专题04 二元一次方程组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题04 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 理解二元一次方程定义，辨识特征，能判断方程并写出简单解。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程的解的概念，会检验解、求整数解与简单特解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 认识二元一次方程组及解的概念，能判断方程组、检验解的正确性。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 掌握代入、加减消元法，规范步骤，熟练求解各类二元一次方程组。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 结合错解分析已知条件，逆向推导参数，正确求解原方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 分析实际问题中的数量关系，找出两组等量关系，合理设未知数并列出二元一次方程组。按步骤解方程组，检验结果是否符合实际意义，规范书写解题过程，熟练解决生活类应用问题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列解是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 4．（24-25七年级下·北京昌平·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 10．（25-26七年级下·四川自贡·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（    ） A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4 11．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 12．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 题型四 解二元一次方程组 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) 题型五 二元一次方程组的特殊解法 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 19．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 21．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 22．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 23．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 24．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 题型七 构造二元一次方程组求解 25．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若与的值互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 29．（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______． 31．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知方程组和方程组的解相同，则__________． 32．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 33．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足方程，则m的值为 （    ） A．6 B．3 C．4 D．11 34．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 35．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为______． 36．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 37．（25-26七年级下·重庆万州·期中）下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 38．（2026七年级下·江苏·期末）三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需________元． 40．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 题型十一 方案问题 41．（24-25七年级下·江苏常州·期末）学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 43．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 44．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 题型十二 行程问题 45．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是______． 47．（24-25七年级下·山东泰安·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校_______米 48．（25-26七年级下·江苏·期末）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 题型十三 工程问题 49．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 50．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 51．（25-26八年级上·河南开封·期末） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 52．（2025·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 题型十四 分配问题 53．（24-25七年级下·江苏·期末）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 54．（25-26七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 55．（25-26七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 56．（2024七年级下·江苏·期末）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 题型十五 销售利润问题 57．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 58．（25-26七年级下·江苏·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 59．（2025八年级上·江苏·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 题型十六 几何问题 61．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 62．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 63．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为______．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型 （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 题型十七 古代问题 65．（25-26八年级下·四川达州·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 66．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组___________． 67．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是__________． 68．（25-26七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 69．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 70．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 71．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 72．（25-26七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知二元一次方程组，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则 的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在方程中，用x的代数式表示y，得______． 7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是二元一次方程的解，则_____ ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 9．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为______元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)（用代入法）； (2)（用加减法）． 13．（2026·江苏泰州·一模）2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 17．（2026·江苏无锡·二模）活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数组解；③当时方程组无解；④无论为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若多项式能被整除，则可设，其中M为关于x的多项式，可以发现当时，，从而求出；若多项式除以时，余数为6，则可设，其中N为关于x的多项式，当时，，从而求出．利用以上方法解决问题：若多项式除以，余数为3；若多项式除以时，余数为，则a，b的值分别为（   ） A．1，2 B．2，1 C．， D．1，1 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 21．（25-26七年级下·山东聊城·期末）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）小明在某景点文创店花了170元买书签和冰箱贴，已知每张书签20元，每个冰箱贴30元（两样都买），他购买的方案有_____ 种． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错得0分．小明在这次竞赛中得了20分，他抢答题答对和必答题答对的总道数，可能为_________． 24．（24-25七年级下·河南信阳·期中）已知方程组的解是，则方程组的解______． 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）解方程组： (1) (2) 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 29．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 30．（25-26八年级上·江西吉安·期末）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 32．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 33．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 34．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 35．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是______． 37．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）关于x，y的方程组有无数组解，则______． 38．（2025七年级下·江苏·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 39．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为_____． 40．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 41．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若为正整数，则．利用这个结论解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，求正整数m，n的值． 42．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 43．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 44．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 45．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 理解二元一次方程定义，辨识特征，能判断方程并写出简单解。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程的解的概念，会检验解、求整数解与简单特解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 认识二元一次方程组及解的概念，能判断方程组、检验解的正确性。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 掌握代入、加减消元法，规范步骤，熟练求解各类二元一次方程组。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 结合错解分析已知条件，逆向推导参数，正确求解原方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 分析实际问题中的数量关系，找出两组等量关系，合理设未知数并列出二元一次方程组。按步骤解方程组，检验结果是否符合实际意义，规范书写解题过程，熟练解决生活类应用问题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：① ：含两个未知数，但次数为2（二元二次方程），不符合． ② ：两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ③ ：分母含未知数，不是整式方程，不符合． ④ ：的次数为2（二元二次方程），不符合． ⑤ ：化简为，两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ⑥ ：含三个未知数（三元一次方程），不符合． 综上，符合的方程有②和⑤，共2个． 故选B． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列解是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．分别把每个选项的数值代入，计算即可得答案． 【详解】A．当，时，，故该选项不符合题意， B．当，时，，故该选项不符合题意， C．当，时，，故该选项符合题意， D．当，时，，故该选项不符合题意， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程， ③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程， ④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程， ①；⑤，符合二元一次方程的定义． 故选：A． 4．（24-25七年级下·北京昌平·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 6．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 7．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 8．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据方程组求出，再结合已知条件可得，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 10．（25-26七年级下·四川自贡·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（    ） A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4 【答案】B 【分析】已知方程组解中x的值，先将x代入已知方程求出y，再将x，y代入第一个方程求出第一个被遮盖的数，即可得到结果. 【详解】解：将代入，得，解得， 则第二个被遮盖的数为1， 再将，代入，得， 则第一个被遮盖的数为5， 因此被遮盖的两个数分别为5，1． 11．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 12．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 题型四 解二元一次方程组 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把②代入①得，解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为 （2）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】(1) 加减消元；等式的性质 (2) 二 (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：方程组整理为， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把方程组变形为，再根据方程组的解为进行求解即可． 【详解】解：将方程组变形得 ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由表格数据可得方程组的解为，再将所求二元一次方程组变形为，则，解这个二元一次方程组即可． 【详解】解：由表格数据可得方程组的解为， 关于x，y的二元一次方程组， 整理得：， 则， 解得：， 即关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 19．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 21．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 22．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 23．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 【答案】 【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出的值． 【详解】解：依题意得，， 解得 将代入，解得 则， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 24．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ，； （2）解：把，代入方程组得：， 则方程组的解为． 题型七 构造二元一次方程组求解 25．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，令含和项的系数等于0，解方程组即可求出p，q的值． 【详解】解：展开并合并同类项得 ∵乘积中不含和项， ∴ 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 ． 解得． ∴． 26．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若与的值互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用非负数的性质得出，，，进而利用整体思想得出答案． 【详解】解：与的值互为相反数， ∴， ∵，， ，， ， 得： ， 故． 故选：A． 【点睛】此题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，利用整体思想求解是解题关键． 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．将变形为，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵无论m取何值，等式恒成立， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 29．（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法．联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：联立得：， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为， 把代入得：， 即， 得：，解得：， 把代入④得：， ∴， 故答案为：0． 31．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知方程组和方程组的解相同，则__________． 【答案】0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 32．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．先求出方程的解，再把这个解代入到方程中得到关于k的方程，据此求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 33．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足方程，则m的值为 （    ） A．6 B．3 C．4 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，将两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知条件，建立关于m的方程求解． 【详解】解： 将①和②相加，得： 提取公因数5，得： 已知，代入得： 则， 解得：， 故选：A 34．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，根据各选项的条件，分别解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，解得：， 当时，； ∴也是方程的一个解；故①正确； 当时，， ∴；故②正确； 当x与y互为相反数时，则：，解得：；故③错误； ∵， ∴，得：，为定值；故④正确； 故选C． 35．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，利用加减消元法得到与的关系式，再结合已知条件列一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 得： 整理得： 两边同除以得： ， ，解得：． 36．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解题的关键．先求出方程组的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】（1）在方程组中， 得：， 解得：， 把代入②可得，， 解得：， 方程组的解为； （2）x为负数，y为非正数， ，即， 解得， a为整数， a的值为或时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 37．（25-26七年级下·重庆万州·期中）下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 38．（2026七年级下·江苏·期末）三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 【答案】884 【分析】当时，，有51个非负整数解；当时，，共有49个非负整数解；当时，，有48个非负整数解；当时，，有46个非负整数解；当时，，有45个非负整数解；……；当时，，有1个非负整数解；再列式计算可得答案． 【详解】解：当时，，y可以分别取0，1，2……50，一共有51个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……48，一共有49个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……47，一共有48个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……45，一共有46个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……44，一共有45个非负整数解； ……； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，4，5，一共有6个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，一共有4个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，一共有3个非负整数解； 当时，，y可以取0，一共有1个非负整数解； ∵ ， ∴方程的非负整数解个数有884个． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需________元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 40．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 题型十一 方案问题 41．（24-25七年级下·江苏常州·期末）学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】需甲种车型8辆，乙种车型10辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据“120吨物资都用甲、乙两种车型来运送，且需运费8200元”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆， 根据题意得：， 解得：， 答：需甲种车型8辆，乙种车型10辆． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有4种配餐方案，方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用种食品包，种食品包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于且总热量不超过，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用种食品包，种食品包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用种食品包，种食品包； （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，，， 共有种配餐方案， 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包． ∴共有4种配餐方案． 43．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设一盒水笔为元，一包笔记本为元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可； 任务2：设购买水笔盒，购买笔记本包，根据总费用为880元可得方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元， 由题意得，， 解得， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； 任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包． 由题意得，， ∴， ∵，均为正整数 ∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包． 当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包． 当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包． 则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包； 44．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 题型十二 行程问题 45．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 46．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是______． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为千米，坡路为千米，根据题意列出关于，的二元一次方程组求解， 最后把两段路程相加即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为千米． 故答案为：千米． 47．（24-25七年级下·山东泰安·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校_______米 【答案】700 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 假设平路长为米，坡路长为米，根据两种走路方式，列出方程组求解即可． 【详解】解：假设平路长为米，坡路长为米，根据题意得， 解得 （米） 故答案为：700． 48．（25-26七年级下·江苏·期末）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 题型十三 工程问题 49．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 50．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组， 解得， 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或， 即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 51．（25-26八年级上·河南开封·期末） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 52．（2025·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 题型十四 分配问题 53．（24-25七年级下·江苏·期末）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 54．（25-26七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 【答案】(1)这些消毒液应该分装大瓶装瓶， 小瓶装瓶 (2)飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； （1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据“大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液”可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设飞机无风时的平均速度为，风速为，根据“顺风和逆风航行的距离相等的数量关系建立方程组”即可求出答案． 【详解】（1）解：设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据题意得： 解得： 答： 这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶， 小瓶装50000瓶． （2）解：设飞机无风时的平均速度为，风速为，由题意，得 解得 答：飞机无风时的平均速度为，风速为． 55．（25-26七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； (2)①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． (3)n的最小值是35． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系是解本题的关键； （1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，利用有A型板材162张，B型板材340张，做这两种箱子共100个，建立不等式组求解即可； （3）设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，再利用剩余的A板与B板之比为建立二元一次方程，再利用方程的正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，设竖式做个，横式做个，则 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有三种方案： ①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个， ②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个， ③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． （3）∵竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板， 且一张的C型板可以切成张A型板或3张B型板， ∴板有张，板有张， 竖式箱子制作20只后剩余板张，剩余板张， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴， ∵，都为正整数， ∴的最小值为，则的最小值为； ∴n的最小值是35． 56．（2024七年级下·江苏·期末）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 【答案】(1)45 (2)①；；②一共可以搭配200个套装 (3)8；240 【分析】（1）分别求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量，结合套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个，即可得出最多能搭配45个套装； （2）①利用生产总量生产效率生产时间，即可用含，的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量； ②根据恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸，根据已有的和生产的吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，结合，均为正整数，可得出的最小值，代入后可得出值，将，值代入方程①中可求出值，再将其代入中，即可求出搭配套装数． 【详解】（1）解：生产琮琮的数量为（个， 生产莲莲的数量为（个， 生产宸宸的数量为（个， ，且套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个， 如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配45个套装． 故答案为：45； （2）①根据题意得：生产莲莲个，宸宸个． 故答案为：；； ②根据题意得：， 解得：， ． 答：一共可以搭配200个套装； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸， 根据题意得：， 即， 方程①②得：， ． 又，均为正整数， 当时，取得最小值，最小值， 将，代入方程①得：， 解得：， ， 甲组至少要生产8天，共可搭配240个套装． 故答案为：8；240． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量；（2）①根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 题型十五 销售利润问题 57．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 58．（25-26七年级下·江苏·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元 (2)在这两家超市都可以买下看中的这两样商品，且在A超市购买比较省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：设该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B买下看中的这两样商品，可有， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 59．（2025八年级上·江苏·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副 (2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用． （1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可． （2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联， 根据题意，得， 解得， 答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副． （2）解：设购进A种春联副，B种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有4种购买方案， 方案一：购买58副A种春联，20副B种春联； 方案二：购买41副A种春联，40副B种春联； 方案三：购买24副A种春联，60副B种春联； 方案四：购买7副A种春联，80副B种春联． 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； (2)学校共有3种购买方案，方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； （2）解：设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜， 根据题意得， 解得， 又，均为正整数， 可以为8，9，10， 学校共有3种购买方案， 方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 题型十六 几何问题 61．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 62．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 63．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 【答案】（1）；（2）；（3）和的长分别为 、． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）直接计算阴影部分的面积或由大正方形面积减去小正方形面积即可得出结论， （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设，，根据长方形面积可得，根据长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，可得，再模仿（2）求出，联立方程即可求解． 【详解】（1）解：， （2）依题意得：，， ， ， ∵ ， （3）设，， 由题意可知： ，即， ∴， 又∵， ∴， 联立可得：， 解得， 答：和的长分别为 、． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为______．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型 （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 【答案】（1） ；（2）需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）先求出长方形的面积为，然后得出答案即可； （3）根据得出用3张A型卡片，2张B型卡片，7张C型卡片，组成一个长为，宽为的长方形，然后画出图形即可； （4）根据长方形的面积为63，，得出可以拼一个长为，宽为的长方形，从而列出方程组或，解方程组，取正整数解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴； （2）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：， ∴需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张； （3）解：∵， ∴可以用3张A型卡片，2张B型卡片，7张C型卡片，组成一个长为，宽为的长方形，如图所示： （4）解：能；理由如下： ∵长方形的面积为63， 又∵， ∴可以拼一个长为，宽为的长方形， ∴或 解得：（不符合题意舍去）或， ∴a，b皆为正整数，能使得（3）中拼出的长方形的面积为63，此时． 题型十七 古代问题 65．（25-26八年级下·四川达州·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设买得醇酒斗，买得行酒斗，根据“现有30钱，买得2斗酒” 列方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒斗，买得行酒斗， ∵一共买得酒总共有2斗， ∴可得方程， ∵醇酒1斗价值50钱，行酒1斗价值10钱，一共花费30钱， ∴可得总花费方程， ∴可列方程组． 66．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意，每人分7两银子时剩余4两，每人分9两银子时不足8两，利用银两总数与人数和余缺关系列方程组． 【详解】解：设客人为人，银子为两，每人分7两时，银两总数可表示为；每人分9两时，银两总数可表示为， 故得方程组， 故答案为： 67．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组）． 根据“用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． 根据题意得，． 故答案为：． 68．（25-26七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 69．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 70．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 71．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 72．（25-26七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将给定的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为的整式方程，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中的次数为，不符合定义，故此选项错误； B、含有两个未知数，且含未知数的项次数都是，是整式方程，符合定义，故此选项正确； C、只含有个未知数，不符合定义，故此选项错误； D、含有三个未知数，不符合定义，故此选项错误． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知二元一次方程组，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】仔细观察题目，用②①即可得的值． 【详解】解：二元一次方程组， ②①，得． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则 的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】从表格中选取两组对应值，列出关于的方程组，求解得到的值后代入待求式计算即可． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ， 两式相加得，解得， 把代入，得， 将代入得． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在方程中，用x的代数式表示y，得______． 【答案】 【分析】要将方程中的项单独放在等式一侧，其他项移到另一侧，对含的项进行系数化为1，可能用到等式的基本性质． 【详解】解： 原方程 移项， 得， 等式两边同时除以，整理， 得． 7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是二元一次方程的解，则_____ ． 【答案】2 【详解】解：把代入二元一次方程得，， 解得． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，通过将方程组中两个方程相加可直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 由可得： ， 整理得 ． 9．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组解的定义得到关于的二元一次方程组，两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程组的解为， ， 则①②得， ． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为______元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平板电脑原价为元，哥哥的预算为元．根据聊天记录，原价比预算多100元，即 ；打9折后比预算便宜100元，即．解方程组即可求出原价． 【详解】解：设平板电脑原价为元，哥哥的预算为元． 根据题意， 解得： 则平板电脑的原价为2000元， 故答案为2000． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， 故原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 解得，， 把代入②得，， 故原方程组的解为． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)（用代入法）； (2)（用加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，之后再回代求另一个未知数． （2）先观察两个方程中或的系数，通过给方程乘以合适的系数，使某一未知数的系数互为相反数或相等，再将两个方程相加或相减消去该未知数，转化为一元一次方程求解，最后回代求另一未知数． 【详解】（1）解：原方程组：， 将②代入①，得 ， 整理得：， 解得 ， ​把​代入②，得 ， 所以方程组的解为； （2）解：原方程组：， ，得， ，得， ③④，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 13．（2026·江苏泰州·一模）2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 【答案】A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据“4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可． 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为：． 15．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的概念列出方程组，并求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得． 17．（2026·江苏无锡·二模）活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数组解；③当时方程组无解；④无论为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用代入消元法整理方程后，分情况讨论的取值，逐一判断四个说法即可. 【详解】解：方程组， 由②得 ， 把代入①得：， 整理得， ∵当时，等式化为，恒成立，方程组有无数组解， ∴①错误，②正确，③错误； 验证④：把代入方程组，得，满足方程②， ，满足方程①， ∴无论取何值，该解都满足方程组，④正确， 综上，正确的说法是②④，共2个. 19．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若多项式能被整除，则可设，其中M为关于x的多项式，可以发现当时，，从而求出；若多项式除以时，余数为6，则可设，其中N为关于x的多项式，当时，，从而求出．利用以上方法解决问题：若多项式除以，余数为3；若多项式除以时，余数为，则a，b的值分别为（   ） A．1，2 B．2，1 C．， D．1，1 【答案】D 【分析】本题利用题干给出的余数性质，若多项式除以余数为，则时多项式的值等于，据此列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题干给出的解题方法： ∵多项式除以余数为， ∴ 当时，， 代入得：， 整理得 ； ∵多项式除以余数为， ∴当时，， 代入得：， 整理得， 化简得， 联立①②，将得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 21．（25-26七年级下·山东聊城·期末）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）小明在某景点文创店花了170元买书签和冰箱贴，已知每张书签20元，每个冰箱贴30元（两样都买），他购买的方案有_____ 种． 【答案】3 【分析】设购买x张书签，y个冰箱贴，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出他购买的方案有3种． 【详解】解：设购买x张书签，y个冰箱贴， 根据题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， 答：他购买的方案有3种． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错得0分．小明在这次竞赛中得了20分，他抢答题答对和必答题答对的总道数，可能为_________． 【答案】或 【分析】设抢答题答对道，必答题答对道，根据总得分列出二元一次方程，再求方程的非负整数解，最后计算的可能值． 【详解】解：设抢答题答对道，必答题答对道，为非负整数． ， ， ∵，为非负整数， ∴需为非负且能被3整除． 当时，，； 当时，，； 故抢答题答对和必答题答对的总道数，可能为或． 24．（24-25七年级下·河南信阳·期中）已知方程组的解是，则方程组的解______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，用换元法求解即可，掌握解二元一次方程组方法是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的解，设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升，根据烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；列出方程组，求出的值，再设向丙烧杯内放入种球个，种球个，根据丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为，列出的元一次方程，求解即可解答． 【详解】解：设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升， 根据题意：，即， 解得：， 设向丙烧杯内放入种球个，种球个， 根据题意：，即， 则， ∵为非负整数， ∴或或或， ∵丙烧杯内放入的球的总个数为奇数， ∴或， ∴向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为或． 故答案为：或． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为； （2）解：， 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为． 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算，即可求解； （2）根据题意得出，求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：将，得 （2）解： 解得 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 29．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 30．（25-26八年级上·江西吉安·期末）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程求出的值即可判断①；把代入方程组，两方程相加求出的值可判断②；把两方程相加求出，进而代入求出的值即可判断③；解方程组求出方程组的解，再求出的值即可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①把代入，得， ∴，故①正确； ②当时，方程组为， ，得， ∴，即的值互为相反数，故②正确； ③， ，得， ∴， 若，则， ∴，故③正确； ④解方程组，得， ∴， ∴的值与的值无关，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④， 故选：． 32．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 33．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【详解】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 34．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 35．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求解出含a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． ， 故选：C． 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键． 根据题意，将原方程组变形得，结合原方程组的解得到，由此即可求解． 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 37．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）关于x，y的方程组有无数组解，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． ∴ 故答案为：． 38．（2025七年级下·江苏·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 39．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为_____． 【答案】2031 【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解． 【详解】解：∵， 解方程组得，， ∵，为整数， ∴和均可以被41整除， 设（m为整数），则； 我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数： ∴； 代入上式： ； ∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数． 设（t为整数），即． 把代入： ， 得． ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴． 故答案为：2031． 40．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 41．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若为正整数，则．利用这个结论解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，求正整数m，n的值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）先根据幂的乘方的逆运算法则得到，进而根据同底数幂乘法的逆运算和同底数幂除法的逆运算法则得到，则，解方程即可得到答案； （2）根据幂的乘方法则、同底数幂乘法的逆运算法则得到，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m，n是正整数， ∴，． 42．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (3) 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是关键． （1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可； （3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为． 在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择， ． 43．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）把，代入关于x、y的二元一次方程得关于x,y的方程，把y用x表示出来即可； （2）①把代入关于x、y的二元一次方程得关于a,b的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论a,b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【详解】（1）解：当，时，得 （2）解：①把代入，得，整理得； ②由①可知， ∴原方程化为，即． 当时，无论a取任意值，都有，此时， ∴这组公共解为． 44．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：6，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 45．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台 (2)元 (3)节约元或元 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元． 【详解】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $