木板的利用率为，列出等式，恒等变形得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得甲块木板的面积为；乙块木板的面积；丙块木板的面积； 由题意可得， 整理得， 解得， 则木箱的体积为（立方厘米）， 答：木箱的体积为立方厘米； （2）解：由题意可得， 整理得， ∴， ∴． 题型24.图表信息题 1．如图，在的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键．根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的二元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ， 各行各列及对角线上的三个数之和为：， ， 即， 解得． 故选：D 2．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如表，由此推断b的值为______ ． 表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 32 乙 a c 20 丙 a c 18 【答案】 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组，理解题意并列出式子是解题的关键． 根据题意得出，根据表格中甲5次的和与乙5次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又∵， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a b c a a 32 乙 b a b c b 20 丙 c c a b c 18 ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 3．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 题型25.古代问题 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 2．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只． 【答案】11 【分析】根据总只数为只，总钱数为钱，建立二元一次方程组，求解方程组得到母鸡的数量． 【详解】解：设母鸡有只，小鸡有只， 根据题意，得 整理①得， 整理②得， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为，符合题意， ∴母鸡有11只． 3．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 【答案】罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文 ， 根据题意可得方程组 ， 解得， 答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 题型26.其他问题 1．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设两种吉祥物的单价，根据题意得到两个基础关系式，结合已知方程的由来，对两个基础关系式作差即可得到另一个方程． 【详解】解：设购买1件“冰墩墩”的价格为元，购买1件“雪容融”的价格为元， 根据题意可得， 已知给出的方程是得到的结果，对两个方程做减法运算， ，左边，右边为， ，即另一个方程为． 2．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】6 【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， 由题意得：， 解得， 则， 解得， 所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳． 3．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元 (2)共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台 【分析】（1）设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台，由题意得，再求其符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元， 由题意得， 解得． 答：甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元； （2）解：设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台， 由题意得 ， 化简得 ， 即 ， 、均为正整数， 时，； 时，； 时，； 时，； 答：共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组期末复习讲义 期末复习◆重点 核心必背重点：二元一次方程、二元一次方程组精准定义；代入、加减消元法核心逻辑；方程组解的概念与标准书写格式。 解题必考重点：二元一次方程组基础化简计算；含参数方程组、同解方程组、看错系数类经典题型；配套、行程、工程、几何四大实际应用大题。 易错规避重点：判定方程忽视整式、未知数项次数双重限制；消元、去括号运算符号易出错；方程组解遗漏大括号；应用题忽略未知数实际取值约束。 核心题型◆归纳 题型1.二元一次方程定义 题型2.二元一次方程的解判定 题型3.二元一次方程组定义 题型4.二元一次方程组的解判定 题型5.已知二元一次方程组的一组解，求参数 题型6.代入消元法解二元一次方程组 题型7.加减消元法解二元一次方程组 题型8.二元一次方程组特殊解法 题型9.二元一次方程组错解复原问题 题型10.构造二元一次方程组求解 题型11.根据方程组解的情况求参数 题型12.同解方程组求参数 题型13.三元一次方程组定义与求解 题型14.三元一次方程组实际应用 题型15.方案问题 题型16.行程问题 题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售、利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息题 题型25.古代问题 题型26.其他问题 重点知识◆梳理 【知识点一、二元一次方程（组）概念】 1.二元一次方程定义：含有两个未知数，常用x、y表示，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的方程，叫做二元一次方程。 三重判定标准： ① 整式方程，分母、根号内不含未知数； ② 方程仅含 2 种不同未知数； ③ 无(x2、xy、y3)等高次项。 性质：单个二元一次方程有无数组解。 2.二元一次方程组定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：单个方程可只含一个未知数，整体满足双未知数即可。 3.二元一次方程组的解：使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。。 【知识点二、两大消元解法】 核心统一思想：消元，化二元方程组为一元一次方程 ✅代入消元法:方程组中至少一个方程可轻松变形为“x=ay+b”或“y=ax+b”（一个未知数能用另一个未知数表示）。 步骤:(1)解：选系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y=kx+b）； (2)代：将变形后的方程代入另一个方程，消元得一元一次方程； (3)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (4)回代：将所求值代入变形后的方程，得另一个未知数的值； (5)验：代入原方程组检验。 ✅加减消元法:两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，可乘适当数转化。 步骤:(1)找：找出同一未知数的系数特点（相等或互为相反数）； (2)配：系数不满足时，乘适当数使同一未知数系数相等或互为相反数； (3)消：相加（系数互为相反数）或相减（系数相等），消元得一元一次方程； (4)求：解一元一次方程，得一个未知数的值； (5)回代：代入原方程求另一个未知数的值； (6)验：代入原方程组检验。 【知识点三、方程组的解方法选择技巧】 1.如“x=...”“y=...”形式的方程，优先用代入消元法（步骤简洁）； 2.同一未知数系数易配平，优先用加减消元法（计算量小）； 3.系数含分数、小数，先化为整数系数，再选方法（减少错误） 【知识点四、三元一次方程（组）】 1.定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的三个方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 2.关键词：三个未知数、次数为1、整式方程、三个方程（可含化简后为三元一次的方程）。 易错提醒：① 未知数个数必须为3；② 未知数的项的次数为1（无xy、x²等项）；③ 分母不含未知数（整式方程）。 3.核心思想与解法 （1）核心思想：消元（三元→二元→一元），转化为二元一次方程组求解；常用解法：代入消元法、加减消元法（优先消系数最简单的未知数）。 4.解题步骤 （1）消元：选两个方程消去一个未知数，得二元一次方程； （2）再消元：用第三个方程与上一步结果，消去同一个未知数，得另一个二元一次方程； （3）解二元：联立两个二元一次方程，求出两个未知数的值； （4）回代：代入原方程，求出第三个未知数的值； （5）检验：代入原方程组及结合实际意义检验（应用题型必做） 【知识点五、特殊题型通用解题模板】 已知解求参数：把方程组的解代入原式，构造关于参数的二元一次方程组求解。 同解方程组：联立不含参数的方程，先求公共解，再代入含参方程计算字母。 看错系数错题：未看错的方程可正常代入计算；看错系数的方程仅作排除条件。 整体换元简化运算：将(x+y、x-y)视作整体，减少复杂计算。 【知识点六、二元一次方程组实际应用】 ✅标准解题六步法：审题→设双未知数→提取两组等量关系→列方程组→求解→检验（符合实际意义）→规范作答 ✅四大高频应用模型 配套问题：依据零件配比建立数量等量关系，两类部件数量成固定倍数。 行程问题：相遇用路程和等于全程；追及用路程差等于初始距离。 利润工程问题：利润 = 售价 - 进价；工作总量 = 效率 × 时间，分别构建两组等式。 几何问题：借助周长、边长、角度、图形边长等量关系列方程组。 【知识点七、高频易错清单】 判断二元一次方程，误将未知数次数相加当作项的次数； 加减消元、去括号过程符号漏变，计算失误； 方程组的解未使用大括号联立，书写格式直接扣分； 应用题只列方程不求解，未检验未知数为正数、整数等实际限制； 含参数题型忽略二元一次方程系数不能为0的隐含条件； 检验方程组的解时，仅代入单个方程就判定成立. 题型解析◆精准备考 题型1.二元一次方程定义 1．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 2．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为____． 3．某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 题型2.二元一次方程的解判定 1．已知是方程的解，则k的值为（     ） A． B．1 C．3 D． 2．小明打算用36元钱购买A，B两种黑水笔，且两种黑水笔均需购买，已知A种每支3元，B种每支4元，若36元恰好用完，则购买方案有________种． 3．已知，请用含的代数式表示，则________． 题型3.二元一次方程组定义 1．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型4.二元一次方程组的解判定 1．实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是________． 3．已知三对数值： (1)哪几对数值能使方程的左、右两边的值相等？ (2)哪几对数值是方程组的解？ 题型5.已知二元一次方程组的一组解，求参数 1．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 2．小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 3．若方程组与有公共解，求的值． 题型6.代入消元法解二元一次方程组 1．解二元一次方程组时，若将方程①代入方程②后消去，则得到的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程，用含的代数式表示，则______． 3．解二元一次方程组（用代入消元法）：． 题型7.加减消元法解二元一次方程组 1．若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 3．解方程组： 题型8.二元一次方程组特殊解法 1．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 2．若方程组的解是，则方程组的解为_______． 3．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 题型9.二元一次方程组错解复原问题 1．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 3．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了中的m，解得，乙解题时看错中的n，解得，试求原方程组的解． 题型10.构造二元一次方程组求解 1．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 2．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 3．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 题型11.根据方程组解的情况求参数 1．已知关于x和y的方程组的解满足，则k的值（     ） A． B．1 C． D．2 2．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 3．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 题型12.同解方程组求参数 1．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 2．若方程组的解是，则方程组的解是______． 3．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 题型13.三元一次方程组定义与求解 1．已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．三元一次方程组，的解为________． 3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型14.三元一次方程组实际应用 1．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 2．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 3．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 题型15.方案问题 1．学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 3．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 题型16.行程问题 1．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 2．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km．第一天的平均速度为__________． 3．甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 题型17.工程问题 1．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 2．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 3．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 题型18.数字问题 1．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 2．如图，是我们七年级上学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 3．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 题型19.年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 2．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 3．小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 题型20.分配问题 1．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A．B． C． D． 2．第十四届三国文化旅游周吸引了大量的游客，游客们品读三国文化，赏鉴花都美景，感受许昌盛情，共赴了一场“许”久“魏”见的美好时光，旅游周期间，一家酒店接待了一个35人的旅游团，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚140元（说明：三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付140元）．已知该旅游团一晚的住宿房费为1740元，则他们租住了______间一人间． 3．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 题型21.销售、利润问题 1．根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 2．张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角尺作为奖品，购买明细见下表： 圆规（个） 三角尺（副） 总费用（元） 张老师 14 8 120 李老师 6 12 90 王老师也在该店购买了这种圆规和三角尺各15件，共需要用________元． 3．列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 题型22.和差倍分问题 1．班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 3．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 题型23.几何问题 1．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 2．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 3．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 题型24.图表信息题 1．如图，在的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 2．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如表，由此推断b的值为______ ． 表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 32 乙 a c 20 丙 a c 18 3．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 题型25.古代问题 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只． 3．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 题型26.其他问题 1．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 3．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $